
\chapter{图的基本概念}
\newpage
\setcounter{page}{9}
\index{tu@{图}!wanquantu@{完全图}}
 \index{wanquantu@{完全图}}
\begin{figure}[h]  % h: here; t: top; b: bottom
\psset{unit=.9}     % scale
\begin{pspicture}(-3.5,-2)(3,2)
\rput{18}{%
\SpecialCoor\degrees[5] \multido{\i=0+1}{5}{\cnode(1.2;\i){.1}{\i}}
\ncline{0}{1}\ncline{1}{2}\ncline{2}{3}\ncline{3}{4}\ncline{4}{0}
\ncline{0}{2}\ncline{1}{3}\ncline{2}{4}\ncline{3}{0}\ncline{4}{1}%
}%
\rput(0,-1.6){\scriptsize(a) $K_5$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(.8,0)(3,2)
\psset{arrowsize=.15}
\cnode(1,1){.1}{0}\cnode(-.2,3){.1}{1}\cnode(2.2,3){.1}{2}
\nccurve[angleA=135,angleB=-75]{->}{0}{1}
\nccurve[angleA=-45,angleB=105]{->}{1}{0}
\nccurve[angleA=45,angleB=-105]{->}{0}{2}
\nccurve[angleA=-135,angleB=75]{->}{2}{0}
\nccurve[angleA=15,angleB=165]{->}{1}{2}
\nccurve[angleA=-165,angleB=-15]{->}{2}{1}
\rput(1,.4){\scriptsize(b) $K^*_3$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-.3,0)(2,2)
\multido{\i=0+1}{3}{\cnode(\i,1){.1}{1\i}}
\multido{\i=0+1}{3}{\cnode(\i,3){.1}{2\i}}
\multido{\i=0+1}{3}{\ncline{10}{2\i}}
\multido{\i=0+1}{3}{\ncline{11}{2\i}}
\multido{\i=0+1}{3}{\ncline{12}{2\i}}%
\rput(1,.4){\scriptsize(c) $K_{3,3}$}
\end{pspicture}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{1.5}$ \quad \bf \eufznine{(a)}\  $K_5$; \eufznine{(b)}\  $K^*_3$; \eufznine{(c)}\ $K_{3,3}$}
\end{quote}\vspace*{-8mm}

\end{figure}

 \index{jinsaitu@{竞赛图}}
 \index{tu@{图}!jinsaitu@{竞赛图}}

% Figure 1.6
\begin{figure}[h]  % h: here; t: top; b: bottom
\psset{unit=1.2}     % scale
\psset{arrowsize=.14} % size of arrows
\begin{pspicture}(-.7,.8)(8,4.5)
% lower picture
\multido{\i=1+1}{8}{\cnode(\i,1){.08}{1\i}}
\multido{\i=1+1}{8}{\cnode(\i,2){.08}{2\i}}
\multido{\i=1+2}{4}{\ncline[arrows=->]{1\i}{2\i}}
\multido{\i=2+2}{4}{\ncline[arrows=<-]{1\i}{2\i}}
\ncline[arrows=->]{11}{12}\ncline[arrows=->]{13}{14}
\ncline[arrows=->]{15}{16}\ncline[arrows=->]{18}{17}
\ncline[arrows=->]{21}{22}\ncline[arrows=->]{23}{24}
\ncline[arrows=->]{25}{26}\ncline[arrows=->]{27}{28}
\ncline[arrows=->]{11}{22}\ncline[arrows=->]{21}{12}
\ncline[arrows=->]{13}{24}\ncline[arrows=->]{14}{23}
\ncline[arrows=->]{26}{15}\ncline[arrows=->]{25}{16}
\ncline[arrows=->]{17}{28}\ncline[arrows=->]{27}{18}
% upper picture
\pscircle(1.5,3.5){.08}
\cnode(3,3.5){.08}{a}\cnode(4,3.5){.08}{b}\ncline[arrows=->]{a}{b}
\cnode(5,3.1){.08}{1}\cnode(6,3.1){.08}{2}\cnode(5.5,4){.08}{3}
\ncline[arrows=->]{1}{2}\ncline[arrows=->]{1}{3}\ncline[arrows=->]{3}{2}
\cnode(7,3.1){.08}{1}\cnode(8,3.1){.08}{2}\cnode(7.5,4){.08}{3}
\ncline[arrows=->]{2}{1}\ncline[arrows=->]{1}{3}\ncline[arrows=->]{3}{2}
\end{pspicture}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{1.6}$\quad ${\upsilon}(=1,2,3,4)$阶不同构竞赛图}
\end{quote}\vspace*{-4mm}                                                                 %f1.6
\end{figure}


 \index{tu@{图}!erbutu@{$2$\,部图}}
 \index{erbufentu@{$2$\,部划分}}
 \index{wanquankbutu@{完全\,$k$\,部图}}
 \index{xing@{星}}
 \index{erbutu@{$2$\,部图}}
 \index{erbutu@{$2$\,部图}!wanquanerbutu@{完全\,$2$\,部图}}
 \index{erbutu@{$2$\,部图}!dengerbutu@{等\,$2$\,部图}}

若无环图的顶点集能划分为两个非空子集\,$X$\,和\,$Y$\,使得\,$X$\,中任何两顶点之间
无边相连并且\,$Y$\,中任何两顶点之间也无边相连, 则称该图为{\bf
\,$2$\,部图}\,({bipartite graph}), $\{X,Y\}$\,称为{\bf
\,$2$\,部划分}\,({bipartition}). $2$\,部划分为\,$\{X,Y\}$\,的\,$2$\,
部图记为\,$(X\cup Y, E,\psi)$. 如果\,$|X|=|Y|$, 则\,$(X\cup Y,
E,\psi)$\,称为{\bf 等\,$2$\,部图}\,(equally bipartite graph). 例如,
图1.2(b)\,所示的图\,$G$\,是等\,$2$\,部图,
其中\,$X=\{x_1,x_2,x_3\}, \,Y=\{y_1,y_2,y_3\}$.

简单\,$2$\,部图 \,$(X\cup Y,E)$\,称为{\bf 完全\,$2$\,部图}\,
{(complete bipartite graph}),
如果\,$X$\,中每个顶点与\,$Y$\,中每个顶点之间均有边相连. 例如,
图1.2(b)\,中所示的图是完全\,$2$\,部图.
如果\,$|X|=m,|Y|=n$, 那么在同构意义下, 完全\,$2$\,部图是唯一的,
记为\,$K_{m,n}$. 图1.5(c)\,所示的图是\,$K_{3,3}$.
$K_{n,n}$\,有时记为\,$K_n(2)$. 同样可以定义\,$k$\,{\bf 部图}
和\,$K_n(k)$.  $K_{1,({\upsilon}-1)}$\,称为{\bf
星}\,({star}).由定义, 不难证明\,(习题\,1.2.4\,和\,1.2.5):
$$
\varepsilon(K_{m,n})=mn,\quad \varepsilon(K_n(k))=\frac 12
k(k-1)n^2.
$$

$2$\,部图是一类结构简单而又非常重要的图. 事实上,
任何有向图都对应一个 $2$

\newpage
\setcounter{page}{12}

记\,$E_X$\,和\,$E_Y$\,分别为\,$Q_n$\,中与\,$X$\,中顶点关联和与\,$Y$\,中顶点关联的边集,
则
 $$
 \begin{array}{l}
 |E_X|=n\,|X|=\varepsilon(Q_n), \\
  |E_Y|=n\,|Y|=\varepsilon(Q_n).
  \end{array}
 $$
因而有
 $$
 \begin{array}{l}
 |X|=|Y|=\frac 12\, \upsilon(Q_n)=2^{n-1}, \\
 \varepsilon(Q_n)=n\, 2^{n-1}.
 \end{array}
 $$
%\hfill\rule{1mm}{2mm}


{\bf 例\,{$\boldsymbol {1.2.2}$}}\quad
用\,$T_{k,\upsilon}$\,表示每个划分有\,$m=\lfloor\frac
{\upsilon}k\rfloor$ 或\,$n=\lceil\frac
{\upsilon}k\rceil$\,个顶点的完全\,$k$\,部图, 则

(a)\
$\varepsilon(T_{k,\upsilon})={{\upsilon-m}\choose{2}}+(k-1){{m+1}\choose{2}}$;

(b)\ 对任何完全\,$k$\,部图\,$G$\,均有\,$\varepsilon(G)\leqslant
\varepsilon(T_{k,\upsilon})$, 并且等号成立\, $\Leftrightarrow G\cong
T_{k,\upsilon}$.

{\bf 证明}\quad  (a)\ 令\,$\upsilon=km+r,\ 0\leqslant r<k$,
则\,$r=\upsilon-km$. 由\,$T_{k,\upsilon}$\,的定义, 有
 $$
\begin{array}{rl}
\varepsilon (T_{k,\upsilon})&\!\!\!\!=
{{\upsilon}\choose{2}}-r\,{{m+1}\choose{2}}
-(k-r){{m}\choose{2}}\\
&\!\!\!\!= \frac 12 [\upsilon(\upsilon-1)-rm(m+1)-(k-r)m(m-1)]\\
&\!\!\!\!= \frac 12 [\upsilon(\upsilon-1)-2rm-km(m-1)]\\
&\!\!\!\!= \frac 12 [\upsilon(\upsilon-1)-2m(\upsilon-km)-km(m-1)]\\
&\!\!\!\!= \frac 12(\upsilon-m)(\upsilon-m-1)+\frac 12(k-1)m(m+1)\\
&\!\!\!\!= {{\upsilon-m}\choose{2}}+(k-1){{m+1}\choose{2}}.
\end{array}
$$

(b)\
设\,$G=K_{n_1,n_2,\cdots,n_k}$\,是具有最大边数的完全\,$k$\,部图, 则
$$
\varepsilon (G)={{\upsilon}\choose{2}}
-\sum\limits_{\ell=1}^k{{n_\ell}\choose{2}}.
$$

若\,$G\ncong T_{k,\upsilon}$,
则存在\,$i$\,和\,$j\,(i<j)$\,使得\,$n_i-n_j>1$.
考虑另一个完全\,$k$\,部图\,$G'$, 其各部分的顶点数目分别为
 $$
 n_1,\cdots,n_{i-1},n_i-1,n_{i+1},\cdots,n_{j-1},n_j+1,n_{j+1},\cdots,n_k.
 $$
则
 \begin{align*}
\varepsilon (G')& = {{\upsilon}\choose{2}}-\sum\limits_{\ell=1\ne
i,j}^k{{n_\ell}\choose{2}}-{{n_i-1}\choose{2}}
-{{n_j+1}\choose{2}}\\
&= {{\upsilon}\choose{2}}-\sum\limits_{\ell=1\ne
i,j}^k{{n_\ell}\choose{2}}
-\frac 12 (n_i-1)(n_i-2)-\frac 12 (n_j+1)n_j
 \end{align*}

\newpage
\setcounter{page}{17}
\end{document}


{\bf 推论\,{$\boldsymbol {1.3.2}$}}\quad  {\bf 任何无向图\,$G$\,都有偶数个奇度点.}

{\bf 证明}\quad
设\,$V_o$\,和\,$V_e$\,分别为\,$G$\,中奇度点集和偶度点集.
由推论\,$1.3.1$\,知
$$
\sum\limits_{x\in V_o}d_G(x)+\sum\limits_{x\in
V_e}d_G(x)=2\varepsilon (G).
$$
上式的右端和左端中的第二项均为偶数, 因此左端的第一项也为偶数.
由于当\,$x\in V_o$\,时, $d_G(x)$\,为奇数,
所以\,$|V_o|$\,为偶数.\hfill\rule{1mm}{2mm}

下面几个记号和术语也常用到, 必须熟悉它们.

设\,$D$\,是有向图, $S$\,和\,$T$\,是\,$V(D)$\!
中两个不交的非空真子集, 用\,$E_D(S,T)$\,表示\,$D$\ 中起点在\,$S$\,
而终点在\,$T$\,的边集, 并且令\,$E_D[S,T]=E_D(S,T)\cup E_D(T,S)$.
当所考虑的图只有一个时, 就分别简记\,$E_D(S,T)$\,和\,$E_D[S,T]$
为\,$(S,T)$\,和\,$[S,T]$. 若\,$T=\overline S=V\setminus S$,
则简记\,$E_D(S,\overline S)$\,为\,$E^+_D(S)$; $E_D(\overline
S,S)$\,为\,$E^-_D(S)$; $E_D[S,\overline S]$\,为\,$E_D[S]$.
记\linebreak $d^+_D(S)$ $=|E^+_D(S)|$, $d^-_D(S)=|E^-_D(S)|$.

例如, 在图1.9\,所示的图\,$D$\,中, 令\,$S=\{x_1,x_2\}$,
则\,$E^+_D(S)=(S,\overline S)=\{a_3\}$,\linebreak 而 $E^-_D(S)=(\overline
S,S)=\{a_4,a_7\}, E_D[S]=(S,\overline S)\cup (\overline S,S)
=\{a_3,a_4,a_7\}, d^+_D(S)=1$,\linebreak $d^-_D(S)=2$.

用\,$N^+_D(S)$\,表示\,$E^+_D(S)$\,中边的终点集; 用\,$N^-_D(S)$\,
表示\,$E^-_D(S)$\,中边的起点集. 例如, 在上面的例子中,
$N^+_D(S)=\{x_3\}, N^-_D(S)=\{x_3,x_4\}$. $N^+_D(S)$\,
和\,$N^-_D(S)$\,分别称为\,$S$\,的{\bf 外邻集} ({out-neighbor set})和
{\bf 内邻集} ({in-neighbor set}).
$N^+_D(S)$\,和\,$N^-_D(S)$\linebreak 中顶点分别称为\,$S$\,的 {\bf 外邻点}
({out-neighbor vertex}) 和{\bf 内邻点} ({in-neighbor vertex}).
若\,$S=\{x\}$, 则分别简记\,$N^+_D(\{x\})$\,和\,$N^-_D(\{x\})$\,
为\,$N^+_D(x)$\,和\,$N^-_D(x)$. 显然, 若顶点\,$x$\,处无环,
则\,$d^+_D(x)=|E^+_D(x)|$\,且\,$d^-_D(x)=|E^-_D(x)|$.
若\,$D$\,是简单图, 则有\,$d^+_D(x)=|N^+_D(x)|$\,
且\,$d^-_D(x)=|N^-_D(x)|$.

同样可以理解无向图的类似记号\,$E_G[S], [S,T]$\,和\,$N_G(S)$, 并称
\,$N_G(S)$\,为\,$S$ 的{\bf 邻集} ({neighbor set}).
$N_G(S)$\,中顶点称为\,$S$\,的{\bf 邻点} ({neighbor vertex}).

 \index{lindian@{邻点}}
 \index{lindian@{邻点}!wailinji@{外邻集}}
 \index{lindian@{邻点}!neilinji@{内邻集}}
 \index{lindian@{邻点}!wailindian@{外邻点}}
 \index{lindian@{邻点}!neilindian@{内邻点}}


下面介绍图的一些常用运算.

设\,$D=(V(D),E(D),\psi_D)$\,和\,$H=(V(H),E(H),\psi_H)$\,是两个图.
若\,$V(H)\subseteq V(D)$, $E(H)\subseteq E(D)$,
并且\,$\psi_H$\,是\,$\psi_D$\,在\,$E(H)$\,上的限制,
即\,$\psi_H=\psi_D\mid E(H)$, 则称\,$H$\,为\, $D$\ 的{\bf 子图}
(subgraph), 记为\,$H\subseteq D$. 称\,$D$\,是\,$H$\,的 {\bf 母图}
(supergraph). 若\,$H\subseteq D$\,并且\,$V(H)=V(D)$,
则称\,$H$\,为\,$D$\, 的{\bf 支撑子图} (spanning subgraph).
若\,$H\subseteq D$\,且\,$H\ne D$, 则称\,$H$\,为\,$D$\,的{\bf 真子图}
(proper subgraph), 记为\,$H\subset D$.

 \index{tudeyunsuan@{图的运算}}
 \index{zitu@{子图}}
 \index{mutu@{母图}}
 \index{zhichengzitu@{支撑子图}}
 \index{zitu@{子图}!zhichengzitu@{支撑子图}}
 \index{zitu@{子图}!zhenzitu@{真子图}}


% Figure 1.10
\begin{figure}[ht]  % h: here; t: top; b: bottom
%\psset{unit=.9}     % scale
\psset{arrowsize=.14}
\begin{pspicture}(-1,0)(3,4)
\cnode(1,3){.08}{1}\rput(.75,3.05){\scriptsize$x_1$}
\cnode(2,2){.08}{2}\rput(2.3,2){\scriptsize$x_2$}
\cnode(2,0){.08}{3}\rput(2.3,0){\scriptsize$x_3$}
\cnode(0,0){.08}{4}\rput(-.3,0){\scriptsize$x_4$}
\cnode(0,2){.08}{5}\rput(-.3,2){\scriptsize$x_5$}
\ncline[arrows=->]{5}{1}\ncline[arrows=->]{5}{4}
\ncline[arrows=->]{4}{3}\ncline[arrows=->]{3}{5}
\ncline[arrows=->]{3}{2}\ncline[arrows=->]{2}{1}
\nccurve[angleA=160,angleB=20,arrows=->]{2}{5}
\nccurve[angleA=-20,angleB=-160,arrows=->]{5}{2}
\rput(1.8,2.5){\scriptsize$e_1$}\rput(2.2,1){\scriptsize$e_2$}
\rput(1,.15){\scriptsize$e_3$}\rput(-.2,1){\scriptsize$e_4$}
\rput(.23,2.5){\scriptsize$e_5$}\rput(.8,.9){\scriptsize$e_6$}
\rput(1,2.32){\scriptsize$e_7$}\rput(1,1.68){\scriptsize$e_8$}
\rput(1,-.4){\scriptsize$G$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1,0)(3,4)
\cnode(1,3){.08}{1}\rput(.75,3.05){\scriptsize$x_1$}
\cnode(2,2){.08}{2}\rput(2.3,2){\scriptsize$x_2$}
\cnode(2,0){.08}{3}\rput(2.3,0){\scriptsize$x_3$}
\cnode(0,0){.08}{4}\rput(-.3,0){\scriptsize$x_4$}
\cnode(0,2){.08}{5}\rput(-.3,2){\scriptsize$x_5$}
\ncline[arrows=->]{5}{1}\ncline[arrows=->]{5}{4}
\ncline[arrows=->]{4}{3}\ncline[arrows=->]{3}{5}
\ncline[arrows=->]{3}{2}\ncline[arrows=->]{2}{1}
%\nccurve[angleA=160,angleB=20,arrows=->]{2}{5}
\nccurve[angleA=-20,angleB=-160,arrows=->]{5}{2}
\rput(1.8,2.5){\scriptsize$e_1$}\rput(2.2,1){\scriptsize$e_2$}
\rput(1,.15){\scriptsize$e_3$}\rput(-.2,1){\scriptsize$e_4$}
\rput(.23,2.5){\scriptsize$e_5$}\rput(.8,.9){\scriptsize$e_6$}
%\rput(1,2.32){\scriptsize$e_7$}
\rput(1,1.68){\scriptsize$e_8$} \rput(1,-.4){\scriptsize
$G$\,的支撑子图}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1,0)(3,4)
%\cnode(1,3){.08}{1}\rput(.75,3.05){\scriptsize$x_1$}
\cnode(2,2){.08}{2}\rput(2.3,2){\scriptsize$x_2$}
%\cnode(2,0){.08}{3}\rput(2.3,0){\scriptsize$x_3$}
\cnode(0,0){.08}{4}\rput(-.3,0){\scriptsize$x_4$}
\cnode(0,2){.08}{5}\rput(-.3,2){\scriptsize$x_5$}
%\ncline[arrows=->]{5}{1}
\ncline[arrows=->]{5}{4}
%\ncline[arrows=->]{4}{3}\ncline[arrows=->]{3}{5}
%\ncline[arrows=->]{3}{2}\ncline[arrows=->]{2}{1}
\nccurve[angleA=160,angleB=20,arrows=->]{2}{5}
\nccurve[angleA=-20,angleB=-160,arrows=->]{5}{2}
%\rput(1.8,2.5){\scriptsize$e_1$}\rput(2.2,1){\scriptsize$e_2$}
%\rput(1,.15){\scriptsize$e_3$}
\rput(-.2,1){\scriptsize$e_4$}
%\rput(.23,2.5){\scriptsize$e_5$}\rput(.8,.9){\scriptsize$e_6$}
\rput(1,2.32){\scriptsize$e_7$}\rput(1,1.68){\scriptsize$e_8$}
\rput(1,-.4){\scriptsize$G-\{x_1,x_3\}$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1,-.2)(3,4)
\cnode(1,3){.08}{1}\rput(.75,3.05){\scriptsize$x_1$}
\cnode(2,2){.08}{2}\rput(2.3,2){\scriptsize$x_2$}
\cnode(2,0){.08}{3}\rput(2.3,0){\scriptsize$x_3$}
\cnode(0,0){.08}{4}\rput(-.3,0){\scriptsize$x_4$}
\cnode(0,2){.08}{5}\rput(-.3,2){\scriptsize$x_5$}
%\ncline[arrows=->]{5}{1}
\ncline[arrows=->]{5}{4}
\ncline[arrows=->]{4}{3}\ncline[arrows=->]{3}{5}
\ncline[arrows=->]{3}{2}%\ncline[arrows=->]{2}{1}
\nccurve[angleA=160,angleB=20,arrows=->]{2}{5}
\nccurve[angleA=-20,angleB=-160,arrows=->]{5}{2}
%\rput(1.8,2.5){\scriptsize$e_1$}
\rput(2.2,1){\scriptsize$e_2$}\rput(1,.15){\scriptsize$e_3$}\rput(-.2,1){\scriptsize$e_4$}
%\rput(.23,2.5){\scriptsize$e_5$}
\rput(.8,.9){\scriptsize$e_6$}\rput(1,2.32){\scriptsize$e_7$}\rput(1,1.68){\scriptsize$e_8$}
\rput(1,-.4){\scriptsize$G-\{e_1,e_5\}$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1,-.2)(3,4)
\cnode(1,3){.08}{1}\rput(.75,3.05){\scriptsize$x_1$}
\cnode(2,2){.08}{2}\rput(2.3,2){\scriptsize$x_2$}
%\cnode(2,0){.08}{3}\rput(2.3,0){\scriptsize$x_3$}
\cnode(0,0){.08}{4}\rput(-.3,0){\scriptsize$x_4$}
%\cnode(0,2){.08}{5}\rput(-.3,2){\scriptsize$x_5$}
%\ncline[arrows=->]{5}{1}\ncline[arrows=->]{5}{4}
%\ncline[arrows=->]{4}{3}\ncline[arrows=->]{3}{5}
%\ncline[arrows=->]{3}{2}
\ncline[arrows=->]{2}{1}
%\nccurve[angleA=160,angleB=20,arrows=->]{2}{5}
%\nccurve[angleA=-20,angleB=-160,arrows=->]{5}{2}
\rput(1.8,2.5){\scriptsize$e_1$}%\rput(2.2,1){\scriptsize$e_2$}
%\rput(1,.15){\scriptsize$e_3$}\rput(-.2,1){\scriptsize$e_4$}
%\rput(.23,2.5){\scriptsize$e_5$}\rput(.8,.9){\scriptsize$e_6$}
%\rput(1,2.32){\scriptsize$e_7$}\rput(1,1.68){\scriptsize$e_8$}
\rput(1,-.4){\scriptsize$G[\{x_1,x_2,x_4\}]$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1,-.2)(3,4)
\cnode(1,3){.08}{1}\rput(.75,3.05){\scriptsize$x_1$}
\cnode(2,2){.08}{2}\rput(2.3,2){\scriptsize$x_2$}
\cnode(2,0){.08}{3}\rput(2.3,0){\scriptsize$x_3$}
\cnode(0,0){.08}{4}\rput(-.3,0){\scriptsize$x_4$}
\cnode(0,2){.08}{5}\rput(-.3,2){\scriptsize$x_5$}
\ncline[arrows=->]{5}{1}%\ncline[arrows=->]{5}{4}
\ncline[arrows=->]{4}{3}%\ncline[arrows=->]{3}{5}
%\ncline[arrows=->]{3}{2}
\ncline[arrows=->]{2}{1}
%\nccurve[angleA=160,angleB=20,arrows=->]{2}{5}
\nccurve[angleA=-20,angleB=-160,arrows=->]{5}{2}
\rput(1.8,2.5){\scriptsize$e_1$}%\rput(2.2,1){\scriptsize$e_2$}
\rput(1,.15){\scriptsize$e_3$}%\rput(-.2,1){\scriptsize$e_4$}
\rput(.23,2.5){\scriptsize$e_5$}%\rput(.8,.9){\scriptsize$e_6$}
%\rput(1,2.32){\scriptsize$e_7$}
\rput(1,1.68){\scriptsize$e_8$}
\rput(1,-.4){\scriptsize$G[\{e_1,e_3,e_5,e_8\}]$}
\end{pspicture}

\

\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{1.10}$\quad {图\,$\eufznine{G}$\,和它的各种子图                                                          %f1.10
}}
\end{quote}\vspace*{-7mm}

\end{figure}

设\,$V'$\,是\,$V(D)$\,的非空真子集,
以\,$V'$\,为顶点集并以\,$D$\,中两端点均在\,$V'$\,中的边为边集
的子图称为\,$D$\,的由\,$V'$\,{\bf 导出的子图}, 简称{\bf 导出子图}
(induced subgraph), 记为\,$D[V']$. 导出子图\,$D[V\setminus
V']$\,记为\,$D-V'$. 若\,$V'=\{x\}$, 则简记\,$D-\{x\}$\,为\,$D-x$.

 \index{zitu@{子图}!daochuzitu@{导出子图}}

设\,$E'$\,是\,$E(D)$\,的非空子集.
以\,$E'$\,为边集并以\,$D$\,中由\,$E'$\,中边的端点为顶点集的子
图称为\,$D$\,的由\,$E'$\,{\bf 导出的子图},记为\,$D[E']$.
$D-E'$\,表示从\,$D$\,中删去\,$E'$\,(但不删去端点)\,后得到的子图.
图1.10\,画出了这些不同类型的子图.

设\,$D_1\subseteq D, D_2\subseteq D$. 若\,$V(D_1)\cap
V(D_2)=\emptyset$, 则称\,$D_1$\,和\,$D_2$\,是 {\bf 点不交的}\linebreak
(vertex-disjoint); 若\,$E(D_1)\cap E(D_2)=\emptyset$, 则称\,$D_1$
和\,$D_2$\,是{\bf 边不交的} (edge-disjoint).
$D_1$\,和\,$D_2$\,的{\bf 并} (union) $D_1\cup D_2$\, 是子图\,$H$,
其中\,$V(H)=V(D_1)\cup V(D_2)$\,且\,$E(H)=E(D_1)\cup E(D_2)$.
若\,$D_1$\,和\,$D_2$\,点不交, 则记\,$D_1\cup D_2=D_1+D_2$.
若对每个\,$i \, (1\leqslant i\leqslant n)$\, 均有\,$D_i\cong H$,
则记\,$D_1+D_2+\cdots+D_n=nH$. 若\,$D_1$\,和\,$D_2$\,边不交, 则记
$D_1\cup D_2=D_1\oplus D_2$.

若\,$V(D_1)\cap V(D_2)\ne \emptyset$,
则类似可以定义\,$D_1$\,和\,$D_2$\,的{\bf 交} (intersection) $D_1\cap
D_2$.


 \index{dianbujiaotu@{点不交图}}
 \index{bianbujiaotu@{边不交图}}
 \index{tudeyunsuan@{图的运算}!tudebing@{图的并}}
 \index{tudeyunsuan@{图的运算}!tudejiao@{图的交}}


{\bf 例\,{$\boldsymbol {1.3.1}$}}\quad  设\,$G$\,是简单无向图且不含三角形. 证明:
$\varepsilon \leqslant \frac 14\,\upsilon^2$.

{\bf 证明}\quad  若\,$G$\,是空图, 则\,$\varepsilon =0$, 结论成立.\!\!
下设\,$G$\,是非空图.\! 任取\,$xy\in E(G)$.由

\newpage
\setcounter{page}{23}
\begin{wrapfigure}{o}{5.6cm}
\vspace*{-5mm} \hspace*{-3mm}
 \psset{unit=1.}
\begin{pspicture}(-3.2,-.3)(3,3)
\SpecialCoor\degrees[14] \cnode(0;0){.08}{8}
\multido{\i=0+1}{8}{\cnode(2.5;\i){.08}{\i}}
\multido{\i=5+1}{3}{\ncline[arrows=->]{\i}{8}}
\multido{\i=0+1}{5}{\ncline[arrows=->]{8}{\i}}
\ncline[arrows=->]{7}{6}\ncline[arrows=->]{6}{5}
\ncline[arrows=->]{5}{4}\ncline[arrows=->]{4}{3}
\ncline[arrows=->]{3}{2}\ncline[arrows=->]{2}{1}
\ncline[arrows=->]{1}{0}
\rput(.3;10.5){\footnotesize$x$}\rput(2.8;7){\footnotesize$x_1$}
\rput(2.8;6){\footnotesize$x_2$}\rput(2.8;5){\footnotesize$x_{i-1}$}
\rput(2.8;4){\footnotesize$x_i$}\rput(2.8;3){\footnotesize$x_{i+1}$}
\rput(2.8;1){\footnotesize$x_{n-1}$}\rput(2.8;0){\footnotesize$x_n$}
\end{pspicture}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{1.12}$\quad\bf 定理\eufznine{1.4.1}的说明图}
\vspace*{-3mm}
\end{wrapfigure}
\noindent 设\,$x,y\in V$.\! 若\,$D$ (或\,$G$) 中存在连接\,$x$\,和\,$y$\,的路,
则称\,$x$\,和\,$y$\,是 {\bf 连通的}\, (connected). 容易验证,
$V$\,中元素之间的连通关系是\,$V$\,上的等 价关系.
这种等价关系将\,$V$\,分成等价类\,$V_1,V_2,\cdots,V_{\omega}$.
$x$\,和\,$y$ 属于同一类\,$V_i\Leftrightarrow x$\,和\,$y$\,是连通的.
子图\,$D[V_i]$ (或\,$G[V_i]$)\,$(1\leqslant i\leqslant
\omega)$\,称为\,$D$(或\,$G$) 的 {\bf 连通分支} (connected
component), $\omega$\,称为\,$D$\,(或\,$G$)\, 的 {\bf 连通分支数}\,
(number of components), 记为\,$\omega=\omega(D)$
\,(或\,$\omega(G)$). 若\,$\omega(D)=1$\, (或\,$\omega(G)=1$),
则称\,$D$\,(或\,$G$)为{\bf 连通图}\, (connected digraph or graph).
反之称{\bf 非连通图} \,(disconnected graph). 例如,
图1.13\,所示的两个图, 其中\,(a)\,中图是连通的,
而\,(b)\,中图是非连通的, 因为它有\,3\,个连通分支.
 \index{liantong@{连通}}
 \index{liantongtu@{连通图}}
 \index{liantongtu@{连通图}!feiliantongtu@{非连通图}}
 \index{liantongtu@{连通图}!liantongfenzhi@{连通分支}}
 \index{liantongtu@{连通图}!liantongfenzhishu@{连通分支数}}
 \index{shu@{数}!liantongfenzhishu@{连通分支数}}
\vskip15pt
% Figure 1.13
\begin{figure}[htb]  % h: here; t: top; b: bottom
\vspace*{-5mm}\psset{unit=1,arrowsize=.13}     % scale
\begin{pspicture}(.2,.5)(5,3.5)
\cnode(1,1){.1}{1}\cnode(2.2,1.5){.1}{2}
\cnode(3.5,.8){.1}{3}\cnode(3.5,2.2){.1}{4}
\cnode(5,1.5){.1}{5}\cnode(5,3){.1}{6}
\cnode(1.2,3.5){.1}{7}\cnode(2.5,3.6){.1}{8}
\ncline[arrows=->]{2}{4}\ncline[arrows=->]{3}{2}\ncline[arrows=->]{3}{4}
\ncline[arrows=->]{4}{5}\ncline[arrows=->]{5}{3}\ncline[arrows=->]{6}{4}
\ncline[arrows=->]{6}{5}\ncline[arrows=->]{7}{8}\ncline[arrows=->]{8}{6}
\ncline[arrows=->]{7}{1}\ncline[arrows=->]{7}{2}
\nccurve[angleA=-10,angleB=-120,arrows=<-]{1}{2}
\nccurve[angleA=170,angleB=60,arrows=<-]{2}{1}
\nccurve[angleA=-60,angleB=60,arrows=->]{6}{5}
\nccurve[angleA=-120,angleB=120,arrows=->]{6}{5}
\nccurve[angleA=140,angleB=40,arrows=->]{8}{7}
\nccurve[angleA=-120,angleB=-30,arrows=->]{8}{7}
\pscurve[arrows=->](3.55,2.25)(3.7,2.6)(3.6,2.8)(3.4,2.8)
\pscurve(3.6,2.8)(3.4,2.8)(3.3,2.6)(3.45,2.25)
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1.5,.5)(5,3.5)
\cnode(1,1){.1}{1}\cnode(2.2,1.5){.1}{2}
\cnode(3.5,.8){.1}{3}\cnode(3.5,2.2){.1}{4}
\cnode(5,1.5){.1}{5}\cnode(5,3){.1}{6}
\cnode(1.2,3.5){.1}{7}\cnode(2.5,3.6){.1}{8}
\ncline[arrows=->]{2}{4}\ncline[arrows=->]{3}{2}\ncline[arrows=->]{3}{4}
\ncline[arrows=->]{4}{5}\ncline[arrows=->]{5}{3}
\ncline[arrows=->]{7}{8}
\nccurve[angleA=-10,angleB=-120,arrows=<-]{1}{2}
\nccurve[angleA=170,angleB=60,arrows=<-]{2}{1}
\nccurve[angleA=140,angleB=40,arrows=->]{8}{7}
\nccurve[angleA=-120,angleB=-30,arrows=->]{8}{7}
\pscurve[arrows=->](3.55,2.25)(3.7,2.6)(3.6,2.8)(3.4,2.8)
\pscurve(3.6,2.8)(3.4,2.8)(3.3,2.6)(3.45,2.25)
\end{pspicture}
\begin{quote}
\small{\qquad(a)\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\qquad\quad(b)}\\
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{1.13}$\quad\bf 有向图\,$D$\,和它的\,\eufznine{3}\,个强连通分支}
\end{quote}\vspace*{-4mm}
\end{figure}

设\,$D$\,是有向图, $x,y\in V(D)$.
若\,$D$\,中既存在\,$(x,y)$\,路又存在\,$(y,x)$\,路, 则称\,$x$\,和\
$y$\,是{\bf 强连通的}\, (strongly connected). 同样,
$V$\,中元素之间的强连通关系是\,$V$\,上的等价关系.
由这种关系得到\,$V$\,的等价类
\,$V_i$\,在\,$D$\,中导出子图\,$D[V_i]$\,称为\,$D$\,的{\bf
强连通分支}. $D$\,的{\bf 强连通分支 数}记为\,$\vec{\omega}(D)$.
若\,$\vec{\omega}(D)=1$, 则称\,$D$\,为{\bf 强连通图}. 反之,
称\,$D$\,为{\bf 非强连通图}.

 \index{liantong@{连通}!qiangliantong@{强连通}}
 \index{liantongtu@{连通图}!qiangliantongyouxiangtu@{强连通有向图}}
 \index{youxiangtu@{有向图}!qiangliantongyouxiangtu@{强连通有向图}}
 \index{qiangliantongtu@{强连通图}}
 \index{qiangliantongtu@{强连通图}!feiqiangliantongtu@{非强连通图}}
 \index{qiangliantongtu@{强连通图}!qiangliantongfenzhi@{强连通分支}}
 \index{qiangliantongtu@{强连通图}!qiangliantongfenzhishu@{强连通分支数}}
 \index{shu@{数}!qiangliantongfenzhishu@{强连通分支数}}


显然, 若\,$D$\,是强连通的, 则\,$D$\,必是连通的. 反之不成立.
但对无向图\,$G$, 这两个连 通性却是一样的.
图1.13\,(a)\,所示的有向图是连通的, 但是非强连通的,
因为它有如图1.13\,(b)\,所示的三个强连通分支. 由连通定义,
容易证明:

{\bf 定理\,{$\boldsymbol {1.4.2}$}}

(a)\ {\bf $D$\,(或\,$G$\,)\,是连通的\,$\Leftrightarrow$\,对\,$V$
的任何非空真子集\,$S$\,均有\ $[S,\overline S]$ $\ne\emptyset.$}

(b)\ {\bf $D$\,是强连通的\,$\Leftrightarrow$\,对
$V$的任何非空真子集\,$S$\,均有\,$(S,\overline
S)\ne\emptyset$\,且\,$(\overline
S,S)\ne\emptyset$}.\hfill\rule{1mm}{2mm}
}

\newpage
\setcounter{page}{27}

\noindent 图,所以\,$C$\,中存在相邻两顶点 \,$u_i$\,和\, $u_{i+1}$\,使\,
$(u_i,x),(x,u_{i+1})\in E(D)$. 于是\,$u$\,含在长为\,$n+1$\,的有向圈
\,$(u_0,u_1,\cdots,u_i,x,u_{i+1},\cdots,u_n)$\,中.\vspace*{-2mm}

% Figure 1.14
\begin{figure}[!htpb]  % h: here; t: top; b: bottom
\psset{unit=1,arrowsize=.14}     % scale
\begin{pspicture}(-1,0)(5,4)
\pscircle(2,1){.8}\pscircle(4.5,1){.8}
\cnode(3.25,4){.08}{u}\rput(3.5,4){\scriptsize$u$}
\cnode(2.5,1){.08}{x}\rput(2.45,.75){\scriptsize$x$}
\cnode(4,1){.08}{y}\rput(4.05,.75){\scriptsize$y$}
\rput(1.5,1.3){\scriptsize$S$}\rput(5,1.3){\scriptsize$T$}
\ncline[arrows=->]{u}{x}\ncline[arrows=->]{x}{y}
\psline[arrows=->](3.22,3.95)(2.15,1.3)\psline[arrows=->](3.2,3.95)(1.8,1.5)
\ncline{u}{y}\psline[arrows=<-](3.63,2.5)(3.98,1.03)
\psline(3.28,3.95)(4.35,1.3)\psline[arrows=<-](3.825,2.6)(4.35,1.3)
\psline(3.3,3.95)(4.7,1.5)\psline[arrows=<-](3.95,2.8)(4.7,1.5)
\rput(3.25,0){\scriptsize(a)}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(0,.0)(4,4)
\psarc[arrows=->](3,3){1}{-87}{-41}
\psarc[arrows=->](3,3){1}{-34}{214}
\psarc[arrows=->](3,3){1}{221}{-93}
\cnode(2.2,2.4){.08}{0}\rput(2.7,2.55){\scriptsize$u=u_0$}
\cnode(3,2){.08}{1}\rput(3,1.8){\scriptsize$u_1$}
\cnode(3.8,2.4){.08}{2}\rput(4.1,2.2){\scriptsize$u_2$}
\pscircle(2,1){.5}\pscircle(4,1){.5}
\cnode(2.2,1){.08}{x}\rput(2.2,.75){\scriptsize$x$}
\cnode(3.8,1){.08}{y}\rput(3.8,.75){\scriptsize$y$}
\ncline[arrows=->]{0}{x}\ncline[arrows=->]{x}{y}\ncline[arrows=->]{y}{2}
\rput(1.7,1.1){\scriptsize$S$}\rput(4.3,1.1){\scriptsize$T$}
\rput(3,.2){\scriptsize(b)}
\end{pspicture}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{1.14}$\quad \bf{定理\,{\eufznine{1.5.1}}\,的证明辅助图
}}
\end{quote}\vspace*{-5mm}

\end{figure}

下设对任何\,$x\in V\setminus V(C)$,\,$N^+_D(x)\cap V(C)=\emptyset$,
或者\, $N^-_D(x)\cap V(C)=\emptyset$. 令
$$
\begin{array}{rl}
&S=\{x\in V\setminus V(C):\ N^+_D(x)\cap V(C)=\emptyset\},\\
&T=\{y\in V\setminus V(C):\ N^-_D(y)\cap V(C)=\emptyset\}.
\end{array}
$$
显然, $S\ne\emptyset,\ T\ne\emptyset$\,且\,$(S,T)\ne\emptyset$.
设\,$x\in S,\ y\in T$\,使得\,$(x,y)\in E(D)$
\,(见图1.14\,(b)). 于是,
$u$\,含在长为\,$n+1$\,的有向圈\,$(u_0,x,y,u_2,\cdots$, $u_n)$\,中.
\hfill\rule{1mm}{2mm}


{\bf 推论\,{$\boldsymbol {1.5.1}$}}\quad {\bf
设\,$x$\,和\,$y$\,是\,$\upsilon\,(\geqslant 5)$\,阶强连通竞赛图\,$D$
\,中任意两顶点\,(不必互异), 则\
$D$\,中存在长为\,$d+3$\,的\,$(x,y)$\,链, 其中\,$d=d(D)$(见1.8节).}

{\bf 证明}\quad  设\,$P$\,是\,$D$\,中最短\,$(x,y)$\,路.
由于\,$0\leqslant d_D(x,y)\leqslant d\leqslant \upsilon-1$,
所以\,$3\leqslant d-d_D(x,y)+3\leqslant \upsilon+2$,其中$d_D(x,y)$表示$D$中最短($x,y$)路的长度.

若\,$d-d_D(x,y)+3\leqslant \upsilon$,
则由定理\,1.5.1\,知\,$y$\,含在长为\,$m=d-d_D(x,y)+3$\,的有向
圈\,$C_m$\,中. 于是, $P\oplus C_m$\,形成\,$D$\,中\,$(x,y)$\,链,
其长为
 $$d_D(x,y)+(d-d_D(x,y)+3)=d+3.$$

{\ziju{-0.1}若\,$d-d_D(x,y)+3=\upsilon+1$,
则由定理\,1.5.1\,和\,$\upsilon\geqslant
5$\,知\,$y$\,含在长为\,3\,的有向圈\,$C_3$
和长为\,$\upsilon-2$\,的有向圈\,$C_{\upsilon-2}$\,中. 于是, $P\oplus
C_{\upsilon-2}\oplus C_3$\,形成\,$D$ 中\,$(x,y)$\,链, 其长为
 $$d_D(x,y)+(\upsilon-2)+3=d_D(x,y)+d-d_D(x,y)+3=d+3.$$}\vspace*{-6mm}

若\,$d-d_D(x,y)+3=\upsilon+2$,
则由定理\,1.5.1\,知\,$y$\,含在长为\,3\,的有向圈\,$C_3$\,和长
为\,$\upsilon-1$\,的有向圈\,$C_{\upsilon-1}$\,中. 于是, $P\oplus
C_{\upsilon-1}\oplus C_3$\,形成\,$D$\,中\, $(x,y)$\,链, 其长为\vspace*{-1mm}
 $$d_D(x,y)+(\upsilon-1)+3=d_D(x,y)+d-d_D(x,y)+3=d+3.$$
推论得证.\hfill\rule{1mm}{2mm}

\index{dingli@{定理}!erbutupandingdingli@{2\,部图判定定理}}

{\bf 定理\,{$\boldsymbol {1.5.2}$}}\ (2\,部图判定定理)~~\ {\bf
强连通有向图\,$D$\,是\,$2$\,部图 \,$\Leftrightarrow
D$\,不含有向奇回.}

{\bf 证明}\quad  ($\Rightarrow$)
设\,$D$\,是\,$2$\,部划分为\,$\{X,Y\}$\,的\,$2$\,部有向图,
$C=x_0a_1x_1\cdots x_{k-1}a_kx_0$\ 是\ $D$\,中长为\,$k$\,的有向回.
不失一般性, 设\,$x_0\in X$. 因为\,$D$\,是\,$2$\,部图, 所以\,$x_1\in
Y,x_2\in X,x_3\in Y,\cdots$. 一般地, $x_{2i}\in X$, $x_{2i+1}\in Y$.
由于\,$x_0\in X$, 所以\,$x_{k-1}\in Y$. 于是存在
\,$i$\,使\,$k-1=2i+1$, 即\,$k=2i+2$. 因此, $C$\,是有向偶回.

($\Leftarrow$) 由于\,$D$\,不含有向奇回, 所以\,$D$\,中无环.
不妨设\,$\upsilon\geqslant 2$. 任取\,$u\in V(D)$. 令
$$
\begin{array}{rl}
&X=\{x\in V(D):\ d_D(u,x)\ \mbox{是偶数}\},\\
&Y=\{y\in V(D):\ d_D(u,y)\ \mbox{是奇数}\}.
\end{array}
$$

显然, $u\in X$\,且\,$Y\ne\emptyset$, $\{X,Y\}$\,是\,$V(D)$\ 的划分.

下证\,$E(D[Y])=\emptyset$. 若\,$|Y|=1$, 则不证自明.
设\,$|Y|\geqslant 2$, $y,z\in Y, y\ne z$. 令\
$P_1$\,和\,$Q_1$\,分别是最短 \,$(u,y)$\,路和\,$(u,z)$\,路,
$P_2$\,和\,$Q_2$\,分别是最短\,$(y,u)$\,路和\,$(z,u)$\,路\
($D$\,的强连通性保证了这\,4\,条 有向路的存在). 由\,$Y$\,的定义知
\,$P_1$\,和\,$Q_1$\,的长都是奇数. 由于\,$D$\,不含有向奇回,
且\,$P_1\oplus P_2$\,和\, $Q_1\oplus Q_2$\,都含\,$D$\,中有向回,
所以\,$P_2$\,和\,$Q_2$\,的长也都是奇数. 因此, 若存在\, $a\in
E(D)$\,使\,$\psi_D(a)=(z,y)$, 则\,$P_2\oplus Q_1\oplus
{a}$\,是\,$D$\,中有向奇回, 矛盾于假定. 同样证明不存在\,$b\in
E(D)$\,使\,$\psi_D(b)=(y,z)$. 所以\,$Y$\,中任何两顶点不相邻.

同样可证\,$X$\,中任何两顶点也不相邻,
因此\,$D$\,是\,$2$\,部图.\hfill\rule{1mm}{2mm}


{\bf 注}\quad  在定理\,1.5.2\,的证明中,
其必要性成立并没有用到\,$D$\,的强连通性. 但对 于充分性,
强连通性是不可少的. 例如, 图1.6\,所示的两个\,3\,阶竞赛图中,
前一个不 是强连通的, 而且不含有向回, 但它显然不是\,$2$\,部图.

{\bf 推论\,{$\boldsymbol {1.5.2.1}$}}\quad {\bf
强连通有向图\,$D$\,是\,$2$\,部图\,$\Leftrightarrow D$ 不含有向奇圈.}

{\bf 证明}\quad  ($\Rightarrow$)\
由定理\,1.5.2\,知\,$D$\,不含有向奇回. 因而\,$D$\,不含有向奇圈.

($\Leftarrow$)\ 设\,$D$\,不含有向奇圈. 首先证明\,$D$\,不含有向奇回.
若不然, 设\,$C$\,是\,$D$\,中有向奇回. 由于\,$D$\,不含有向奇圈,
所以\,$C$\,不是有向圈. 于是\,(习题\,1.4.1), $C$\,可以表示成\,
$k$\,条边不交有向圈\,$C_1,C_2,\cdots,C_k$\,之并\, $C=C_1\oplus
C_2\oplus\cdots\oplus C_k$. 由于\,$C$\,的长
$$
\varepsilon (C)=\varepsilon (C_1)+\varepsilon
(C_2)+\cdots+\varepsilon (C_k)
$$
为奇数, 所以\,$\varepsilon (C_1),\varepsilon
(C_2),\cdots,\varepsilon (C_k)$\, 中必有一个为奇数.
矛盾于\,$D$\,不含有向奇圈的假设.
由于\,$D$\,不含有向奇回且\,$D$\,是强连通的,
所以由定理\,1.5.2\,知\,$D$\,是\,$2$\,部图. \hfill\rule{1mm}{2mm}



\newpage
\setcounter{page}{33}
\noindent 向行进时, 作为\,$C$\,的顶点\,$x$\,每出现一次,
就有一条边进入\,$x$, 同时也有一条边 离开\,$x$.
于是\,$d^+_D(x)=d^-_D(x)$, 即\,$D$\,是平衡图.

($\Leftarrow$)\ 反证法. 取边数尽可能少的非平凡连通且不含\,Euler
\,有向回的平衡图\,$D$. 由于\,$\delta ^+=\delta ^-\ne 0$,
所以\,(习题\,1.5.2)\,$D$\,中含有向圈.
设\,$C$\,是\,$D$\,中最长有向回. 由于\,$D$\,不含\,Euler\,有向回,
所以\,$D-E(C)$\,中存在连通分支\,$D'$\,使\,$\varepsilon (D')>0$. 由
于\,$D$\,和\,$C$\,都是平衡图, 所以\,$D'$\,也是平衡图且\,$\varepsilon
(D')<\varepsilon (D)$. 于是,
由\,$D$\,的选取知\,$D'$\,含有向\,Euler\,回\,$C'$.
因为\,$D$\,是连通的, 所以\,$V(C)\cap V(C')\ne\emptyset$.
于是\,$C\oplus C'$\,是\,$D$\,中有向回. 但\,$\varepsilon (C\oplus
C')>\varepsilon (C)$. 矛盾于\,$C$\,的选取.
所以\,$D$\,是\,Euler\,图.\hfill\rule{1mm}{2mm}


{\bf 推论\,{$\boldsymbol {1.6.1}$}}\quad  {\bf 设\,$D$\,是非平凡连通图,
则\,$D$\,有\,Euler\,$(x,y)$\,迹\, $\Leftrightarrow
d^+_D(x)-d^-_D(x)=1=d^-_D(y)-d^+_D(y)$, 而且对任何\,$u\in
V(D)\setminus\{x,y\}$\, 均有\,$d^+_D(u)=d^-_D(u)$.}

{\bf 证明}\quad
令在\,$D$\,中添加一条以\,$y$\,为起点且以\,$x$\,为终点的有向边\,$a$
\,后得到的有向图为\,$D'$.

($\Rightarrow$)\ 设\,$T$\,是\,$D$\,中\,Euler\,$(x,y)$\,迹,
则\,$T\oplus a$\,是\,$D'$\,中\,Euler\,有向回. 由定理\,1.6\,知\
$D'$\,是平衡图. 于是
 $$
 \begin{array}{l}
 d^+_D(u)=d^+_{D'}(u)=d^-_{D'}(u)=d^-_D(u),\ \forall\ u\in
 V(D)\setminus\{x,y\};\\
 d^+_D(x)=d^+_{D'}(x)=d^-_{D'}(x)=d^-_D(x)+1;\\
 d^-_D(y)=d^-_{D'}(y)=d^+_{D'}(y)=d^+_D(y)+1.
 \end{array}
 $$


($\Leftarrow$)\ 由假设知\,$D'$\,是平衡图. 所以,
由定理\,1.6\,知\,$D'$\,中含\, Euler\, 有向回. 设\ $C$\,
是\,$D'$\,中\,Euler\,有向回,
于是\,$C-a$\,即为\,$D$\,中\,Euler\,$(x,y)$\,迹.
\hfill\rule{1mm}{2mm}

下列结果中条件的必要性是\,Euler\,在\,1736\,年解决\,K\"onigsberg\,七桥
问题时发现的, 而条件的充分性直到\,130 多年后才由\,C. Hierholzer
(1873) 发现. 实际上, 1873 年, Hierholzer 已经去世了,
是他的同事把\,Hierholzer\,生前告诉他的证明整理出来,
并以\,Hierholzer\,的单独署名发表的.

{\bf 推论\,{$\boldsymbol {1.6.2}$}}\quad  {\bf
图\,$G$\,是\,Euler\,图\,$\Leftrightarrow G$\,是连通的且不含奇 度点.}

{\bf 证明}\quad  ($\Rightarrow$)\ 设\,$C$\,是\,$G$\,中\,Euler\,回,
沿着\,$C$\,给\,$G$\,中每条边定向.
这样得到\,$G$\,的定向图\,$D$\,仍是\,Euler\,图.
由定理\,1.6\,知\,$D$\,是连通平衡图. 因此\,$G$\,是连通的,
而且对任何\,$x\in V(G)$\,均有\,$d_G(x)=d^+_D(x)+d^-_D(x)=2d^+_D(x)$.
故\,$G$\,不含奇度点.

($\Leftarrow$)\ 设\,$G$\,连通且不含奇度点.
由例\,1.5.2\,知\,$G$\,有连通的平衡定向图\,$D$.
由定理\,1.6\,知\,$D$\,含\,Euler\,有向回\,$C$.
除掉\,$C$\,中每条边的方向即得\,$G$\,中\,Euler\,回. 因而\,$G$\,是\
Euler\,图.\hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 例\,{$\boldsymbol {1.6.1}$}}\quad  由推论\,1.6.2\,知, K\"onigsberg\,七桥问题无解.

{\bf 推论\,{$\boldsymbol {1.6.3}$}}\quad {\bf
非平凡图\,$G$\,有\,Euler\,迹\,$\Leftrightarrow G$
连通且最多有两个奇度点.}

{\bf 证明}\quad  ($\Rightarrow$)\
设\,$T$\,是\,$G$\,中\,Euler\,$xy$\,迹. 若\,$x=y$,
则\,$T$\,是\,Euler\,回. 由推论\,1.6.2\ 知\,$G$\,不含奇度点.
若\,$x\ne y$, 则在\,$T$\,中顶点\,$x$\,和\,$y$\, 之间添加一条边\,$e$.
于是, $T\oplus e$\,是\,$G\oplus e$\,中\,Euler\,回.
由推论\,1.6.2\,知\,$G\oplus e$\,不含奇度点.
因此\,$G$\,中除\,$x$\,和\,$y$\,外都是偶度点.

($\Leftarrow$)\ 设\,$G$\,是非平凡连通图. 若\,$G$\,不含奇度点,
由推论\,1.6.2\ 知\,$G$\,含\,Euler\,回, 因而\,$G$\,含\,Euler\,迹.
若\,$G$\,含奇度点, 由推论\,1.3.2\
知\,$G$\,只含两个奇度点\,$x$\,和\,$y$.
在\,$G$\,中顶点\,$x$\,和\,$y$\,之间添加一条边\,$e$. 于是,\ $G\oplus
e$\,不含奇度点. 因而由推论\,1.6.2\,知, $G\oplus e$\,含\
Euler\,回\,$C$. 于是\,$C-e$\,为\,$G$\,中\,Euler\,迹.
\hfill\rule{1mm}{2mm}

由定理\,1.6\,和它的推论,
很容易判定一个图是否是\,Euler\,或者含\,Euler\,迹. 例如,
长为\,$n\,(\geqslant 3)$ 的有向圈和无向圈都是\,Euler\,的;
长为\,$n\,(\geqslant 2)$ 的有向路和无向路都含\,Euler\,迹;
奇阶\,$n\,(\geqslant 3)$\,的完全有向图和完全无向图都是\,Euler\,的;
完全\,$2$\,部图\,$K_{n,m}$\ 是\,Euler\,的\,$\Leftrightarrow$
$n$\,和\,$m$\,都是偶数;
$n$\,维超立方体\,$Q_n$\,(见例\,1.2.1)\,是\,Euler\,的\linebreak $\Leftrightarrow$
$n$\,是偶数.



现在, 介绍的两类著名的\,Euler\,图, 一个是\,de Bruijn\,有向图,
另一个是\,Kautz\linebreak 有向图. 它们在编码理论和互连网络理论
中有着重要的应用.

 \index{debruijnyouxiangtu@{de Bruijn\,有向图}}

{\bf 例\,{$\boldsymbol {1.6.2}$}}\quad  对于任何整数\,$n\geqslant 1$\,和\,$d\geqslant
2$, ${\boldsymbol {\mathbf{de\ Bruijn}}\, \mbox{\bf 有向图}}$, 记为\,$B(d,n)$. 它的顶点集\vspace{-1mm}
 $$
 V(B(d,n))=\{x_1x_2\cdots x_n: x_i\in \{0,1,\cdots,d-1\}, 1\leqslant i\leqslant n\}.
 $$
设\,$x,y\in V(B(d,n))$. 若\,$x=x_1x_2\cdots x_n$, 则有向边
 $$
 (x,y)\in E(B(d,n))\Leftrightarrow y=x_2x_3\cdots x_n\alpha,\
\alpha \in \{0,1,\cdots,d-1\},
$$
并记有向边\,$(x,y)$\,为\,$x_1x_2\cdots x_n\alpha.$

图1.17\,所示的是\,$B(2,1), B(2,2)$\,和\,$B(2,3)$.

由定义立即知\,$B(d,n)$\,中无平行边, 而且\,$V(B(d,n))$\
中元素与分量取值为 $0,1,$ $\cdots, d-1$\,的\,$n$\,维向量一一对应,
而后者恰有\,$d^n$\,个. 所以, $\upsilon(B(d,n))=d^n$. 任取\,
$x=x_1x_2\cdots x_n\in V(B(d,n))$, $B(d,n)$\, 中以
\,$x$为\,起点的边集和以\,$x$\,为终点的边集分别为\vspace{-1mm}
$$
\begin{array}{l}
E^+_B(x)=\{x_1x_2x_3\cdots x_n\alpha:\ \alpha \in
\{0,1,\cdots,d-1\};\\
E^-_B(x)=\{\beta x_1x_2\cdots x_{n-1}x_n: \beta\in
\{0,1,\cdots,d-1\}.
\end{array}
$$
所以\vspace{-1mm}
 $$
 d^+_B(x)=|E^+_B(x)|=d=|E^-_B(x)|=d^-_B(x).
 $$


\newpage
\setcounter{page}{36}
\begin{figure}[!htbp]  % h: here; t: top; b: bottom
\vspace*{-8mm}
%\psset{unit=.8}     % scale
\begin{minipage}{100pt}
\begin{pspicture}(.5,1)(10,7)
\rput(3,4){\circlenode{000}{\scriptsize$000$}}
\rput(4,2){\circlenode{001}{\scriptsize$001$}}
\rput(4,6){\circlenode{100}{\scriptsize$100$}}
\rput(5,4){\circlenode{010}{\scriptsize$010$}}
\rput(7,4){\circlenode{101}{\scriptsize$101$}}
\rput(8,2){\circlenode{011}{\scriptsize$011$}}
\rput(8,6){\circlenode{110}{\scriptsize$110$}}
\rput(9,4){\circlenode{111}{\scriptsize$111$}}%
\ncline[arrowsize=.15]{->}{000}{001}\rput(3.2,2.8){\scriptsize$a_2$}
\ncline[arrowsize=.15]{->}{100}{000}\rput(3.2,5.2){\scriptsize$a_{16}$}
\ncline[arrowsize=.15]{->}{100}{001}\rput(3.8,4.5){\scriptsize$a_8$}
\ncline[arrowsize=.15]{->}{001}{010}\rput(4.8,2.8){\scriptsize$a_9$}
\ncline[arrowsize=.15]{->}{010}{100}\rput(4.8,5.2){\scriptsize$a_{15}$}
\ncline[arrowsize=.15]{->}{001}{011}\rput(6,2.2){\scriptsize$a_3$}
\ncline[arrowsize=.15]{->}{110}{100}\rput(6,5.8){\scriptsize$a_7$}

\ncline[arrowsize=.15]{->}{001}{011}\rput(6,3.5){\scriptsize$a_{10}$}
\ncline[arrowsize=.15]{->}{110}{100}\rput(6,4.5){\scriptsize$a_{14}$}

\ncline[arrowsize=.15]{->}{110}{101}\rput(7.2,5.2){\scriptsize$a_{13}$}
\ncline[arrowsize=.15]{->}{101}{011}\rput(7.2,2.8){\scriptsize$a_{11}$}
\ncline[arrowsize=.15]{->}{011}{110}\rput(8.3,3.5){\scriptsize$a_{12}$}
\ncline[arrowsize=.15]{->}{011}{111}\rput(8.8,2.8){\scriptsize$a_4$}
\ncline[arrowsize=.15]{->}{111}{110}\rput(8.8,5.2){\scriptsize$a_6$}
\rput{90}{\nccircle[arrowsize=.15]{->}{000}{.5}}\rput(2.5,3.3){\scriptsize$a_1$}
\rput{-90}{\nccircle[arrowsize=.15]{->}{111}{.5}}\rput(9.5,4.7){\scriptsize$a_5$}
\nccurve[angleA=150,angleB=30,arrowsize=.15]{->}{101}{010}
\nccurve[angleB=-150,angleA=-30,arrowsize=.15]{->}{010}{101}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\hspace{190pt}%\vspace{-80pt}
\begin{minipage}{50pt}
\begin{psmatrix}[rowsep=-8pt,colsep=5pt]
{\scriptsize 边}&{\scriptsize 标号}\\
{\scriptsize $a_1$}&{\scriptsize0000}\\
{\scriptsize $a_2$}&{\scriptsize0001}\\
{\scriptsize $a_3$}&{\scriptsize0011}\\
{\scriptsize $a_4$}&{\scriptsize0111}\\
{\scriptsize $a_5$}&{\scriptsize1111}\\
{\scriptsize $a_6$}&{\scriptsize1110}\\
{\scriptsize $a_7$}&{\scriptsize1100}\\
{\scriptsize $a_8$}&{\scriptsize1001}\\
{\scriptsize $a_9$}&{\scriptsize0010}\\
{\scriptsize $a_{10}$}&{\scriptsize0101}\\
{\scriptsize $a_{11}$}&{\scriptsize1011}\\
{\scriptsize $a_{12}$}&{\scriptsize0110}\\
{\scriptsize $a_{13}$}&{\scriptsize1101}\\
{\scriptsize $a_{14}$}&{\scriptsize1010}\\
{\scriptsize $a_{15}$}&{\scriptsize0100}\\
{\scriptsize $a_{16}$}&{\scriptsize1000}\\
\end{psmatrix}
\end{minipage}
\vspace*{-5mm}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{1.18}$ \  \bf{ $B(2, 3)$ 中\,\eufznine{Euler}\,有向回}}
\end{quote}
 \vspace*{-4mm}
\end{figure}


{\bf 例\,{$\boldsymbol {1.6.3}$}}\quad 对于任何整数\,$n\geqslant 2$\,和\,$d\geqslant
2$, ${\boldsymbol {\mathbf{Kautz}}\ \mbox{\bf 有向图}}$, 记为\,$K(d,n)$. 它的顶点集
 $$
 \begin{array}{rl}
 V(K(d,n)) &\!\!\!\!=\{x_1x_2\cdots x_n: x_i\in \{0,1,\cdots,d)\},\\
  &\!\!\!\!~~~~ 1\leqslant i\leqslant n, x_i\ne x_{i+1}, 1\leqslant i\leqslant n-1\}.
  \end{array}
 $$
设\,$x,y\in V(K(d,n))$. 若\,$x=x_1x_2\cdots x_n$, 则有向边
 $$
 (x,y)\in E(K(d,n))\Leftrightarrow y=x_2x_3\cdots x_n\alpha,\
\alpha \in \{0,1,\cdots,d, \alpha\ne x_n\}.
 $$

%\newpage
图1.19\,所示的是\,$K(2,1), K(2,2)$ 和\,$K(2,3)$. 容易证明:
$K(d,n)$ 是\,$d^n+d^{n-1}$ 阶\,$d$ 正则的连通有向图,
由定理\,1.6\,知它是\,Euler\,图.\hfill\rule{1mm}{2mm}

\vspace{1mm}
% Figure 1.19
\begin{figure}[!htbp]
\psset{unit=.70}     % scale
\begin{pspicture}(-.5,.5)(12,8)
% K(2,1)
\rput(4.7,5.7){\scriptsize$K(2,1)$}
\psarc[arrowsize=.15]{<-}(6,7){1}{-26}{86}%
\psarc[arrowsize=.15]{<-}(6,7){1}{94}{206}%
\psarc[arrowsize=.15]{<-}(6,7){1}{214}{-34}%
\cnode(6.86,6.5){.1}{0}\rput(7.1,6.4){\scriptsize$0$}%
\cnode(6,8){.1}{1}\rput(6.2,8.2){\scriptsize$1$}%
\cnode(5.14,6.5){.1}{2}\rput(4.9,6.4){\scriptsize$2$}%
\ncline[arrowsize=.15]{->}{0}{1}\ncline[arrowsize=.15]{->}{1}{2}\ncline[arrowsize=.15]{->}{2}{0}
% K(2,2)
\rput(2,1){\scriptsize$K(2,2)$}
\psarc[arrowsize=.15]{<-}(4,3){2}{32}{148}%
\psarc[arrowsize=.15]{<-}(4,3){2}{152}{267}%
\psarc[arrowsize=.15]{<-}(4,3){2}{272}{28}%
%\psarc{<-}(4,3){1}{30}{150}%
%\psarc{<-}(4,3){1}{150}{270}%
%\psarc{<-}(4,3){1}{270}{30}%
\cnode(4.86,3.5){.1}{01}\rput(5.1,3.2){\scriptsize$01$}%
\cnode(4,1){.1}{02}\rput(4,.7){\scriptsize$02$}%
\cnode(5.72,4){.1}{10}\rput(6.1,4){\scriptsize$10$}%
\cnode(3.14,3.5){.1}{12}\rput(3.35,3.75){\scriptsize$12$}%
\cnode(4,2){.1}{20}\rput(3.7,2){\scriptsize$20$}%
\cnode(2.28,4){.1}{21}\rput(2,4.1){\scriptsize$21$}%
\ncline[arrowsize=.15]{->}{01}{12}\ncline[arrowsize=.15]{->}{12}{20}\ncline[arrowsize=.15]{->}{20}{01}
\nccurve[angleA=0,angleB=-120,arrowsize=.15]{->}{01}{10}
\nccurve[angleA=180,angleB=60,arrowsize=.15]{->}{10}{01}
\nccurve[angleA=120,angleB=0,arrowsize=.15]{->}{12}{21}
\nccurve[angleA=-60,angleB=180,arrowsize=.15]{->}{21}{12}
\nccurve[angleA=60,angleB=-60,arrowsize=.15]{->}{02}{20}
\nccurve[angleA=240,angleB=120,arrowsize=.15]{->}{20}{02}
% K(2,3)
\rput(8,1){\scriptsize$K(2,3)$}
\psarc[arrowsize=.15]{<-}(10,4){3}{-28.3}{88}%
\psarc[arrowsize=.15]{<-}(10,4){3}{91.7}{208}%
\psarc[arrowsize=.15]{<-}(10,4){3}{211.7}{-32}%
%\psarc{<-}(10,4){1}{0}{360}%\psarc{<-}(10,4){2}{0}{360}
\cnode(10,7){.1}{210}\rput(10,7.28){\scriptsize$210$}%
\cnode(7.41,2.5){.1}{021}\rput(7.05,2.4){\scriptsize$021$}%
\cnode(12.59,2.5){.1}{102}\rput(13,2.4){\scriptsize$102$}%
\cnode(10,5){.1}{012}\rput(10,5.3){\scriptsize$012$}%
\cnode(9.14,3.5){.1}{120}\rput(8.7,3.4){\scriptsize$120$}%
\cnode(10.86,3.5){.1}{201}\rput(11.25,3.4){\scriptsize$201$}%
\cnode(9.13,5.49){.1}{121}\rput(8.75,5.6){\scriptsize$121$}%
\cnode(8.26,3.98){.1}{212}\rput(7.85,4){\scriptsize$212$}%
\cnode(9.14,2.5){.1}{202}\rput(8.8,2.2){\scriptsize$202$}%
\cnode(10.86,2.5){.1}{020}\rput(11.2,2.2){\scriptsize$020$}%
\cnode(11.74,3.98){.1}{010}\rput(12.15,4){\scriptsize$010$}%
\cnode(10.87,5.49){.1}{101}\rput(11.25,5.6){\scriptsize$101$}%
\ncline[arrowsize=.15]{->}{012}{120}\ncline[arrowsize=.15]{->}{120}{201}\ncline{->}{201}{012}
\ncline[arrowsize=.15]{->}{012}{121}\ncline[arrowsize=.15]{<-}{120}{212}
\ncline[arrowsize=.15]{->}{120}{202}\ncline[arrowsize=.15]{->}{020}{201}
\ncline[arrowsize=.15]{->}{201}{010}\ncline[arrowsize=.15]{->}{101}{012}
\ncline[arrowsize=.15]{->}{021}{212}\ncline[arrowsize=.15]{->}{121}{210}
\ncline[arrowsize=.15]{->}{210}{101}\ncline[arrowsize=.15]{->}{010}{102}
\ncline[arrowsize=.15]{->}{102}{020}\ncline[arrowsize=.15]{->}{202}{021}
\nccurve[angleA=90,angleB=210,arrowsize=.15]{->}{212}{121}
\nccurve[angleA=30,angleB=-90,arrowsize=.15]{<-}{212}{121}
\nccurve[angleA=-30,angleB=90,arrowsize=.15]{->}{101}{010}
\nccurve[angleA=-90,angleB=150,arrowsize=.15]{<-}{101}{010}
\nccurve[angleA=30,angleB=150,arrowsize=.15]{->}{202}{020}
\nccurve[angleA=-30,angleB=-150,arrowsize=.15]{<-}{202}{020}
%\ncline{021}{210}\ncline{210}{102}\ncline{102}{021}
\end{pspicture}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{1.19}$ \quad\! \bf{\eufznine{Kautz} 有向图\,$K(2, 1), \ K(2, 2)$ 和\,$K(2, 3)$}}
\end{quote}

 \vspace*{-3mm}
\end{figure}
\newpage
\setcounter{page}{41}



\noindent 这是因为, 若存在\,$x_i\in S\cap T$, 则\,$G$\,含一条圈
 $$
 C'=(x_1,x_{i+1},\cdots,x_k,y,x_i,\cdots,x_2,x_1)
 $$
且\,$|C'|=|C|+1$, 矛盾于\,$C$\,的最长性. 由式\,(1.7.1),
$x_1$\,和\,$y$\,在\,$C$\,上的邻点数目\,$d_C(x_1)$\
和\,$d_C(y)$\,满足:
\begin{equation*}
\begin{split}
\label{e1.7.2}                                        %e1.7.2
d_C(x_1)+d_C(y)=|S|+|T|=|S\cup T|\leqslant k.
\end{split}
\tag{1.7.2}\end{equation*}

另一方面, 由\,$C$\,的最长性知, 对任何\,$z\in R$, $z\ne y$,
边\,$x_1z$\,和\,$yz$\, 至多有一条存在.
所以\,$x_1$\,和\,$y$\,在\,$R$\,中的邻点数目\,$d_R(x_1)$\,和\,
$d_R(y)$\,满足:
\begin{equation*}\begin{split}\label{e1.7.3}                                        %e1.7.3
d_R(x_1)+d_R(y)\leqslant \upsilon-k-1.
\end{split}\tag{1.7.3}\end{equation*}

由式\,(1.7.2)\,和\,(1.7.3),
有\,$d_G(x_1)+d_G(y)\leqslant k+\upsilon-k-1=\upsilon-1$,
这矛盾于假定. 所以\,$k=\upsilon$,
即\,$C$\,是\,$G$\,中\,Hamilton\,圈.\hfill\rule{1mm}{2mm}


{\bf 推论\,{$\boldsymbol {1.7.2}$}}\ (G. A. Dirac, 1952)\quad {\bf 设$G$是简单图.
若$\delta (G)\geqslant\frac \upsilon 2$, $\upsilon\geqslant 3$,
则$G$是\,{$\boldsymbol {\mathbf{Hamilton}}$}\ 图}. \hfill\rule{1mm}{2mm}

考虑圈\,$C_n\,(n\geqslant 6)$\,知, 上述两个条件都不是必要的.
这两个充分条件可以推广到有向图上, 它们将是下列结果的推论.

{\ziju{-0.05}{\bf 定理\,{$\boldsymbol {1.7.3}$}}\ (J. A. Bondy \& C. Thomassen, 1977)~~\ {\bf
设\,$C=(x_1,x_2,\cdots,x_k,x_1)$\, 是强连通简单图
\,$D$\,中最长有向圈. 若\,$k<\upsilon$, 则存在\,$x\in V(D)\setminus
V(C)$ 和整数\,$a\in [1,k]$, $b\in [1,k-1]$\,使得}

${\boldsymbol {\mathbf{(i)}}}$\ $(x_a,x)\in E(D)$;

${\boldsymbol {\mathbf{(ii)}}}$\ $x_{a+i}$\,{\bf 与\,$x$\,不相邻, $\forall\ i\in [1,b]$;}

${\boldsymbol {\mathbf{(iii)}}}$\ $d_D(x)+d_D(x_{a+b})\leqslant 2\upsilon-1-b$,
{\bf 其中\,$a+b$\,是\,${\boldsymbol {\mathbf{mod}}}$\, $k$\,的.}}

{\ziju{-0.1}{\bf 证明}\quad  令\,$S=V(C)$. 因为\,$D$\,是强连通,
并且\,$C$\,不是\,Hamilton\,圈, 所以存在\,$x_i,$ $x_j\in
S$\,使在\,$D-(S\setminus\{x_i,x_j\})$\, 中有一条与\,$C$\,
边不交的\,$(x_i,x_j)$\,路\,$P$. 若\,$x_i\ne x_j$,
则\,$P$\,称为\,$S$\,路; 若\,$x_i=x_j$, 则\,$P$\,称为\,$S$\,圈.}

{\bf 情形\ {$\boldsymbol {1}$}}~~\  $D$\,中不含\,$S$\,路.

{\ziju{-0.05}设\,$P=(x_a,y_1,\cdots,y_t,x_a)$\,是\,$S$\,圈, 其中\,$x_a\in S$.
令\,$x=y_1$. 因为\,$D$\,不含\,$S$\,路, 所以对任何\,$i\in [1,k],\
i\ne a,\ x$\,与\,$x_i$\,都不相邻. 于是, 有}
\begin{equation*}\begin{split}\label{e1.7.4}                                        %e1.7.4
|E_D[x,S]|\leqslant 2.
\end{split}\tag{1.7.4}\end{equation*}
由于\,$D$\,不含\,$S$\,路, 所以对任何\,$y\in V\setminus S, y\ne x$,
边\,$(x_{a+1},y)$\, 和\,$(y,x)$\, 至多有一条属于\,$E(D)$. 同样地,
边\,$(x,y)$\, 和边\,$(y,x_{a+1})$\, 至多之一属于\,$E(D)$. 于是, 有
\begin{equation*}\begin{split}\label{e1.7.5}                                        %e1.7.5
|E_D[y,\{x_{a+1},x\}]|\leqslant 2,\ \forall\ y\in V\setminus (S\cup
\{x\}).
\end{split}\tag{1.7.5}\end{equation*}
又显然有
\begin{equation*}\begin{split}\label{e1.7.6}                                        %e1.7.6
|E_D[x_{a+1},S]|\leqslant 2(k-1).
\end{split}\tag{1.7.6}\end{equation*}
所以由式\,(1.7.4), (1.7.5) \,和\,(1.7.6), 有

\quad $d_D(x)+d_D(x_{a+1})\leqslant
2+2(k-1)+2(\upsilon-k-1)=2\upsilon-2$.

\noindent 在此情形下只需令\,$b=1$\,即有定理成立.

{\bf 情形\,{$\boldsymbol {2}$}}~~\  $D$\,中含\,$S$\,路.

设\,$P=(x_a,y_1,\cdots,y_t,x_{a+r})$\,是\,$D$\,中使\,$r$\,最小的\,$S$\,路.
由\,$C$\,的最长性知\,$r\geqslant 2$. 令\,$x=y_1$.
由\,$r$\,的最小性知, 对任何\, $i\in
[1,r-1],\,x$\,与\,$x_{a+i}$\,不相邻. 又由\,$C$\,的最 长性知,
对任何\,$i\in [1,k-1]$, 边\,$(x_i,x)$\,和边\,$(x,x_{i+1})$\,至多
之一在\,$E(D)$\,中, 于是有
\begin{equation*}\begin{split}\label{e1.7.7}                                        %e1.7.7
|E_D(x,S)|\leqslant k-r+2.
\end{split}\tag{1.7.7}\end{equation*}
对任何\,$y\in V\setminus S,\, y\ne x$, 及任何\,$i\in [1,r-1]$, 有
\begin{equation*}\begin{split}\label{e1.7.8}                                        %e1.7.8
|E_D[y,\{x,x_{a+i}\}]|\leqslant 2.
\end{split}\tag{1.7.8}\end{equation*}
令\,$b$\,为最大的\,$i\in [1,r-1]$,
使\,$D[S]$\,中含有向\,$(x_{a+r},x_a)$\,路\,$P'$, 并且

$
 \text{~~~~~~~~~~~~~~~~~}V(P')=\{x_{a+r},x_{a+r+1},\cdots,x_{a-1},x_a,x_{a+1},\cdots,
x_{a+i-1}\}.
 $

由\,$P\cup P'$\,是\,$D$\,中有向圈和\,$C$\,的最长性, 知 $b<r$.
由\,$b$\,的最大性和\,$x_{a+b}$\,不在\,$P'$\,上
并且\,$|V(P')|=k-r+b$,\, 知
\begin{equation*}\begin{split}\label{e1.7.9}                                        %e1.7.9
|E_D[x_{a+b},V(P')]|\leqslant k-r+b+1,
\end{split}\tag{1.7.9}\end{equation*}
\begin{equation*}\begin{split}\label{e1.7.10}                                        %e1.7.10
\ \ \ \ |E_D[x_{a+b},S\setminus V(P')]|\leqslant 2(r-b-1).
\end{split}\tag{1.7.10}\end{equation*}
由式\,(1.7.7) $\sim$ (1.7.10), 有
$$
\begin{array}{rl}
d_D(x)+d_D(x_{a+b})&\!\!\!\!\leqslant (k-r+2)+(k-r+b+1)\\
&\ +2(r-b-1)+2(\upsilon-k-1)\\
&\!\!\!\!= 2\upsilon-b-1.
\end{array}
$$
定理得证.\hfill\rule{1mm}{2mm}

\newpage
\setcounter{page}{45}
{\zihao{-5}
(d)\ 含\,Hamilton\,有向路的有向图的确定;

(e)\ 含\,Hamilton\,圈的\,$2$\,部图的确定.}



%\newpage
\section*{\centering{1.8\quad 距离与直径}}

距离与直径是图论中两个基本概念, 在互连网络理论分析中有着重要的应用.

设\,$D$ 是有向图, $x,y\in V(D)$.
$D$\,中所有\,$(x,y)$\,路的最短长度称为从\,$x$\, 到\,$y$\,的{\bf
距离} (distance), 记为\,$d_D(x,y)$. 长度等于距离的路 称为{\bf
最短路} (shortest path). 若\,$D$\,中不存在\,$(x,y)$\ 路,
则约定\,$d_D(x,y)=\infty$. 一般说来, $d_D(x,y)\ne d_D(y,x)$.

$ \text{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}d(D)=\max\{d_D(x,y): \forall\ x,y\in
V(D)\} $

\noindent 称为\,$D$\,的{\bf 直径} (diameter).
同样地定义无向图的距离和直径.

 \index{lu@{路}!zuiduanlu@{最短路}}
 \index{juli@{距离}}
 \index{zhijin@{直径}}

例如, 对于长为\,$n-1$\,的有向路\,$P_n$, 它的直径\,$d(P_n)= \infty$.
显然, $d(D)=1\Leftrightarrow K^*_\upsilon\subseteq D$.
对于长为\,$n-1$\,的无向路\,$P_n$, 它的直径\,$d(P_n)=n-1$; 并且也有
$d(G)=1\Leftrightarrow K_\upsilon\subseteq G$.

{\bf 例\,{$\boldsymbol {1.8.1}$}}\quad 设\,$G$ 是强连通有向图.
如果它的阶\,$\upsilon\geqslant 2$, 最大度\,$\Delta\geqslant 1$, 那么\vspace*{1mm}

$ \text{~~~~~~~~~~~~~~~~~~} d(G)\geqslant\left\{\begin{array}{ll}
\upsilon-1, \quad  &\ \mbox{若}\ \Delta=1; \\
\lceil\ {\log}_{\Delta}(\upsilon(\Delta-1)+1)\ \rceil -1, \quad &\
\mbox{若}\ \Delta\geqslant 2.\end{array} \right.
$\vspace*{1mm}

{\bf 证明}\quad  因为\,$G$ 是强连通有向图, 所以直径\,$d(G)$
是确定的. 令\,$d(G)=k$. 对于给定的顶点\,$x$, 与\,$x$ 距离为\,$1$
的顶点最多有\,${\Delta}$ 个. 一般地, 与\,$x$ 距离为\,$i$
的顶点最多有\,${\Delta}^i$ 个. 因此,\vspace{-2mm}
$$
\upsilon\leqslant
1+{\Delta}+{\Delta}^2+\cdots+{\Delta}^{k-1}+{\Delta}^k
$$
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e1.8.1}                                             %e1.8.1
 \quad\ \  =\left\{\begin{array}{ll}
 k+1, \quad &\ \mbox{若}\ {\Delta}=1; \\
\displaystyle\frac {{\Delta}^{k+1}-1}{{\Delta}-1}, \quad &\
\mbox{若}\ {\Delta}\geqslant 2.\quad
\end{array}
\right.
\end{split}\tag{1.8.1}\end{equation*}

当\,${\Delta}=1$ 时, 由式\,(1.8.1) 有, $\upsilon\leqslant
k+1$. 这意味着\,$d(G)=k\geqslant \upsilon-1$. 另一方面, 显然有,
$d(G)\leqslant \upsilon-1$. 所以, $d(G)=\upsilon-1$.

当\,${\Delta}\geqslant 2$ 时, 由式\,(1.8.1)
有\,$({\Delta}-1)\upsilon\leqslant {\Delta}^{k+1}-1$. 这意味着

 $
\text{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}d(G)=k\geqslant \lceil\ {\rm
log}_{{\Delta}}(\upsilon({\Delta}-1)+1)\ \rceil -1.
 $

\noindent 得证. \hfill\rule{1mm}{2mm}



{\bf 例\,{$\boldsymbol {1.8.2}$}}\quad 设\,$G$ 是连通的无向图.
如果它的阶\,$\upsilon\geqslant 3$, 最大度\,${\Delta}\geqslant 2$,
那么,
$$
d(G)\geqslant \left\{\begin{array}{ll}
\lfloor \frac 12 \upsilon\rfloor, \quad &\ \mbox{若}\ {\Delta}=2; \\
\left \lceil {\rm log}_{({\Delta}-1)} \displaystyle\frac
{\upsilon({\Delta}-2)+2}{\Delta}\right\rceil, \quad
                 &\ \mbox{若}\ {\Delta}\geqslant 3.
\end{array}
\right.
$$

{\bf 证明}\quad 因为\,$G$ 是连通的无向图, 所以直径\,$d(G)$ 是确定的.
令\,$d(G)=k$. 对于给定的顶点\,$x$, 与\,$x$ 距离为\,$1$
的顶点最多有\,${\Delta}$ 个; 与\,$x$ 距离为\,$2$
的顶点最多为\,${\Delta}({\Delta}-1)$个. 一般地, 与\,$x$ 距离为\,$i$
的 顶点最多有\,${\Delta}({\Delta}-1)^{i-1}$个. 所以,\vspace{-1mm}
$$
\quad \upsilon\leqslant
1+{\Delta}+{\Delta}({\Delta}-1)+\cdots+{\Delta}({\Delta}-1)^{k-1}
$$
\begin{equation*}
\begin{split}
\label{e1.8.2}                                      %e1.8.2
 \ \ =\left\{\begin{array}{ll}
 2k+1, \quad &\ \mbox{若}\ {\Delta}=2; \\
  \displaystyle\frac {{\Delta}({\Delta}-1)^k-2}{{\Delta}-2}, \quad
  &\ \mbox{若}\ {\Delta}\geqslant 3. \end{array}
\right.
\end{split}\tag{1.8.2}
\end{equation*}

当\,${\Delta}=2$ 时, 由式\,(1.8.2) 有, $\upsilon\leqslant
2k+1$, 这意味着 \,$d(G)=k\geqslant \lfloor \frac 12
\upsilon\rfloor$.

当\,${\Delta}\geqslant 3$ 时, 由式\,(1.8.2)有,
$({\Delta}-2)\upsilon\leqslant {\Delta}({\Delta}-1)^k-2$. 这 意味着
$$
d(G)=k\geqslant \left \lceil {\rm log}_{({\Delta}-1)} \displaystyle\frac
{\upsilon({\Delta}-2)+2}{\Delta}\right\rceil.
$$\vspace{-1mm}
得证.\hfill\rule{1mm}{2mm}

当\,${\Delta}=1$ 时, 有向圈\,$C_{k+1}$ 的直径为\,$k$. 当\,$k=1$ 时,
完全有向图 \,$K^*_{{\Delta}+1}$ 的直径为\,$1$. 这两类图说明:
当\,${\Delta}=1$ 或者\,$k=1$ 时, 式\,(1.8.1)
中给出\,$\upsilon$ 的上界的是可以达到的.

当\,${\Delta}=2$ 时, 无向圈\,$C_{2k+1}$ 的直径为\,$k$. 当\,$k=1$ 时,
完全图 \,$K_{{\Delta}+1}$ 的直径为\,$1$. 这两类图说明:
当\,${\Delta}=2$ 或者\,$k=1$ 时, 式\,(1.8.1)
中给出\,$\upsilon$ 的上界的是可以达到的.

式\,(1.8.1)\,和\,(1.8.2)
中给出的\,$\upsilon$\,上界称为\,{\bf $({\Delta}, k)$-${\boldsymbol {\mathbf{Moore}}}$\,界}.
达到\,$({\Delta},k)$-${\boldsymbol {\mathbf{Moore}}}$ 界\,(1.8.1)\,的有向图称为\,{\bf
$({\Delta},k)$-${\boldsymbol {\mathbf{Moore}}}$\,有向图}; 达到\,$({\Delta},k)$-Moore
界\,(1.8.2)\,的无向图称为\,{\bf
$({\Delta},k)$-${\boldsymbol {\mathbf{Moore}}}$\,无向图}. 例如, 有向圈\,$C_{k+1}$\,是\,
$(1,k)$-Moore\,有向图;
完全有向图\,$K^*_{{\Delta}+1}$\,是\,$({\Delta},1)$-Moore\,有向图.
无向圈\,$C_{2k+1}$\,是\,$(2,k)$-Moore\,无向图; 完全无向图\
$K_{{\Delta}+1}$\,是\,$({\Delta},1)$-Moore\,无向图. 容易证明,
Petersen\,图是\,$(3,2)$-Moore\,无向图. 事实上,
我们知道的\,$({\Delta},k)$-Moore\ 图很少. 在例\,1.9.4\,中,
我们将证明: 对于给定的\,${\Delta}\geqslant 2$ 和\,$k\geqslant 2$,
不存在\,$({\Delta}, k)$-Moore 有向图.

 \index{moorejie@{Moore\,界}}
 \index{mooretu@{Moore\,图}}


{\bf 例\,{$\boldsymbol {1.8.3}$}}\quad 设\,$G$ 是连通的无向图.
如果它的阶为\,$\upsilon$, 最小度为\,$\delta$, 那么,
$$
d(G)\leqslant \displaystyle\frac {3\upsilon}{\delta +1}.
$$

{\bf 证明}\quad 因为对任何\,$\upsilon$ 阶连通无向图\,$G$,
它的直径\,$d(G)\leqslant \upsilon-1$, $\upsilon\geqslant \delta+1$,
所以, 在以下的讨论中, 不妨设 \,$\delta\geqslant 3$
且\,$d(G)=k\geqslant 4$.

{\ziju{-0.1}设\,$x, y\in V(G)$ 使得\,$k=d(G)=d_G(x, y)$, 并设\, $P=(x_0, x_1,
\cdots, x_{k-1}, x_k)$ 是\,$G$ 中最短的\,$(x, y)$ 路, 其中\,$x_0=x$
且\,$x_k=y$. 由\,$P$ 的最短性知, 对于任何两顶点 \,$x_{3i}$ 和\,$x_{3j}$
\,$(i\ne j)$, 有\,$N_G(x_{3i})\cap N_G(x_{3j})=\emptyset$. 令\,
$h=\lfloor\frac 13k\rfloor$. 则}
$$
\begin{array}{rl}
\upsilon &\!\!\!\geqslant \sum\limits_{i=0}^{h}|N_G(x_{3i})|
+\sum\limits_{i=0}^{h}|x_{3i}|
\geqslant \delta (h+1)+(h+1)\\
&\!\!\!=(h+1)(\delta +1) =\left(\left\lfloor \displaystyle\frac
13 k \right\rfloor +1 \right)( \delta +1) \geqslant \displaystyle\frac 13
k( \delta +1).
\end{array}
$$
 命题得证. \hfill\rule{1mm}{2mm}

%这个上界对有向图是不成立的.
下面的结果属于\,O. Ore\,(1968), 这里给出比较简单的证明.

{\bf 例\,{$\boldsymbol {1.8.4}$}}\ (O. Ore, 1968)\quad 设\,$G$是直径为$k$的
\,$\upsilon$\,阶连通无向图, 则
 $$
 \varepsilon(G)\leqslant k+\frac 12(\upsilon-k+4)(\upsilon-k-1).
 $$

{\bf 证明}\quad
设\,$x$\,和\,$y$\,是\,$G$\,中使得\,$d_G(x,y)=k$\,的两顶点,
$P$\,是最短\,$xy$\,路. 令\,$Z=V(G-P)$. 则对任何\,$z\in
Z$\,均有\,$|N_G(z)\cap V(P)|\leqslant 3$. 因此,
$$
\begin{array}{rl}
\varepsilon(G)&\!\!\!\!=
\varepsilon(P)+\varepsilon(G[Z])+|E_G(Z,P)|\\
&\!\!\!\!\leqslant k+{\upsilon-k-1\choose 2}+3(\upsilon-k-1)\\
& \!\!\!\!=k+\frac 12(\upsilon-k-1)(\upsilon-k-2)+3(\upsilon-k-1)\\
&\!\!\!\!=k+\frac 12(\upsilon-k+4)(\upsilon-k-1).
\end{array}
$$
 命题得证.\hfill\rule{1mm}{2mm}

设\,$G$ 是非平凡连通无向图或强连通有向图. $G$ 的{\bf 平均距离}
(average or mean distance), 记为\,$m (G)$, 定义为
$$
m (G)=\frac 1{\upsilon(\upsilon-1)}\sum_{x, y\in V}d_G(x, y).
$$

 \index{juli@{距离}!pinjunjuli@{平均距离}}
因为\,$m (G)$\,仅是所有非零距离的算术平均值, 所有\,$m(G)\geqslant
1$, 等号成立\,$\Leftrightarrow G$\,是完全图. 要计算平均距离,
首先要计算\,$G$ 中所有不同顶点对之间的距离和. 为方便起见, 令
$$
\sigma (G)=\sum_{x, y\in V}d_G(x, y).
$$


\newpage
\setcounter{page}{49}
\noindent 但证明有一定难度, 有兴趣的读者可以参考原文.

下面介绍一类非常重要的图类 ------ {\bf 线图}.

非空有向图\,$D$\,的{\bf 线图} (line digraph)
\,$L(D)$\,是以\,$E(D)$\,为 顶点集的图, 并且若\,$a_i$, $a_j\in E(D)$,
则\,$(a_i,a_j)\in E(L(D))\Leftrightarrow$\, 在\,$D$\,中,
$a_i$\,的终点是\,$a_j$\,的起点. 图1.23\,列举了这样的例子.

 \index{xiantu@{线图}}
 \index{xiantu@{线图}!xianyouxiangtu@{线有向图}}
 \index{tu@{图}!xiantu@{线图}}
 \index{tudeyunsuan@{图的运算}!xiantu@{线图}}


% Figure 1.23
\begin{figure}[!h]  % h: here; t: top; b: bottom
\vspace*{-9mm} \psset{arrowsize=.12}
%\psset{unit=.8}     % scale
\begin{pspicture}(-1.1,1.5)(10,7.5)
% B(2,1)
\cnode(1.5,6){.1}{0}\rput(1.55,5.65){\scriptsize$0$}
\cnode(3,6){.1}{1}\rput(2.95,5.65){\scriptsize$1$}
\nccurve[angleA=40,angleB=140]{->}{0}{1}
\nccurve[angleA=-40,angleB=-140]{<-}{0}{1}
\rput{90}{\nccircle{<-}{0}{.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{1}{.5}}
\rput(1.1,6.3){\scriptsize$00$}\rput(2.3,6.5){\scriptsize$01$}
\rput(2.3,5.5){\scriptsize$10$}\rput(3.4,6.3){\scriptsize$11$}
\rput(2.3,4.6){\scriptsize$B(2,1)=K_2^+$}
% B(2,2)
\cnode(6,6){.1}{0}\rput(5.7,6){\scriptsize$00$}
\cnode(7.5,5.3){.1}{2}\rput(7.5,5){\scriptsize$10$}
\cnode(7.5,6.7){.1}{1}\rput(7.52,6.95){\scriptsize$01$}
\cnode(9,6){.1}{3}\rput(9.3,6){\scriptsize$11$}
\ncline{->}{0}{1}\ncline{->}{2}{0}\ncline{->}{1}{3}\ncline{->}{3}{2}
\nccurve[angleA=60,angleB=-60]{->}{2}{1}
\nccurve[angleA=120,angleB=240]{<-}{2}{1}
\rput{90}{\nccircle{<-}{0}{.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{3}{.5}}
\rput(5.6,6.65){\scriptsize$000$}\rput(6.5,6.5){\scriptsize$001$}
\rput(8,6){\scriptsize$010$}\rput(8.5,6.5){\scriptsize$011$}
\rput(6.5,5.5){\scriptsize$100$}\rput(7,6){\scriptsize$101$}
\rput(8.5,5.5){\scriptsize$110$}\rput(9.4,6.65){\scriptsize$111$}
\rput(7.2,4.6){\scriptsize$B(2,2)=L(B(2,1))$}
% B(2,3)
\cnode(2,3){.1}{0}\rput(1.65,3){\scriptsize$000$}
\cnode(3,2){.1}{1}\rput(2.7,1.8){\scriptsize$100$}
\cnode(3,4){.1}{4}\rput(2.7,4.1){\scriptsize$001$}
\cnode(4,3){.1}{2}\rput(4.4,3){\scriptsize$010$}
\cnode(6,3){.1}{5}\rput(5.6,3){\scriptsize$101$}
\cnode(7,2){.1}{3}\rput(7.3,1.8){\scriptsize$110$}
\cnode(7,4){.1}{6}\rput(7.35,4.1){\scriptsize$011$}
\cnode(8,3){.1}{7}\rput(8.35,3){\scriptsize$111$}
\ncline{<-}{4}{0}\ncline{<-}{0}{1}\ncline{<-}{4}{1}
\ncline{<-}{1}{2}\ncline{<-}{2}{4}\ncline{<-}{6}{4}
\ncline{<-}{1}{3}\ncline{<-}{6}{5}\ncline{<-}{5}{3}
\ncline{<-}{3}{6}\ncline{<-}{7}{6}\ncline{<-}{3}{7}
\nccurve[angleA=-45,angleB=-135]{<-}{2}{5}
\nccurve[angleA=45,angleB=135]{->}{2}{5}
\rput{90}{\nccircle{<-}{0}{.5}}\rput{-90}{\nccircle{->}{7}{.5}}
\rput(5,1.5){\scriptsize$B(2,3)=L(B(2,2))$}
\end{pspicture}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{1.23}$ \quad \bf 有向图\,$D$\,和它的线图\,$L(D)$}
\end{quote}\vspace*{-6mm}
\end{figure}


设\,$L(D)$ 是图\,$D$ 的线图. 如果\,$L(D)$ 是非空的并且没有孤立点,
那么存在\,$L(D)$ 的线图\,$L(L(D))$. 可以递归地定义\,$D$ 的\,$n$
重线图. 对整数\,$n\geqslant 1$, $D$ 的\,$n$ {\it 重线图} (\,$n$th
iterated line graph), 记为\,$L^{n}(D)$, 被递归
地定义为\,$L(L^{n-1}(D))$, 其中\,$L^0(D)$ 和\,$L^1(D)$ 分别为$D$
和\,$L(D)$, 并且假定\,$L^{n-1}(D)$是非空的, 没有孤立点.

 \index{xiantu@{线图}!zhongxiantu@{重线图}}

由线图的定义, 容易证明线图的许多非常重要的性质, 留给读者做为习题
\,(习题\,1.8.7\,$\sim$\,1.8.9). 现在介绍关于线图直径的结果.

{\bf 定理\,{$\boldsymbol {1.8}$}} (M. Aigner, 1967)\quad 设\,$D$ 是非平凡的强连通有向图,
$L$ 是它的线图. 则
 $$
d(D)\leqslant d(L)\leqslant d(D)+1.
 $$
而且, $d(D)=d(L)\Leftrightarrow$\,$D$ 是有向圈.

{\bf 证明}\quad 因为\,$D$ 是强连通的, 所以由习题\,1.8.9\,知, $d(D)$
和\,$d(L)$ 都是确定的. 设\,$x,$ $y\in V(D)$ 使得\,$d_D(x, y)=d(D)$,
$P$是\,$D$ 中最短 \,$(x, y)$ 路. 令\,$a\in E_D^-(x)$, $b\in
E_D^-(y)\cap E(P)$, 并令\,$Q=a+P$. 则\,$L(Q)$ 是\,$L$ 中最短\,$(a,
b)$ 路. 于是,
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e1.8.6}                                             %e1.8.6
  d(L)\geqslant \varepsilon (L(Q))=\varepsilon (P)=d(D).
\end{split}\tag{1.8.6}\end{equation*}

另一方面, 设\,$a, b\in V(L)$ 使得\,$d_L(a, b)=d(L)$. 则必存在\,$x,
y, z, u\in V(D)$ 使得\,$a=(z, x), b=(y, u)$. 于是,\vspace*{-1mm}
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e1.8.7}                                            %e1.8.7
      d(D)\geqslant d_D(x, y)=d_L(a, b)-1=d(L)-1.\end{split}\tag{1.8.7}\end{equation*}
式\,(1.8.6) 和\,(1.8.7) 意味着\,$d(D)\leqslant
d(L)\leqslant d(D)+1$.

下面证明第二个结论. 若\,$D$ 是有向圈, 则由习题\,1.8.10\,知\, $L\cong
D$, 所以\,$d(D)=d(L)$. 只需证明: 若\,$D$ 不是有向圈,
则\,$d(L)=d(D)+1$. 为此, 令\,$d=d(D)$, $x, y\in V(D)$ 使得 \,$d_D(x,
y)=d$. 令\,$P$\,是\,$D$\,中最短\,$(x, y)$ 路. 因为\,$D$ 是强连通的,
所以\,$d_D^-(x)\geqslant 1$, 且\,$d_D^+(y)\geqslant 1$.

若存在\,$x', y'\in V(D)$ 使得\,$a=(x', x)$, $b=(y, y')$ 且\,$a\ne
b$, 则\,$d_L(a, b)=d+1$. 若不然, 存在\,$c\in E(D)$ 使得\,$c=(y, x)$.
于是\,$P\cup \{c\}$ 是\,$D$ 中有向圈, 用\,$C=(x_0, x_1, \cdots, x_d,
x_0)$ 表示这条有向圈, 其中\,$x_0=x$ 且\,$x_d=y$. 因为\,$D$
是强连通的, 但不是有向圈, 所以存在\,$x_i\in V(C)$ 和\,$z\in V(D)$
使得\,$(x_i, z)\in E(D)$\, (可能 $z$ 是某个\,$x_j$\,$(0\leqslant
j<i$)). 取这样的顶点\,$x_i$ 使得\,$i\,(0\leqslant i\leqslant d)$\,
是尽可能的大. 则\,$d_D(x_{i+1}, x_i)=d$. 令\,$a=(x_i, x_{i+1})$ 和\,
$b=(x_i, z)$. 则\,$d_L(a, b)=d+1$. 于是, $d+1\geqslant d(L)\geqslant
d_L(a, b)=d+1$. 这意味着 \,$d(L)=d+1$. \hfill\rule{1mm}{2mm}

%{\bf 注:}\ 定理\,1.8.1\,对无向图不成立.

最后介绍两类著名的重线图, 一个是\,de Bruijn\, 有向图,
另一个是\,Kautz\, 有向图. 它们曾分别定义在例\,1.6.2\,和例
\,1.6.3\,中. 现在给出它们的线图定义.

{\bf 例\,{$\boldsymbol {1.8.6}$}}\quad 用记号\,$K^+_d (d\geqslant 2)$
表示在完全有向图\,$K^*_d$ 的每个顶点处添加一个环后得到的有向图.
$K^+_d$ 也称为{\bf 花完全有向图}\,(flowered complete digraph). ${\boldsymbol {\mathbf{de\ Bruijn}}\, \mbox{\bf 有向图}}$
\,$B(d, n)$\,可以定义为\,$K^+_d$\,的 \,$n-1$
重线图\,$L^{n-1}(K^+_d)$, 即 $B(d, n)=L^{n-1}(K^+_d)$.
图\,1.23 中所示的有向图分别是\,$B(2, 1)$, $B(2, 2)$ 和\,$B(2,
3)$, 其中\,$B(2, 1)$ $=K_2^+$, $B(2, 2)$ $=L(B(2, 1))=L(K_2^+)$,
$B(2, 3)=L(B(2, 2))=L^2(K_2^+)$. 注意到, 当\,$d\geqslant 2$\,时,
$K^+_d$\,不是有向圈, 且\,$d(K^+_d)=1$. 由定理\,1.8\,和归纳法,
立即有\vspace*{-1mm}
 $$
 d(B(d, n))=d(L^{n-1}(K^+_d))=n.
 $$\vspace*{-6mm}

 \index{wanquantu@{完全图}!huawanquantu@{完全图}}
 \index{debruijnyouxiangtu@{de Bruijn\,有向图}}
 \index{kautzyouxiangtu@{Kautz\,有向图}}


{\bf 例\,{$\boldsymbol {1.8.7}$}}\quad {\bf ${\boldsymbol {\mathbf{Kautz}}}$ 有向图}\,$K(d,
n)$\,可以定义为完全有向图\,$K^*_{d+1}$\,的 \,$n-1$
重线图\,$L^{n-1}(K^*_{d+1})$, 即\,$K(d, n)=L^{n-1}(K^*_{d+1})$.
图\,1.19 中所示的有向图分别是 $K(2, 1)$, $K(2, 2)$ 和\,$K(2,
3)$, 其中\,$K(2, 1)=K_3^*$, $K(2, 2)$ $=L(K(2, 1))=L(K_3^*)$, $K(2,
3)=L(K(2, 2))=L^2(K_3^*)$. 注意到, 当\,$d\geqslant 2$\,时,
$K^*_{d+1}$\,不是有向圈, 且\,$d(K^*_{d+1})=1$.
由定理\,1.8.1\,和归纳法, 立即有\vspace*{-1mm}
 $$
 d(K(d, n))=d(L^{n-1}(K^*_{d+1}))=n.
 $$

\vskip20pt {\bf \large 习\quad 题}

\begin{description}
\zihao{-5}
\item[$1.8.1$] 设\,$x,y,z$\,是强连通有向图\,$D$\,中三个不同顶点.
证明:
 $
d_D(x,z)\leqslant d_D(x,y)+d_D(y,z).
 $

\item[$1.8.2$] 设$G$是连通图, $x$和$y$是$G$中相邻两顶点.
证明:对于任何\,$z\in V(G)$, 均有$|d_G(x,z)$ $-d_G(y,z)|\leqslant 1$.


\item[$1.8.3$] 设\,$T$\,是竞赛图, $x\in V(T)$. 若对任何\ $y\in
V(T)$, 均有\ $d_T(x,y)\leqslant 2$, 则称\ $x$\ 是\ $T$\ 的{\bf
王}\linebreak (king). 证明:

\index{jinsaitu@{竞赛图}!jinsaitudewang@{竞赛图的王}}

\noindent(a)\ $T$\,中每个最大出度顶点都是王;

\noindent(b)\ 不存在恰有两个王的竞赛图;

\noindent(c)\ 若\,$\upsilon\ne 2,4$,
则存在\,$\upsilon$\,阶竞赛图\,$T$\,使其每个顶点都是王.

\item[$1.8.4$] 设\,$G$\,是简单图. 证明:

\noindent(a)\ 若\,$G$\,是非连通的, 则\,$G^c$\,是连通的,
而且\,$d(G^c)\leqslant 2$;

\noindent(b)\ $G$\,和\,$G^c$\,都是连通的\,$\Leftrightarrow
G$\,和\,$G^c$\,都不含支撑子图\, $K_{m,n}$;

\noindent(c)\ 若\,$d(G)>3$, 则\,$d(G^c)<3$;

\noindent(d)\ 若\,$d(G)=2$\,且\,$\Delta(G)=\upsilon-2$,
则\,$\varepsilon \geqslant 2\upsilon-4$.


\item[$1.8.5$] 证明: 如果\,$D$\,是\,$(d,k)$-Moore\,有向图, 那么\,
$D$\,是\,$d$\,正则简单图, 不含长\,$\leqslant k$\,的有向圈,
而且对任何\,$x,y\in V(D)$, $D$\,中存在唯一长\,$\leqslant
k$\,的\,$(x,y)$\,路.

\item[$1.8.6$]证明: 设\,$D$\,是\,$\upsilon$ 阶强连通\,$k$ 直径有向图, 则
 $$
 \varepsilon (D)\leqslant \upsilon(\upsilon-k+1)+\frac 12\,(k^2-k-4).
 $$


\item[$1.8.7$]证明: $n$\,阶无向圈\,$C_n$\,的平均距离
$$
m(C_n)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac {n+1}4, & \mbox{如果}\ n \
\mbox{是奇数};\\
\displaystyle\frac {n^2}{4(n-1)}, & \mbox{如果}\ n \ \mbox{是偶数}.
\end{array}\right.
$$


\item[$1.8.8$]证明:

\noindent(a)\ $\sigma(P_n)=2{{n+1}\choose 3}$,\quad
$\sigma(K_{1,n-1})=2(n-1)^2$;

\noindent({b})\ $\sigma(G)\geqslant
2\upsilon(\upsilon-1)-2\varepsilon$; \hfill(R. C. Entringer, D. E.
Jackson, P. J. Slater, 1977)

\noindent({c})\ $\sigma(D)\geqslant
2\upsilon(\upsilon-1)-\varepsilon$. \hfill(C. P. Ng, H. H. Teh,
1966/1967)

\hfill((b)\,和\,(c)\,的证明参阅周涛, 徐俊明和刘{儁}, 2004)

\item[$1.8.9$] 设\,$G$\,是连通图. 对\,$G$\,中任何顶点\,$x$, $e_G(x)=\max\{d_G(x,y):\ y\in
V(G)\}$\,定义为\,$x$\,的{\bf 离心率}\,(eccentricity);
rad\,$(G)=\min\{e_G(x):\ x\in V(G)\}$\,定义为\,$G$\,的{\bf
半径}\,(radius); 使得\,$e_G(x)={\rm
rad}\,(G)$\,的点\,$x$\,称为\,$G$\,的{\bf 中心点}\,(central vertex);
所有中心点集导出的子图称为\,$G$\,的{\bf 中心}\,(center).
证明:\index{lixinlv@{离心率}}\index{banjin@{半径}}\index{zhongxindian@{中心点}}
\index{tudezhongxin@{图的中心}}

\noindent(a)\ $d(G)=\max\{e_G(x):\ x\in V(G)\}$;

\noindent(b)\ rad\,$(G)\leqslant d(G)\leqslant 2$\,rad\,$(G)$;

\noindent(c)\
连通图\,$G$\,中任何相邻两顶点\,$x$\,和\,$y$\,均有\,$|e_G(x)-e_G(y)|\leqslant
1$;

\noindent(d)\ 每个图都是某个图的中心.


\item[$1.8.10$]
设\,$D$\,是非平凡非空的有向图, $L(D)$\,是\,$D$\,的线图. 证明:

\noindent(a)\ $\upsilon(L(D))=\varepsilon (D)$, 而且\,$L(D)$
在顶点\,$a$ 处有环当且仅当\,$a$ 是\,$D$ 的环;

\noindent(b)\ 对任何\,$a=(x, y)\in E(D)$,
有\,$d_{L(D)}^+(a)=d_D^+(y)$, 且 \,$d_{L(D)}^-(a)=d_D^-(x)$. 特别地,
若\,$D$ 是\,$d$ 正则的, 则 \,$L(D)$ 也是\,$d$ 正则的;

\noindent(c)\ 若\,$D$ 不含环, 则对任何\,$x\in V(D)$, 由\,$E_D^-(x)$
和 \,$E_D^+(x)$ 在\,$L(D)$ 中导出的子图是\,$2$ 部划分为 \,$\{
E_D^-(x), E_D^+(x)\}$的完全\,$2$ 部分有向图, 所有边的
方向都是从\,$E_D^-(x)$ 到\, $E_D^+(x)$;

\noindent(d)\ $\varepsilon (L(D)) =\sum\limits_{x\in
V(D)}d_D^+(x)d_D^-(x)$;

\noindent(e)\ $L(D)$\,是强连通的\,$\Leftrightarrow$\
$D$\,是强连通的;

\noindent(f)\ 设\,$D$\,是强连通的, 则\,$D\cong L(D)\Leftrightarrow
D$\,是有向圈;

\noindent(g)\ $D$\,是\,Euler\,图\,$\Leftrightarrow
L(D)$\,是\,Hamilton\,图.


\item[$1.8.11$]非空无向图\,$G$\,的{\bf 线图} (line graph)
$L(G)$\,是以\,$E(G)$\,为顶点集的图, 并且若\,$e_i$, $e_j\in E(G)$,
则\, $e_ie_j\in E(L(G))\Leftrightarrow$\,
$e_i$\,和\,$e_j$\,在\,$G$\,中相邻. 证明:

\index{xiantu@{线图}!xianwuxiangtu@{线无向图}}

\noindent(a)\ $L(G)$ 是简单图, 且\,$\upsilon(L(G))=\varepsilon (G)$;

\noindent(b)\ $e=xy\in E(G)$, 有\,$d_{L(G)}(e)=d_G(x)+d_G(y)-2$,
因此\,$\delta(L(G))=\xi(G)$. 特别地, 若\,$G$ 是\,$d$ 正则的, 则
\,$L(G)$ 是\,$(2d -2)$ 正则的;

\noindent(c)\ $x\in V(G)$, $G$ 中与\,$x$ 关联的边集在\,$L(G)$ 中的
导出子图是完全图;

\noindent(d)\ $\varepsilon (L(G))=\dfrac 12\sum \limits_{x\in
V(G)}(d_G(x))^2-\varepsilon (G)$;

\noindent(e)\ 设\,$G$\,是连通的, 则\,$G\cong L(G)\Leftrightarrow
G$\,是圈.

\item[$1.8.12$]举例说明:

\noindent(a)\ 例\,1.8.3\,对有向图不成立;

\noindent(b)\ 定理\,1.8\,对无向图不成立;

\noindent(c)\ 习题\,1.8.10\,(e)\,中“$\Rightarrow$”对无向图不成立.


\item[$1.8.13$]证明:

\noindent(a)\
例\,1.8.6\,定义的图\,$L^{n-1}(K^+_d)$\,与例\,1.6.2\,中定义的\,de
Bruijn\,有向图是同构的;

\noindent(b)\
例\,1.8.7\,定义的图\,$L^{n-1}(K^*_{d+1})$\,与例\,1.6.3\,中定义的\,Kautz\,有向图是同构的.

\end{description}



%\newpage

\section*{\centering{1.9\quad 图的矩阵表示}}

 \index{tudebiaoshi@{图的表示}!juzhengbiaoshi@{矩阵表示}}

设\,$(V,E,\psi)$\,是有向图\,$D$\,或者无向图\,$G$, 其中\,
$V=\{x_1,x_2,\cdots,x_\upsilon\},\ E=\{a_1,$
$a_2,\cdots,a_{\varepsilon}\}$.
则\,$V$\,中元素与\,$E$\,中元素之间的关联关系\,$\psi$\,能够
体现在该图的邻接矩阵与关联矩阵中.

 \index{juzhen@{矩阵}}
 \index{juzhen@{矩阵}!linjiejuzhen@{邻接矩阵}}

所谓{\bf 邻接矩阵} (adjacency matrix)是指\,$\upsilon\times
\upsilon$\,阶矩阵
 $$
 {\boldsymbol A}=(a_{ij}), \quad \mbox{其中}\ a_{ij}=\mu(x_i,x_j),
 $$
这里\,$\mu(x_i,x_j)$\,表示有向图\,$D$\,中以\,$x_i$\,为起点且以\,$x_j$\,
为终点的有向边的数目或者无向图\,$G$\,中连接\,$x_i$\,和\,$x_j$\,的边的数目.
有向图\,$D$\,和无向图\,$G$\,的邻接矩阵分别记为\,${\boldsymbol
A}(D)$\ 和\ ${\boldsymbol A}(G)$.

% Figure 1.24
\begin{figure}[htb]  % h: here; t: top; b: bottom
\vspace*{-7mm}
\psset{arrowsize=.13}     % scale
\begin{pspicture}(-1.6,.5)(4,4)
\cnode(1,3){.1}{1}\rput(1,3.2){\scriptsize$x_1$}
\cnode(4,3){.1}{2}\rput(4.1,3.2){\scriptsize$x_2$}
\cnode(4,1){.1}{3}\rput(4.1,.75){\scriptsize$x_3$}
\cnode(1,1){.1}{4}\rput(1,.75){\scriptsize$x_4$}
\nccurve[angleA=20,angleB=160,arrows=->]{1}{2}\rput(2.5,3.45){\scriptsize$a_1$}
\nccurve[angleA=-20,angleB=-160,arrows=->]{1}{2}\rput(2.5,2.9){\scriptsize$a_2$}
\ncline[arrows=->]{3}{2}\rput(4.25,2){\scriptsize$a_3$}
\ncline[arrows=->]{3}{4}\rput(2.5,1.2){\scriptsize$a_4$}
\ncline[arrows=->]{4}{1}\rput(.75,2){\scriptsize$a_5$}
\psline[arrows=->](3.95,1.05)(2.47,2.02)\psline(2.5,2)(1.05,2.95)
\rput(2.6,2.2){\scriptsize$a_6$}
\pscurve[arrows=->](1.03,1.05)(1.1,1.3)(1.3,1.5)
\pscurve(1.1,1.3)(1.3,1.5)(1.35,1.52)(1.4,1.5)(1.35,1.3)(1.06,1.05)
\rput(1.45,1.66){\scriptsize$a_7$}\rput(0,2){\scriptsize$D:$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1,.5)(4,4)
\cnode(1,3){.1}{1}\rput(1,3.2){\scriptsize$x_1$}
\cnode(4,3){.1}{2}\rput(4.1,3.2){\scriptsize$x_2$}
\cnode(4,1){.1}{3}\rput(4.1,.75){\scriptsize$x_3$}
\cnode(1,1){.1}{4}\rput(1,.75){\scriptsize$x_4$}
\nccurve[angleA=20,angleB=160]{1}{2}\rput(2.5,3.45){\scriptsize$a_1$}
\nccurve[angleA=-20,angleB=-160]{1}{2}\rput(2.5,2.9){\scriptsize$a_2$}
\ncline{3}{2}\rput(4.25,2){\scriptsize$a_3$}
\ncline{3}{4}\rput(2.5,1.2){\scriptsize$a_4$}
\ncline{4}{1}\rput(.75,2){\scriptsize$a_5$}
\psline(3.95,1.05)(2.47,2.02)\psline(2.5,2)(1.05,2.95)
\rput(2.6,2.2){\scriptsize$a_6$}
\pscurve(1.03,1.05)(1.1,1.3)(1.3,1.5)
\pscurve(1.1,1.3)(1.3,1.5)(1.35,1.52)(1.4,1.5)(1.35,1.3)(1.06,1.05)
\rput(1.45,1.66){\scriptsize$a_7$}\rput(0,2){\scriptsize$G:$}
\end{pspicture}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{1.24}$ \quad \bf 有向图\,$D$\,和无向图\,$G$\,}
\end{quote}\vspace*{-4mm}
\end{figure}


{\bf 例\,{$\boldsymbol {1.9.1}$}}\quad
图1.24\,所示有向图\,$D$\,和无向图\,$G$\,的邻接矩阵\,
${\boldsymbol A}(D)$\,和\,${\boldsymbol A}(G)$\linebreak 如下：
$$
{\boldsymbol A}(D)=\left (\begin{array}{cccc}
0&2&0&0\\
0&0&0&0\\
1&1&0&1\\
1&0&0&1
\end{array}\right), \quad
{\boldsymbol A}(G)=\left (\begin{array}{cccc}
0&2&1&1\\
2&0&1&0\\
1&1&0&1\\
1&0&1&1
\end{array}\right). \quad
$$


\newpage
\setcounter{page}{57}
{\bf 例\,{$\boldsymbol {1.9.5}$}}\quad 设\,${\boldsymbol
M}$\,是无环有向图\,$D$\,的关联矩阵, ${\boldsymbol M}_i$
是从\,${\boldsymbol M}$ 中除掉第\,$i$ 行后得到的矩阵.
则\,${\boldsymbol{MM}}^{\rm
T}$\,中所有元素的代数余子式都等于\,$\det({\boldsymbol
M}_i{\boldsymbol M}_i^{\rm T})$, 其中\,${\boldsymbol M}^{\rm
T}$\,表示\,${\boldsymbol M}$\,的转置, $\det{\boldsymbol
M}$\,表示\,${\boldsymbol M}$\,的行列式.

{\bf 证明}\quad  令\,${\boldsymbol{N=MM}}^{\rm T}$,
并用\,$n_{ij}$\,表示 \,${\boldsymbol N}$\,中\,$(i,j)$\,元素,
$V(D)=\{x_1,x_2,\cdots,x_\upsilon\}$, 则有\vspace{1mm}
$$
n_{ij}=\left\{\begin{array}{ll}
d_D(x_i)=d^+_D(x_i)+d^-_D(x_i),\ & \mbox{当}\ j=i\ \mbox{时};\\
-\mu(x_i,x_j)-\mu(x_j,x_i),\ & \mbox{当}\ j\ne i\ \mbox{时}.
\end{array}\right.
$$\vspace{1mm}
其中\,$\mu(x_i,x_j)$\,表示\,$D$\,中以\,$x_i$\,为起点并以\,$x_j$\,为终点的边的数目.
由\,${\boldsymbol N}$\,的定义立即可知\,${\boldsymbol N}$\,是对称的,
而且所有的行和与列 和都为零. 因而容易验证\,${\boldsymbol
N}$\,中元素\,$n_{ij}$\,的代数余子式均相等\, (习题\,1.9.7\,(b)).
$N_{ij}$\,表示\,$n_{ij}$\,的代数余子式. 于是, 不妨设
 $$
 {\boldsymbol N}_{ij}={\boldsymbol N}_{11},\quad \ 1\leqslant i,j\leqslant \upsilon.
 $$
用\,${\boldsymbol \alpha}_i$\,表示\,${\boldsymbol
M}$\,中第\,$i$\,行的行向量. 于是,
$$
{\boldsymbol N}={\boldsymbol{MM}}^{\rm T}=\left(\begin{array}{c} {\boldsymbol \alpha}_1\\
{\boldsymbol M}_1\end{array}\right) \left({\boldsymbol
\alpha}_1^{\rm T} {\boldsymbol M}_1^{\rm
T}\right)=\left(\begin{array}{cc}
{\boldsymbol \alpha}_1{\boldsymbol \alpha}_1^{\rm T}\ & {\boldsymbol \alpha}_1{\boldsymbol M}_1^{\rm T}\\
{\boldsymbol M}_1{\boldsymbol \alpha}_1^{\rm T}\ & {\boldsymbol
M}_1{\boldsymbol M}_1^{\rm T}
\end{array}\right).
$$
由此知\,${\boldsymbol N}_{ij}={\boldsymbol N}_{11}=\det({\boldsymbol
M}_1{\boldsymbol M}^{\rm T}_1)$. \hfill\rule{1mm}{2mm}

由例\,1.9.5\,知, ${\boldsymbol{MM}}^{\rm
T}$\,中任何元素的代数余子式均相等, 其值为 \,$\det({\boldsymbol
M}_i{\boldsymbol M}_i^{\rm T})$. 这个值是\,$D$\,(或\,$G$)\,中非常重
要的不变量. 这个不变量究竟是什么? 将在\,2.3\,节中说明这一点.

设\,${\boldsymbol
A}$\,是顶点集\,$V=\{x_1,x_2,\cdots,x_\upsilon\}$\,的无环无向图
\,$G$\,的邻接 矩阵, ${\boldsymbol
B}$\,是对角元素\,$b_{ii}=d_G(x_i)$\,的\,$\upsilon$\,阶对 角方阵.
在图论文献中, 矩阵\,${\boldsymbol B}-{\boldsymbol
A}$\,称为\,$G$\,的\,${\boldsymbol {\mathbf{Laplace}}\,矩阵}$. 设\,${\boldsymbol
M}$\,是\,$G$\ 的任何一个定向图\,$D$\,的关联矩阵.
容易验证\,(习题\,1.9.7\,(a))： %\vspace{10pt}
 $$
 {\boldsymbol B}-{\boldsymbol A}={\boldsymbol{MM}}^{\rm T}.
 $$

 \index{juzhen@{矩阵}!laplacejuzhen@{Laplace\,矩阵}}

%\newpage
\vskip20pt {\bf \large 习\quad 题}

\noindent
\begin{description}
{\zihao{-5}
\item[$1.9.1$]
写出下列有向图\,$D$\,和它的基础图\,$G$\,的邻接矩阵和关联矩阵.}
\end{description}

\newpage
\chapter{树与图空间}
\newpage


\newpage
\setcounter{page}{77}



{\bf 定理\,{$\boldsymbol {2.1.5}$}}\ (D. K\"onig, 1936)\quad {\bf
设\,$F$\,是\,$G$\,的支撑林. 若存在\,$e\in E(G)\setminus E(F)$,
则\,$F+e$\,含有且仅含有一条圈}.

{\bf 证明}\quad  设\,$e\in E(G)\setminus E(F)$. 由支撑林的定义
知\,$F+e$\,含圈. 设\,$F+e$\,含两条不同的圈\,$C_1$\,和\,$C_2$.
由于\,$F$\,不含圈, 则\,$e\in E(C_1\cap C_2)$. 因此\,$(C_1\cup
C_2)-e$\,是闭链, 因而含圈\,$C'$. 易知\,$C'$是\,$F$\,中圈,
这与\,$F$\,是林相矛盾. 故\,$F+e$\,恰含一条圈.\hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 推论\,{$\boldsymbol {2.1.5}$}~~}\
图\,$G$\,中至少含\,$\varepsilon-\upsilon+\omega$\,条不同的圈.\hfill\rule{1mm}{2mm}

数\,$\varepsilon-\upsilon+\omega$\,称为\,$G$\,的{\bf 圈秩}\,(cycle
rank), 亦称为\,${\boldsymbol {\mathbf{Betti}}\  \mbox{\bf 数}}$\,(Betti number).
\index{quanzhi@{圈秩}}\index{quan@{圈秩}!quanzhi@{圈秩}}
\index{Bettishu@{Betti\,数}}\index{shu@{数}!Bettishu@{Betti\,数}}


设\,$H$\,是\,$G$\,的子图, 则\,$G-E(H)$\,称为\,$H$\,在\,$G$\,中的{\bf
余图}\,(cograph), 记为 \,$\overline H(G)$. 易知, 若\,$G=K_\upsilon$,
则\,$\overline H(K_\upsilon)=H^c$\, (参见习题\,1.2.6).
若\,$F$\,是\,$G$\,的支撑林\,(或树), 则\,$\overline
F(G)$\,称为\,$G$\,的{\bf 余林} \,(或{\bf 余树})\, (coforest 或\,
cotree).  \index{yutu@{余图}}
\index{yutu@{余图}!yushu@{余树}}\index{yutu@{余图}!yulin@{余林}}

例如, 图2.2\ (a)\,中粗边所示的子图是\,$G$\,的支撑林\,$F$,
而细边所示的子图是\,$G$ 的余林\,$\overline F(G)$;
(b)\,中粗边所示的子图是\,$G$ 的支撑树\,$T$ 而细边所示的子图是\,$G$
的余树\,$\overline T(G)$.

在不至于引起混淆的情况下, 简记\,$\overline F(G)$ 为\,$\overline F$,
简记\,$\overline T(G)$ 为\,$\overline T$. 有时也用\,$\overline F$
(或\,$\overline T$) 替代\,$E(\overline F)$ (或\,$E(\overline T)$).

设\,$B$\,是\,$E$\,的非空子集. 若存在非空子集\,$S\subset V(D)$
使\,$B=[S,\overline S]$, 则称\,$B$ 为\,$D$ 的{\bf 边割集}\,
(edge-cut set). 若\,$B$ 的任何非空真子集都不是边割集, 则称\,$B$
为{\bf 极小边割集}\,(minimal edge-cut set), 亦称为{\bf 键}\,(bond).
边数为\,$1$\,的边割集即为{\bf 割边}, 亦称为{\bf 桥}\,(bridge).
 \index{ge@{割}!biange@{边割集}}
 \index{ge@{割}!jixiaobiange@{极小边割集}}
 \index{jian@{键}}\index{qiao@{桥}}

不难看出, 若\,$B$\,是极小边割集, 则\,$\omega(D-B)=\omega(D)+1$.
反之, 若\,$a$\,是\,$D$\,中割边, 则\, $a$\,为键.
由于\,$\omega(D)$\,与\,$D$\,中边的方向无关, 所
以边割集概念与\,$D$\,中边的方向无关, 以下只需考虑无向图\,$G$.
图2.3\,所示的是一个边割集和一个键\,(粗边表示).


\vskip6pt
% Figure 2.3
\begin{figure}[htb]  % h: here; t: top; b: bottom
\psset{unit=1.1,linewidth=.6pt}     % scale
\begin{pspicture}(-1.2,.5)(4,3.2)
\cnode(.8,2){.07}{1}\cnode(2,2){.07}{2} \cnode(3.3,2){.07}{3}
\cnode(1.5,1){.07}{4}\cnode(3.6,1){.07}{5}
\cnode(1.5,3){.07}{6}\cnode(3.6,3){.07}{7}
\ncline{1}{2}\ncline{1}{4}\ncline{1}{6}
\ncline[linewidth=1.5pt]{2}{3}\ncline[linewidth=1.5pt]{2}{7}
\ncline[linewidth=1.5pt]{3}{4}\ncline[linewidth=1.5pt]{3}{6}
\ncline[linewidth=1.5pt]{4}{5}\ncline{4}{6}
\ncline[linewidth=1.5pt]{4}{7}
\ncline[linewidth=1.5pt]{5}{6}\ncline{5}{7}%
\ncline[linewidth=1.5pt]{6}{7}%
\rput(2.4,.5){\small(a)}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-.5,.5)(4,3.2)
\cnode(.8,2){.07}{1}\cnode(2,2){.07}{2} \cnode(3.3,2){.07}{3}
\cnode(1.5,1){.07}{4}\cnode(3.6,1){.07}{5}
\cnode(1.5,3){.07}{6}\cnode(3.6,3){.07}{7}
\ncline{1}{2}\ncline{1}{4}\ncline{1}{6}
\ncline{2}{3}\ncline[linewidth=1.5pt]{2}{7}
\ncline{3}{4}\ncline{3}{6}
\ncline[linewidth=1.5pt]{4}{5}\ncline{4}{6}
\ncline[linewidth=1.5pt]{4}{7}
\ncline[linewidth=1.5pt]{5}{6}\ncline{5}{7}%
\ncline[linewidth=1.5pt]{6}{7}%
\rput(2.4,.5){\small(b)}
\end{pspicture}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{2.3}$ \quad \bf \eufznine{(a)}\ 边割集; \eufznine{(b)}\  键}
\end{quote}\vspace*{-3mm}
\end{figure}



{\bf 定理\,{$\boldsymbol {2.1.6}$}}\ (D. K\"onig, 1936)\quad {\bf
设\,$F$\,是非空图\,$G$\,的支撑林, $e\in E(F)$, 则

${\boldsymbol {\mathbf{(i)}}}$\  $\overline F$ \,不含键;

${\boldsymbol {\mathbf{(ii)}}}$\  $\overline F+e$\,含有且仅有一个键.}

{\bf 证明}\quad  (i)\ 设\,$B$\,是\,$G$\,的键,
则\,$\omega(G-B)=\omega(G)+1=\omega(F)+1$. 因而\,$E(F)\cap
B\ne\emptyset$. 于是, $B\nsubseteq E(\overline F)$.

(ii)\ 设\,$S$\,是\,$F-e$\,的某连通分支的顶点集, 则\,$B=[S,\overline
S]$\,是\,$G$\,的边割集, 因而\, $\overline F+e$\,含\,$G$\,的键.
设\,$\overline F+e$\,含两个不同的键\,$B_1$\,和\,$B_2$. 由\,(i)\,知,
$\overline F$\,不含键, 所以, $\,e\in B_1\cap B_2$. 因此, $(B_1\cup
B_2)-e$\,含有\,$G$\,的键 $B'\,$\,(习题\,2.1.16), 即\,$\,\overline
F\,$\,含键\,$B'$. 矛盾于\,(i), 故\,$\overline F+e$\,仅含一个键.
\hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 推论\,{$\boldsymbol {2.1.6}$}}\quad
图\,$G$\,中至少含\,$\upsilon-\omega$\,个不同的键.\hfill\rule{1mm}{2mm}


\vskip20pt
%\newpage
{\bf \large 习\quad 题}

\noindent
\begin{description}

\zihao{-5}
\item[$2.1.1$] 设\,$G$\,是非平凡树. 证明:

\noindent(a)\ $G$\,中最长路的两端点均为\,$1$\,度点;

\noindent(b)\ $G$\,中所有最长路有至少一个公共顶点;

\noindent(c)\ 若\,$d(G)\geqslant 2k-3\, (k\geqslant 3)$,
则\,$G$\,至少含\,$\upsilon-k$\,条 长\,$\geqslant k$\,的路.

\item[$2.1.2$]设\,$G$\,是非平凡树, $\upsilon_i$\,表示\,$G$\,中\,$i$\,度点的数目. 证明:

\noindent(a)\ $\upsilon_1\geqslant \Delta (G)$\,;

\noindent(b)\ 若\,$\upsilon_1=2$, 则\,$G$\,是一条路;

\noindent(c)\ 或者\,$\upsilon_1\geqslant \upsilon_i$
($i=2,3,\cdots,\Delta$), 或者\,$\upsilon_2>\upsilon_1>\upsilon_i$
($i=3,4,\cdots,\Delta$);

\noindent(d)\ 令\,$U=\{x\in V(G):\ d_G(x)\geqslant 3\}$, 则\,
$\upsilon_1=2+\sum\limits_{x\in U}(d_G(x)-2)$\,.

\item[$2.1.3$]设\,$T$\,是非平凡树. 证明:

\noindent(a)\ $T$\,是\,$2$\,部图;

\noindent(b)\ 设\,$\{X,Y\}$\,是\,$T$\,的\,$2$\,部划分, 则

\noindent\qquad\!\!(i)\ 若\,$|X|\geqslant |Y|$, 则\,$X$\,中至少有\,$1$个\,$1$\,度点;

\noindent\qquad\!\!(ii)\ 若\,$|X|=|Y|+k$, 则\,$X$\,中至少有\,$k+1$\,个\,$1$\,度点.


\item[$2.1.4$] 设\,$G$\,是连通图, $x\in V(G)$. 证明:

\noindent(a)\ 设\,$T_1, T_2$\,是\,$G$\,的两棵支撑树,
并且\,$T_1-x\cong T_2-x$, 则\,$d(T_1)=d(T_2)$;

\noindent(b)\ $G$\,中存在支撑树\,$T$\,使得对任何\, $y\in
V(G)$\,均有\,$d_T(x,y)=d_G(x,y)$.

\item[$2.1.5$] 设\,$G$\,是恰有\,$2k\,(k\geqslant 1)$\,个奇度点的林. 证明: $G$\,有\,$k$\,条边不交的路\, $P_1,\cdots,
P_k$\ 使得\,$E(G)=E(P_1)\cup \cdots \cup E(P_k)$\,.

\item[$2.1.6$] 设\,$G$\,是\,$k\,(\geqslant 2)$\,阶树. 证明:
若\,$H$\,是简单无向图且 \,$\delta(H)\geqslant k-1$, 则\,$H$\,中存在
同构于\,$G$\,的子图.

\item[$2.1.7$] 设\,$G_i=(V_i,E_i)\,(i=1,2,\cdots,k)$\,是树\,$G$\,
的子树, $B=V_1\cap V_2\cap \cdots  \cap V_k$\,. 证明:

\noindent(a)\ 若\,$V_i\cap V_j\ne\emptyset,\ 1\leqslant i\ne
j\leqslant k$, 则 $B\ne\emptyset$;

\noindent(b)\ 若\,$B\ne\emptyset$, 则\,$G[B]$\,是\,$G$\,的子树.

\item[$2.1.8$]饱和烃分子形如\,$C_mH_n$, 其中每个碳原子的化合价为\,$4$, 每个氢原
子的化合价为\,$1$\,并且任何化合价序列都不构成圈.

\noindent(a)\ 证明: 对每个正整数\,$m$,
仅当\,$n=2m+2$\,时\,$C_mH_n$\,存在.

\noindent(b)\ 当\,$m=1,2,3$\,时, 画出饱和烃分子模型图,
它们分别代表什么化合物?

\noindent(c)\ 当\,$m=4$\,时,
饱和烃分子模型图有两个对应的化合物叫同分异构体.
画出这两个分子模型图并写出对应的同分异构体.

\item[$2.1.9$]十个学生参加一次考试, 试题有十道.
已知没有两个学生做对的题目完全相同. 证明:
在这十道试题中可以找到一道试题, 将这道试题取消后, 每两
个学生所做对的题目仍然不会完全相同.

\item[$2.1.10$]设\,$\mathscr A=\{A_1,A_2,\cdots
,A_n\}$\,是\,$X=\{1,2,\cdots ,n\}$\, 的\,$n$\,个不同子集族. 证明:
则存在\,$x\in X$\,使得\,$A_1\cup \{x\},A_2\cup \{x\},\cdots ,A_n\cup
\{x\}$\, 互不相同.

\item[$2.1.11$]设\,$T$\,是有向图, 并且为树. 若存在\,$x\in
V(T)$\,使得对任何异于\,$x$\,的\, $y\in V(T)$,
\,$T$\,中含\,$(x,y)$\,路, 则称\,$T$\,为{\bf 根在}\,$x$\,{\bf
的外向树}\,(out-tree rooted at $x$). 证明:


 \index{shu@{树}!waixiangshu@{外向树}}


\noindent(a)\ 有向图\,$D$\,是根在\,$x$\,的外向树\,$\Leftrightarrow
D$\,不含有向圈, $d^-_D(x)=0$\,且对任何异于\,$x$\,的\,$y\in
V(D)$\,均有\,$d^-_D(y)=1$;

\noindent(b)\ $D$\,根在\,
$x$\,的外向树\,$\Leftrightarrow$\,对\,$V(D)$\,中
含\,$x_0$\,的任何真子集\,$S$\,均有\,$(S,\overline S)\ne\emptyset$;

\noindent(c)\ 设\,$G$\,是简单连通图, $x\in V(G)$.
则\,$G$\,有定向图\,$D$\,使得\,$D$\,有支撑树\,$T$\,满 足:

\noindent\qquad\!\!(i)\ $T$\,是根在\,$x$\,外向树;

\noindent\qquad\!\!(ii)\ 对任何\,$a\in E(\overline T)$,  $T+a$\,含有向圈;

\noindent\qquad\!\!(iii)\ 对\,$D$\,中任何有向圈\,$C$\,存在\,$a\in E(\overline
T)$\,使\,$C\subseteq T+a$.

\item[$2.1.12$]证明: $G$\,中至少含\,$\varepsilon-\upsilon+\omega$\,个不同的圈和
\,$\upsilon-\omega$\,个不同的键.

\item[$2.1.13$]证明: 设\,$D$\,是强连通图\, $x\in V(D)$,
则\,$D$\,中存在 根在\,$x$\,的支撑树形图.

\item[$2.1.14$](a)\ 设\,$G$\,连通且\,$S$\,是\,$V(G)$\,的非空真子集.
证明:

\noindent\qquad\!\!(i)\ 边割集\,$E_G(S)$\,是极小的\,$\Leftrightarrow
G[S]$\,和\,$G[\overline S]$\,都是连通的;

\noindent\qquad\!\!(ii)\ $d_G(S)=\sum\limits_{x\in S}d_G(x)-2\varepsilon(G[S])$;

\noindent\qquad\!\!(iii)\ 若对任意的\,$S\subset V(G)$\,均有\,$d_G(S)<\delta(G)$,
则\,$|S|>\delta(G)$.

\noindent(b)\ 举例说明: (a)\,中结论\,(i)\,对有向图的强连通性不真.

\item[$2.1.15$]证明: 每个边割集都是边不交键之并.

\item[$2.1.16$]证明: 设\,$B_1$\,和\,$B_2$\,是键, 则
$B_1$\,和\,$B_2$\,对称差\,$B_1\Delta B_2$\,是边割集, 因而含键.

\item[$2.1.17$]证明: 设\,$T$\,是连通图\,$G$\,的支撑树, 则对称差\,$\Delta_{e \notin T} (T+e)$\,不含奇度点.

\item[$2.1.18$]连通图\,$G$\,的{\bf 树图}
$T^*(G)$\,是简单无向图: $V(T^*)=\{T:\ T$\ 为\,$G$\,的支撑树\,$\}$,
两支撑树\,$T_i$\,与\,$T_j$\,相邻 \,$\Leftrightarrow
T_i$\,和\,$T_j$在\,$G$\,中恰有\,$\upsilon-2$\,条公共边. 证明:
$T^*$\,是连通图.

 \index{shu@{树}!shutu@{{树图}}}

\item[$2.1.19$]设\,$T$\,是\,$G$\,的支撑树.
证明: 对\,$G$\,中任何支撑树\,$H$, $G$\,中存在支撑树序列\,
$T=T_1,T_2,\cdots ,\linebreak T_n=H$\,使得对每个\,$i\,(i=1,2,\cdots ,n-1)$,
$T_{i+1}$\,是从\,$T_i$\,中删 去一条边后再添加\,$G$\,中一条边而得到.

\item[$2.1.20$]证明: 若图\,$G$\,含\,$k$\,棵边不交支撑树,
则对\,$V(G)$\,的每个划分\,$\{V_1,V_2,\cdots, V_n\}$,
端点在\,$V_i\,$和\,$V_j\,(j\ne i)$\,的边数\,$\geqslant k(n-1)$.
(Tutte (1961) \& Nash-Williams (1961)\, 已证明:
$G$\,含\,$k$\,棵边不交支撑树的这个必要条件也是充分的.)



\end{description}


%\newpage
\section*{\centering {2.2\quad 图的向量空间}}

设\,$D$\,是图, $V(D)=\{u_1,u_2,\cdots ,u_\upsilon\}$,
$E(D)=\{a_1,a_2,\cdots$, $a_\varepsilon\}$. $D$\,的{\bf 顶点空间}\,
(vertex-space) $\mathscr V(D)$\,定义为\,$V(D)$\,到 实数集
${\boldsymbol {\mathbf R}}$\,中的所有函数的向量空间. $D$\,的{\bf 边空间}\,(edge-space)
$\mathscr E(D)$\,定义为\,$E(D)$\,到实数集\,${\boldsymbol {\mathbf R}}$\,中
的所有函数的向量空间. 显然, 维数\, dim $\mathscr V(D)=\upsilon$, dim
$\mathscr E(D)=\varepsilon$.

 \index{tudexiangliangkongjian@{图的向量空间}}
 \index{tudexiangliangkongjian@{图的向量空间}!dingdiankongjian@{顶点空间}}
 \index{tudexiangliangkongjian@{图的向量空间}!biankongjian@{边空间}}

设\,${\boldsymbol f}\in \mathscr V(D)$, ${\boldsymbol f}(u_i)=x_i$.
则通常可 以写成形式和
 $$
 {\boldsymbol f}=\sum\limits^\upsilon_{i=1}x_i{\boldsymbol u}_i.
 $$
如 果把\,${\boldsymbol u}_i$\,看成是\,$\mathscr V(D)$\,中元素且\,
 $$
 {\boldsymbol u}_i(u_j)=\left\{
  \begin{array}{rl}
  1, \quad &\ \mbox{如果}\ j=i;\\
  0, \quad &\ \mbox{如果}\ j\ne i,
  \end{array}\right.
  $$
那么\,${\boldsymbol u}_1,{\boldsymbol u}_2, \cdots ,{\boldsymbol
u}_\upsilon$ \,可以看成是\,$\mathscr V(D)$\,的一组基. $(x_1,x_2$,
$\cdots,x_\upsilon)$\,可以看作 是\,${\boldsymbol
f}$\,在这组基下的坐标. 记\,${\boldsymbol f}=(x_1,x_2,\cdots
,x_\upsilon)$.

同样地, 设\,${\boldsymbol g}\in \mathscr E(D)$, ${\boldsymbol
g}(a_i)=y_i$. 可以写成\vspace*{-1mm}
 $$
 {\boldsymbol g}=\sum\limits^{\varepsilon}_{i=1}y_i{\boldsymbol a}_i, \quad
 {\boldsymbol a}_i(a_j)=\left\{
  \begin{array}{rl}
  1, \quad &\ \mbox{如果}\ j=i;\\
  0,  \quad &\ \mbox{如果}\ j\ne i,
  \end{array}\right.
  $$
并称 \,${\boldsymbol a}_1,{\boldsymbol a}_2,\cdots,{\boldsymbol
a}_{\varepsilon}$\,是 $\mathscr E(D)$\, 的一组基, $(y_1,y_2,\cdots,
y_{\varepsilon})$ 是\,${\boldsymbol g}$ 在这组基下的坐标,
记\,${\boldsymbol g}=(y_1,y_2,\cdots, y_{\varepsilon})$.

在这两个空间中, 赋予通常的内积. 在这种内积下,
空间中任何基中两组向量是正交的.
本节只考虑无环图\,$D$\,的边空间\,$\mathscr E(D)$.


%\begin{figure}[h]
%\psset{unit=1.1,arrows=->,arrowsize=.14}
%\begin{pspicture}(-.75,.5)(4,3.5)
%\cnode(1,2){.1}{0}\rput(.9,1.6){\scriptsize$x_0$}
%\cnode(2.1,3){.1}{1}\rput(1.75,3.2){\scriptsize$x_3$}
%\cnode(2.1,1){.1}{2}\rput(1.75,.8){\scriptsize$x_1$}
%\cnode(3.7,3){.1}{3}\rput(4.15,3){\scriptsize$x_5$}
%\cnode(3.7,2){.1}{4}\rput(4.15,2){\scriptsize$x_2$}
%\cnode(3.7,1){.1}{5}\rput(4.15,1){\scriptsize$x_4$}
%\nccurve[angleA=70,angleB=200]{0}{1}\rput(1.3,2.8){\scriptsize$7$}
%\nccurve[angleA=-110,angleB=20]{1}{0}\rput(1.8,2.2){\scriptsize$8$}
%\ncline{0}{2}\rput(1.45,1.35){\scriptsize$1$}
%\nccurve[angleA=20,angleB=160]{1}{3}\rput(2.9,3.35){\scriptsize$4$}
%\nccurve[angleA=190,angleB=-10]{3}{1}\rput(3,2.75){\scriptsize$9$}
%\ncline{1}{5}\rput(2.7,2){\scriptsize$1$}
%\ncline{2}{1}\rput(2.25,2){\scriptsize$5$}
%\ncline{2}{4}\rput(2.8,1.25){\scriptsize$2$}
%\ncline{2}{5}\rput(2.9,.8){\scriptsize$7$}
%\ncline{4}{1}\rput(3,2.25){\scriptsize$2$}
%\ncline{4}{3}\rput(3.9,2.5){\scriptsize$5$}
%\ncline{5}{4}\rput(3.9,1.5){\scriptsize$3$}
%\rput(1,.9){\scriptsize$G:$}
%\end{pspicture}
%\rput(3,1.5){ ${\boldsymbol W}=\left(\begin{array}{cccccc}
%0&1&0&7&0&0\\
%0&0&2&5&7&0\\
%0&1&0&2&0&5\\
%8&0&0&0&1&4\\
%0&0&4&0&0&0\\
%0&0&0&9&0&0
%\end{array}\right)$}
%\caption{\label{f2.40}                                                             %f2.40
%\footnotesize 加权有向图\,$(D, {\boldsymbol w})$\,及对应的加权矩阵\,${\boldsymbol W}$}
%\end{figure}



设\,${\boldsymbol w}\in \mathscr E(D)$, 称\,$(D,{\boldsymbol
w})$\,为{\bf 加权图}\, (weighted graph),\,${\boldsymbol
w}$\,亦称为{\bf 权函数}, ${\boldsymbol w}(a)$\,称为边\,$a$\,的{\bf
权}\, (weight). 权通常是以矩阵的形式给出, 这样的矩阵称为{\bf
加权矩阵}.
%图~\ref{f2.40}\ 所示的是加权有向图\,$(D, {\boldsymbol w})$,
%其中有向边旁的数字就是该边的权, 右边的矩阵\,${\boldsymbol
%W}$\,是对应的加权矩阵.
事实上, 加权矩阵是邻接矩阵的推广, 因为当\,${\boldsymbol w}(a)\equiv
1$\,时的加权矩阵就是邻接矩阵. 加权图经常出现在应用中,
根据实际中的问题, 权可以是距离, 也可以是费用等等.
权为距离和费用的加权矩阵分别称为{\bf 距离矩阵}和{\bf 费用矩阵}.

 \index{quan@{权}}
 \index{quan@{权}!jiaquantu@{加权图}}
 \index{quan@{权}!jiaquanjuzhen@{加矩阵}}
 \index{quan@{权}!jiaquantu@{权函数}}
 \index{hanshu@{函数}!jiaquantu@{权函数}}
 \index{juzhen@{矩阵}!julijuzhen@{距离矩阵}}
 \index{juzhen@{矩阵}!feiyongjuzhen@{费用矩阵}}


设\,$B\subseteq E(D)$. 记
 $$
 {\boldsymbol w}(B)=\sum\limits_{a\in B}{\boldsymbol w}(a).
 $$
设\,$S\subset V(D)$. 记\,$E^+_D(S)=(S,\overline S)$,
即\,$D$\,中起点在\,$S$\,而终点在\,$\overline S$\,的边集. 同样地,
记\,$E^-_D(S)=(\overline S,S)$, 即\,$D$\,中起点在\,$\overline
S$\,而终点在\,$S$\,的边集.
%\hskip2.5cm $
 $$
 {\boldsymbol w}^+(S)={\boldsymbol w}(E^+_D(S)),\quad {\boldsymbol w}^-(S)={\boldsymbol w}(E^-_D(S)).
 $$

设\,${\boldsymbol f}\in \mathscr E(D)$. 若\vspace*{-2mm}
\begin{equation*}\begin{split}\label{e2.2.1}                                %e2.2.1
{\boldsymbol f^+}(u)={\boldsymbol f}^-(u),\quad \forall\ u\in V(D),
\end{split}\tag{2.2.1}\end{equation*}
则称\,${\boldsymbol f}$\,为\,$D$\,的{\bf 圈向量} (cycle vector).
图2.4\,(a)\,所示的是\,$D$\,的一个圈向量\,${\boldsymbol f}$,
它在各边上的值标在对应的边上.

 \index{tudexiangliangkongjian@{图的向量空间}!quanxiangliang@{圈向量}}


设\,$C$\,是\,$D$\,中圈\,(不一定是有向圈), 并指定\,$C$\,的正向.
用\,$C^+$\,表示\,$C$\,中其方向与\ $C$ 的正向一致的边集;
$C^-$\,表示\,$C$\,中其方向与\,$C$\,的正向相反的边集.
定义\,${\boldsymbol f}_C\in$\linebreak


\newpage
\setcounter{page}{83}

\noindent 则\,${\boldsymbol g}_B={\boldsymbol \delta_p}$. 于是, ${\boldsymbol
g}_B$\,是\,$D$\,的割 向量, ${\boldsymbol g}_B$称为{\bf
键\,$B$\,的割向量}. 图2.5\,(b)\, 所示的是对应于键 \,$B$\,
(粗边表示)\,的割向量\,${\boldsymbol g}_B$. 不难证明,
$D$\,的所有割向量构成\, $\mathscr E(D)$\,的子空间\, (见习题\,2.2.2).
称这个子空间 为\,$D$\,的{\bf 割空间} (cut space), 记为\,$\mathscr
B(D)$\,.

 \index{tudexiangliangkongjian@{图的向量空间}!gekongjian@{割空间}}
 \index{gekongjian@{割空间}}


% Figure 2.5
\begin{figure}[htb]  % h: here; t: top; b: bottom
\psset{unit=1.2,arrowsize=.14}     % scale
\begin{pspicture}(-.7,-.5)(4,4)
\cnode(1,2){.07}{1}\rput(.77,2){\scriptsize$14$}
\cnode(2,0){.07}{2}\rput(1.85,-.1){\scriptsize$0$}
\cnode(3.5,1.4){.07}{3}\rput(3.67,1.4){\scriptsize$9$}
\cnode(3.3,2){.07}{4}\rput(3.5,2.1){\scriptsize$17$}
\cnode(2.2,3.5){.07}{5}\rput(2.2,3.7){\scriptsize$32$}
\cnode(2,1.6){.07}{6}\rput(2,1.8){\scriptsize$10$}
\psline[arrows=->](1.03,1.96)(1.5,1)\psline(1.47,1.06)(1.97,.03)
\rput(1.2,1){\scriptsize$14$}
\psline[arrows=->](1.04,1.98)(1.5,1.8)\psline(1.45,1.82)(1.96,1.6)
\rput(1.5,2){\scriptsize$4$}
\psline[arrows=->](3.47,1.36)(2.75,.7)\psline(2.9,.84)(2.03,.04)
\rput(3.1,.7){\scriptsize$9$}
\psline[arrows=->](3.33,1.96)(3.43,1.61)\psline(3.4,1.7)(3.47,1.44)
\rput(3.6,1.8){\scriptsize$8$}
\psline[arrows=->](3.27,1.97)(2.52,1.76)\psline(2.65,1.8)(2.03,1.63)
\rput(2.6,2){\scriptsize$7$}
\psline[arrows=->](2.17,3.47)(1.56,2.7)\psline(1.6,2.75)(1.03,2.03)
\rput(1.4,2.8){\scriptsize$18$}
\psline[arrows=->](2.23,3.47)(2.86,2.6)\psline(2.75,2.75)(3.27,2.03)
\rput(3,2.8){\scriptsize$15$}
\psline[arrows=->](2,1.54)(2,.75)\psline(2,.8)(2,.06)
\rput(2.2,1){\scriptsize$10$}
\psline[arrows=->](2.04,1.6)(2.9,1.49)\psline(2.75,1.5)(3.46,1.4)
\rput(2.95,1.62){\scriptsize$1$} \rput(2.4,-.4){\footnotesize(a)}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(4,4)
\cnode(1,2){.07}{1}\rput(.8,2){\scriptsize$1$}
\cnode(2,0){.07}{2}\rput(1.85,-.1){\scriptsize$0$}
\cnode(3.5,1.4){.07}{3}\rput(3.67,1.4){\scriptsize$0$}
\cnode(3.3,2){.07}{4}\rput(3.45,2.1){\scriptsize$0$}
\cnode(2.2,3.5){.07}{5}\rput(2.2,3.7){\scriptsize$0$}
\cnode(2,1.6){.07}{6}\rput(2,1.8){\scriptsize$0$}
\psline[arrows=->,linewidth=1.6pt](1.03,1.96)(1.5,1)\psline[linewidth=1.6pt](1.47,1.06)(1.97,.03)
\rput(1.3,1){\scriptsize$1$}
\psline[arrows=->,linewidth=1.6pt](1.04,1.98)(1.5,1.8)\psline[linewidth=1.6pt](1.45,1.82)(1.96,1.6)
\rput(1.5,2){\scriptsize$1$}
\psline[arrows=->](3.47,1.36)(2.75,.7)\psline(2.9,.84)(2.03,.04)
\rput(3.05,.7){\scriptsize$0$}
\psline[arrows=->](3.33,1.96)(3.43,1.61)\psline(3.4,1.7)(3.47,1.44)
\rput(3.55,1.8){\scriptsize$0$}
\psline[arrows=->](3.27,1.97)(2.52,1.76)\psline(2.65,1.8)(2.03,1.63)
\rput(2.6,2){\scriptsize$0$}
\psline[arrows=->,linewidth=1.6pt](2.17,3.47)(1.56,2.7)\psline[linewidth=1.6pt](1.6,2.75)(1.03,2.03)
\rput(1.4,2.8){\scriptsize$-1$}
\psline[arrows=->](2.23,3.47)(2.86,2.6)\psline(2.75,2.75)(3.27,2.03)
\rput(2.95,2.8){\scriptsize$0$}
\psline[arrows=->](2,1.54)(2,.75)\psline(2,.8)(2,.06)
\rput(2.2,1){\scriptsize$0$}
\psline[arrows=->](2.04,1.6)(2.9,1.49)\psline(2.75,1.5)(3.46,1.4)
\rput(2.95,1.62){\scriptsize$0$} \rput(2.4,-.4){\footnotesize(b)}
\end{pspicture}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{2.5}$ \quad \bf {\eufznine{(a)}\ 加权图中的一个割向量; \eufznine{(b)}\ 对应于一个键的割向量}}
\end{quote}\vspace*{-5mm}
\end{figure}

{\bf 定理\,{$\boldsymbol {2.2.1}$}}\quad {\bf  设\,${\boldsymbol
M}$\,是\,$D$\,的关联矩阵, 则\,$\mathscr B(D)$\,是 \,${\boldsymbol
M}$\,的行向量空间\,$\mathscr M$, 而\linebreak $\mathscr C(D)$ 是它的正交补.}

{\bf 证明}\quad  设\,${\boldsymbol g}\in \mathscr B(D)$. 于是,
存在\,$ {\boldsymbol p}\in \mathscr V(D)$\,使\,${\boldsymbol
\delta_p}={\boldsymbol g}$\,且\,${\boldsymbol p}$
满足式\,(2.2.2). 因此, 对任何\,$a\in
E(D)$\,且\,$\psi_D(a)=(x,y)$\,均有
 $${\boldsymbol g}(a)={\boldsymbol \delta_p}(a)={\boldsymbol p}(x)- {\boldsymbol
p}(y)=\sum\limits_{x\in V} m_x(a){\boldsymbol p}(x),
$$
其中\,$m_x(a)$ 表示顶点\,$x$ 对应于\,${\boldsymbol M}$
中的行向量在边 \,$a$ 上的分量. 即\,${\boldsymbol g}$
可以表示成\,${\boldsymbol M}$ 的行向量的线性组合, 即\, $\mathscr
B(D)\subseteq \mathscr M$.

反之, 设\,${\boldsymbol
g}=(m_x(a_1),m_x(a_2),\cdots,m_x(a_\varepsilon))$\,是
\,${\boldsymbol M}$\,中任意行向量. 显然, ${\boldsymbol g}\in
\mathscr E(D)$. 令
$$
{\boldsymbol p}(u)=\left\{\begin{array}{ll}
1,\quad \ & \mbox{若}\ u=x;\\
0,\quad \ & \mbox{若}\ u\ne x.
\end{array}\right.
$$
则\,${\boldsymbol p}\in \mathscr V(D)$\,且\,${\boldsymbol
g}={\boldsymbol \delta_p}$. 因此, ${\boldsymbol g}\in \mathscr
B(D)$. 由于\,$M$\,中任何行向量的线性组合 仍 属于\,$\mathscr B(D)$,
故\,$\mathscr M\subseteq \mathscr B(D)$.

下证\,$\mathscr C(D)$\,是\,$\mathscr B(D)$\,在\,$\mathscr
B$\,的正交补. 设\,${\boldsymbol f}\in \mathscr E(D)$. 则\,
 $$
 \begin{array}{rl}
 {\boldsymbol f}\ \mbox{满足式}(2.2.1)&\!\!\!\!
 \Leftrightarrow\sum\limits_{a\in E}m_x(a)\,{\boldsymbol f}(a)=0,\ \forall\
 x\in V(D),\\
 &\!\!\!\! \Leftrightarrow {\boldsymbol f}\ \mbox{与}\ {\boldsymbol M}\ \mbox{中每个行向量都正交}.
 \end{array}
 $$
因此, $\mathscr C(D)$\,是\,$\mathscr B(D)$\,在\,$\mathscr
B$\,的正交补. \hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 推论\,{$\boldsymbol {2.2.1}$}}\quad {\bf 对任何图\,$D$\,都有}\,$\mathscr E(D)=
\mathscr B(D)\oplus\mathscr C(D)$.\hfill\rule{1mm}{2mm}


设\,${\boldsymbol f}\in \mathscr E(D)$. 用\,$D_{\boldsymbol
f}$\,表示\,$D$\,中使 \,${\boldsymbol
f}$\,的值不为\,$0$\,的边集所导出的子图. $D_{\boldsymbol
f}$\,称为\,${\boldsymbol f}$\, {\bf 的支撑图}. 例如,
图2.4\,(b)所示的\,${\boldsymbol f}$,
它的支撑图\,$D_{\boldsymbol f}$\,为一条圈\,(图中粗边所示);
而图2.5\,(b)\,所示的\,${\boldsymbol g}$,
它的支撑图\,$D_{\boldsymbol g}$\,为\,$D$\,中 一个键\,
(图中粗边所示). 一般地, 有下述结果：

 \index{zhichengzitu@{支撑子图}!feilingxiangliangdezhichengtu@{非零向量的支撑图}}

{\bf 引理\,{$\boldsymbol {2.2.2}$}}\quad {\bf (i)\ 若\,${\boldsymbol f}\in \mathscr
C(D)$\,且非零, 则\,$D_{\boldsymbol f}$\,含圈;

(ii)\ 若\,${\boldsymbol g}\in \mathscr B(D)$\,且非零,
则\,$D_{\boldsymbol g}$\,含键.}

{\bf 证明}\quad  (i) 由于\,$0\ne {\boldsymbol f}\in \mathscr C(D)$,
所以由式\,(2.2.1) 可知, 对每个\,$u\in V(D_{\boldsymbol f}),
d_{D_{\boldsymbol f}}(u)$ $\geqslant 2$, 即\,$\delta(D_{\boldsymbol
f})\geqslant 2$. 故\,(由例\,1.5.1)\, $D_{\boldsymbol f}$\,含圈.

(ii)\ 由于\,$0\ne {\boldsymbol g}\in \mathscr B(D)$, 所以存在非零
\,${\boldsymbol p}\in \mathscr V(D)$\,使得\,${\boldsymbol
g}={\boldsymbol \delta_p}$. 任取\,$u\in V(D_{\boldsymbol g})$, 并令
 $$
 S=\{w\in V(D):\ {\boldsymbol p}(w)={\boldsymbol p}(u)\}.
 $$
则\,$E_D[S,\overline S]$\,是\,$D$\,的非空割边集, 并且对任何 \,$a\in
E_D[S,\overline S]$\,均有\,${\boldsymbol g}(a)\ne 0$, 所以\,
$E_D[S,\overline S]
\subseteq E(D_{\boldsymbol g})$.
于是\,(习题\,2.1.15) $D_{\boldsymbol g}$\,含键.\hfill\rule{1mm}{2mm}


设\,${\boldsymbol B}$\,是其行由\,$\mathscr E(D)$\,中向量组成的矩阵,
$R\subseteq E(D)$. 则用\,${\boldsymbol B}|R$\,表示\,${\boldsymbol
B}$\,中列限制在\,$R$\,上得到的子矩阵. 为使记号简化,
若\,$R$\,是\,$D$\,的子图, 也记\,${\boldsymbol
B}|E(R)$\,为\,${\boldsymbol B}|R$.

{\bf 定理\,{$\boldsymbol {2.2.2}$}}\quad {\bf 设\,$\boldsymbol B$\,和\,$\boldsymbol
C$\,分别是\,$\mathscr B(D)$\,和 $\mathscr C(D)$\,的基矩阵,
则对任何\,$R\subseteq E(D)$, 则有

(i)\ \,${\boldsymbol B}|R$ \,的各列线性无关\,$\Leftrightarrow
D[R]$\,不含圈;

(ii)\ \,${\boldsymbol C|}R$\,的各列线性无关\,$\Leftrightarrow
D[R]$\,不含键.}

{\bf 证明}\quad  (i)\ 用\,${\boldsymbol B}_a$\,表示\,${\boldsymbol
B}|\{a\}$, 即 \,${\boldsymbol B}$\,中对应于边\,$a$\,的列向量.

($\Leftarrow$)\ (反证法)\,设\,${\boldsymbol B}|R$\,的各列线性相关,
则存在 \,${\boldsymbol 0}\ne {\boldsymbol f}\in \mathscr E(D)$,
$$
\left\{\begin{array}{rl}
{\boldsymbol f} (a)\not\equiv 0,\ & \mbox{若}\ a\in R;\\
{\boldsymbol f} (a)=0,\ & \mbox{若}\ a\notin R
\end{array}\right. \quad \mbox{使得}\  \sum\limits_{a\in R}{\boldsymbol f} (a){\boldsymbol
B}_a=0.
$$
由于
$$
0=\sum\limits_{a\in R}{\boldsymbol f} (a){\boldsymbol B}_a
=\sum\limits_{a\in E(D)}{\boldsymbol f} (a){\boldsymbol B}_a
={\boldsymbol B}{\boldsymbol f}^{^{^{\mathrm T}}}.
$$
所以\,$D_{\boldsymbol f}\subseteq D[R]$, 并且\,${\boldsymbol
f}$\,与\,${\boldsymbol B}$ 中每个行向量都正交, 即\,${\boldsymbol
f}$\,与$\mathscr {B}$\,中每个向量都正交, 即 \,${\boldsymbol f}\notin
\mathscr B$. 由推论\,2.2.1\,知, ${\boldsymbol f}\in \mathscr C$.
再由引理\,2.2.2\,(i)\,知, $D_{\boldsymbol f}$\,含圈,
因而\,$D[R]$\,也含圈, 矛盾于假定. 所以, ${\boldsymbol
B}|R$\,各列必线性无关.

($\Rightarrow$)\ (反证法)\,若\,$D[R]$\,含圈,
则取\,$C$\,为\,$D[R]$\,中的圈. ${\boldsymbol
f}_C$\,是\,$D$\,中对应于圈\,$C$\,的非零圈向量, 即\,${\boldsymbol
0}\ne {\boldsymbol f}_C\in \mathscr C(D)$. 由推论\,2.2.1\,知,
${\boldsymbol f}_C$ 与\,${\boldsymbol B}$\,中每个行向量都正交, 即
$$
\sum\limits_{a\in E}{\boldsymbol f}_C (a){\boldsymbol B}_a
={\boldsymbol B}{\boldsymbol f}_C^{^{^{\mathrm T}}}=0.
$$
另一方面,
$$
\sum\limits_{a\in E(D)}{\boldsymbol f}_C (a){\boldsymbol B}_a
=\sum\limits_{a\in R}{\boldsymbol f}_C (a){\boldsymbol B}_a.
$$
因而, 非零向量\,${\boldsymbol f}_C$使得
$$
\sum\limits_{a\in R}{\boldsymbol f}_C (a){\boldsymbol B}_a=0.
$$
即\,${\boldsymbol B}|R$\,的各列线性相关. 矛盾于假定,
所以\,$D[R]$\,不含圈.

利用引理\,2.2.2\,(ii), 做类似的叙述可证\,(ii).\hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 推论\,{$\boldsymbol {2.2.2}$}}\quad (i)\ dim $\mathscr{B}=\upsilon-\omega$;
\qquad (ii)\ dim $\mathscr{C}=\varepsilon-\upsilon+\omega$.

{\bf 证明}\quad (i)\ 设\,${\boldsymbol
B}$\,是$\mathscr{B}$\,的基矩阵. 根据定理\,2.2.2\,(i)\, 知
 $$
\mathrm{rank}\ {\boldsymbol B}=\max\{|R|: R\subseteq E(D)\ \mbox{且}\ D[R]\ \mbox{不含圈}\,\}.
 $$
上式只有当\,$D[R]$\,是\,$D$\,中支撑林时才达到最大值\,$\upsilon-\omega$
\,(推论\,2.1.3). 由于\,dim\,$\mathscr{B}=$ rank\,\,${\boldsymbol
B}$, 所以 \,dim\,$\mathscr{B}=\upsilon-\omega$. 由推论\,2.2.1\,知,
$\mathscr{B}$\,和\,$\mathscr{C}$\,都是\,$E(D)$\,的子空间且互为正交补,
所以\,(ii)\,成立. \hfill\rule{1mm}{2mm}


设\,$F$\,是\,$D$\,的支撑林.
用\,$a_1,a_2,\cdots,a_\varepsilon$\,对\,$D$\,的边进行标号使得
 $$
 E(\overline F)=\{a_1,a_2,\cdots,a_{\varepsilon-\upsilon+\omega}\},\quad
 E(F)=\{a_{\varepsilon-\upsilon+\omega+1},\cdots,a_\varepsilon\}.
 $$

%如图2.8(a)所示,其中细边表示$\overline F,粗边表示F.\;
{\ziju{-0.1}由定理\,2.1.5\,知, 对每个\,$a_i\in E(\overline F),\
F+a_i$\,含唯一圈. 记这条圈为\,$C_i$, 称为\,$D$\,中{\bf
对应于}$\,F\,${\bf 的基本圈} \,(fundamental cycle).
用\,${\boldsymbol f}_i$\,表示对应于圈\,$C_i$\,且使\,${\boldsymbol
f}_{C_i}(a_i)=1$\,的圈向量. 于是, 以}
\newpage
~~\newline \vspace*{-13mm}
\begin{equation*}\begin{split}\label{e2.2.3}                                     %e2.2.3
{\boldsymbol f}_1,\ {\boldsymbol f}_2,\ \cdots,\ {\boldsymbol
f}_{\varepsilon-\upsilon+\omega}
\end{split}\tag{2.2.3}\end{equation*}
为行而构成的\,$(\varepsilon-\upsilon+\omega)\times\varepsilon$\,阶矩阵
\,${\boldsymbol C}_F$\,必有下列分块表示形式:
 $$
 {\boldsymbol C}_F=({\boldsymbol I}_{\varepsilon-\upsilon+\omega}\ {\boldsymbol C}_2),
 $$
其中\,${\boldsymbol I}_{\varepsilon-\upsilon+\omega}={\boldsymbol
C}_F|\overline F$ 为\,$\varepsilon-\upsilon+\omega$\,阶单位方阵,
而\,${\boldsymbol C}_2={\boldsymbol C}_F|F$\,是
\,$(\varepsilon-\upsilon+\omega)\times(\upsilon-\omega)$\,阶矩阵.
由于\, rank \,${\boldsymbol C}_F=\varepsilon-\upsilon+\omega$,
所以向量组\,(2.2.3)\,是圈空间 $\mathscr{C}(D)$\,中的一组基.
${\boldsymbol C}_F\,$\,称为\,$\mathscr{C}(D)$\,中 {\bf
对应于}$\,F\,${\bf 的基矩阵}.

 \index{quankongjian@{圈空间}!jibenquan@{基本圈}}
 \index{quankongjian@{圈空间}!jijuzhen@{基矩阵}}
 %\index{yulin@{余林}!duiyinyuyulindejijuzhen@{对应于余林的基矩阵}}
 %\index{lin@{林}!duiyinyulindejijuzhen@{对应于林的基矩阵}}

% Figure 2.6
\begin{figure}[htb]  % h: here; t: top; b: bottom
\vspace*{-4mm}
\psset{unit=1.2,arrowsize=.14}     % scale
\begin{pspicture}(-2.95,0)(4,4)
\cnode(1,2){.07}{1}\cnode(2,0){.07}{2}\cnode(3.5,1.4){.07}{3}
\cnode(3.3,2){.07}{4}\cnode(2.2,3.5){.07}{5}\cnode(2,1.6){.07}{6}
\psline[arrows=->](1.03,1.96)(1.5,1)\psline(1.47,1.06)(1.97,.03)
\rput(1.2,1){\scriptsize$a_3$}
\psline[arrows=->](1.04,1.98)(1.5,1.8)\psline(1.45,1.82)(1.96,1.6)
\rput(1.55,1.95){\scriptsize$a_4$}
\psline[arrows=->](3.47,1.36)(2.75,.7)\psline(2.9,.84)(2.03,.04)
\rput(3.1,.7){\scriptsize$a_2$}
\psline[arrows=->,linewidth=1.6pt](3.33,1.96)(3.43,1.61)
\psline[linewidth=1.6pt](3.4,1.7)(3.47,1.44)
\rput(3.6,1.8){\scriptsize$a_8$}
\psline[arrows=->,linewidth=1.6pt](3.27,1.97)(2.52,1.76)
\psline[linewidth=1.6pt](2.65,1.8)(2.03,1.63)
\rput(2.55,1.95){\scriptsize$a_7$}
\psline[arrows=->,linewidth=1.6pt](2.17,3.47)(1.56,2.7)
\psline[linewidth=1.6pt](1.6,2.75)(1.03,2.03)
\rput(1.4,2.8){\scriptsize$a_5$}
\psline[arrows=->,linewidth=1.6pt](2.23,3.47)(2.86,2.6)
\psline[linewidth=1.6pt](2.75,2.75)(3.27,2.03)
\rput(2.95,2.8){\scriptsize$a_6$}
\psline[arrows=->,linewidth=1.6pt](2,1.54)(2,.75)
\psline[linewidth=1.6pt](2,.8)(2,.06) \rput(2.2,1){\scriptsize$a_9$}
\psline[arrows=->](2.04,1.6)(2.9,1.49)\psline(2.75,1.5)(3.46,1.4)
\rput(2.95,1.62){\scriptsize$a_1$}
\end{pspicture}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{2.6}$ \quad \bf {有向图\,$D$\,和它的支撑树}}
\end{quote}\vspace*{-5mm}
\end{figure}


例如, 图2.4\,所示的加权图\,$(D,{\boldsymbol f})$,
其边标号和支撑树\,$T$\,如图2.6\,所示\,(粗边所示).
$E(\overline T)=\{a_1,a_2,a_3,a_4\}$.
$D$\,中对应于\,$T$\,的基本圈向量\,${\boldsymbol
f}_i\,(i=1,2,3,4)$\,为
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e2.2.4}                                    %e2.2.4
\left\{
\begin{array}{rrrrrrrrrr}
{\boldsymbol f}_1=(1,&0,&0,&0,&0,&0,&1,&-1,&0),\\
{\boldsymbol f}_2=(0,&1,&0,&0,&0,&0,&-1,&1,&-1),\\
{\boldsymbol f}_3=(0,&0,&1,&0,&1,&-1,&-1,&0,&-1),\\
{\boldsymbol f}_4=(0,&0,&0,&1,&1,&-1,&-1,&0,&0).
\end{array}\right.
\end{split}\tag{2.2.4}\end{equation*}
$\mathscr{C}(D)$\,中对应于\,$T$\,的基矩阵
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e2.2.5}                                     %e2.2.5
\begin{array}{rl}
\quad\, a_1\ a_2\ \,a_3\ \,\,a_4\
\ \,a_5\quad\ a_6\quad\, a_7\quad\, a_8\quad\,\, a_9\qquad\ \qquad\qquad\\
{\boldsymbol C}_{_T}=\left (\begin{array}{rrrrrrrrr}
1&0&0&0&\ 0&0&1&-1&0\\
0&1&0&0&\ 0&0&-1&1&-1\\
0&0&1&0&\ 1&-1&-1&0&-1\\
0&0&0&1&\ 1&-1&-1&0&0
\end{array}\right )=({\boldsymbol I}_4, {\boldsymbol C}_2).
\end{array}
\end{split}\tag{2.2.5}\end{equation*}


\newpage
\setcounter{page}{88}~~\newline \vspace*{-13mm}
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e2.2.8}                                    %e2.2.8
\begin{array}{rl}
 \qquad &\qquad a_1\quad\, a_2\quad\, a_3\quad\, a_4\
\,\ \,a_5\ \,\,a_6\ \,a_7\ \,\, a_8\ a_9\\
{\boldsymbol B}_T=\!\!\!&\!\!\left (\begin{array}{rrrrrrrrr}
0&0&-1&-1&\ 1&0&0&0&0\\
0&0&1&1&\ 0&1&0&0&0\\
-1&1&1&1&\ 0&0&1&0&0\\
1&-1&0&0&\ 0&0&0&1&0\\
0&1&1&0&\ 0&0&0&0&1
\end{array}\right )=({\boldsymbol B_1\ \boldsymbol I_5}).
\end{array}
\end{split}\tag{2.2.8}\end{equation*}
图2.5\,所示的割向量\,{\bf g}\,可以表示为\vspace*{-1mm}
$$
\begin{array}{rl}
{\boldsymbol g} &\!\!\!\!=\left (1,\ 9,\ 14,\ 4,\ 18,\ 15,\
7,\ 8,\ 10\right )\\
&\!\!\!\!= 18\cdot {\boldsymbol g}_5+15\cdot {\boldsymbol g}_6
+7\cdot {\boldsymbol g}_7+8\cdot {\boldsymbol g}_8+10\cdot{\boldsymbol g}_9\\
&\!\!\!\!=\sum\limits_{j=5}^9 {\boldsymbol g} (a_j)\,{\boldsymbol
g}_j.
\end{array}
$$\vspace*{-1mm}
这说明: ${\boldsymbol g}$\,的值是由\,${\boldsymbol
g}|T$\,上的值所唯一确定. 事实上, 对任何割向量,
此结论仍然是成立的\,(见习题\,2.2.6).


下面举两个例子来结束这一节.

{\bf 例\,{$\boldsymbol {2.2.1}$}}\quad  设\,${\boldsymbol
B}$\,是割空间\,$\mathscr{B}(D)$\,
的基矩阵,\ $F$\,是\,$D$\,的支撑林,\,${\boldsymbol
B}_F$\,是\,$\mathscr{B}(D)$\, 中对应于\,$F$\,的基矩阵.
则\,${\boldsymbol B}$\,是由\,${\boldsymbol B}|F$\,唯一确定,
而且\,${\boldsymbol B}=({\boldsymbol B}|F){\boldsymbol B}_F$.

{\bf 证明}\quad  因为\,${\boldsymbol B}$ 和\,${\boldsymbol B}_F$
都是\,$\mathscr{B}(D)$ 中的基矩阵,
所以存在唯一可逆方阵\,${\boldsymbol P}$ 使得\,${\boldsymbol B}=
{\boldsymbol{P B}}_F$. 于是\,${\boldsymbol B}$ 由\,$P$ 唯一确定.
由于 \,${\boldsymbol B}|F={\boldsymbol{P B}}_F|F={\boldsymbol
{P(B}}_F|F)={\boldsymbol P}$, 所以, ${\boldsymbol B}={\boldsymbol
{PB}}_F=({\boldsymbol B}|F){\boldsymbol B}_F$. \hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 例\,{$\boldsymbol {2.2.1}$}}\quad  设\,${\boldsymbol K}$ 为从连通图\,$D$
的关联矩阵 \,${\boldsymbol M}$ 中删去任意一行后所得到的矩阵,
则\,${\boldsymbol K}$ 是割空间 $\mathscr{B}(D)$ 的基矩阵.

{\bf 证明}\quad  由于\,$D$ 是连通的, 所以由推论\,2.2.2\,知,
dim\,$\mathscr{B}(D)=\upsilon-1$. 又由定理\,2.2.1 知\ $\mathscr{B}$
是\,${\boldsymbol M}$ 的行向量空间\,$\mathscr{M}$, 而
\,${\boldsymbol K}$ 的行向量空间是\,$\mathscr{M}$ 的子空间,
所以只需证明 \,${\boldsymbol K}$ 的秩\, rank\,\,${\boldsymbol
K}\geqslant \upsilon-1$. 设\,${\boldsymbol M}$
的行向量为\,${\boldsymbol \beta}_1,{\boldsymbol \beta}_2,\cdots,
{\boldsymbol \beta}_\upsilon$, 则
 $
 {\boldsymbol \beta}_1+{\boldsymbol \beta}_2+\cdots +{\boldsymbol \beta}_\upsilon=0.
 $
不失一般性, 设\,${\boldsymbol \beta}_1,{\boldsymbol
\beta}_2,\cdots,{\boldsymbol \beta}_{\upsilon-1}$  是\,${\boldsymbol
K}$ 的行向量. 若\,${\boldsymbol \beta}_1,{\boldsymbol
\beta}_2,\cdots, {\boldsymbol \beta}_{\upsilon-1}$ 线性相关,
则存在不全为零的\,$\lambda_1,\lambda_2, \cdots,\lambda_{\upsilon-1}$
不妨设\,$\lambda_1=-1$ 使得
 $
 {\boldsymbol \beta}_1=\lambda_2{\boldsymbol \beta}_2+\lambda_3{\boldsymbol
 \beta}_3 +\cdots +\lambda_{\upsilon-1}{\boldsymbol \beta}_{\upsilon-1}.
 $
于是,\vspace*{-1mm}
$$
\begin{array}{rl}
0&\!\!\!\!= {\boldsymbol \beta}_1+{\boldsymbol \beta}_2+\cdots +{\boldsymbol \beta}_\upsilon\\
&\!\!\!\!= (1+\lambda_2){\boldsymbol \beta}_2+(1+\lambda_3)
{\boldsymbol \beta}_3+\cdots +(1+\lambda_{\upsilon-1}){\boldsymbol
\beta}_{\upsilon-1}+ {\boldsymbol \beta}_\upsilon,
\end{array}
$$
即
 $
 {\boldsymbol \beta}_\upsilon=-(1+\lambda_2){\boldsymbol \beta}_2-(1+\lambda_3)
 {\boldsymbol \beta}_3-\cdots -(1+\lambda_{\upsilon-1}){\boldsymbol \beta}_{\upsilon-1}.
 $
因此, ${\boldsymbol \beta}_1,{\boldsymbol
\beta}_2,\cdots,{\boldsymbol \beta}_\upsilon$
中每个向量都能被\,${\boldsymbol \beta}_2,{\boldsymbol
\beta}_3,\cdots, {\boldsymbol \beta}_{\upsilon-1}$ 线性表出,
即\,rank\,\,${\boldsymbol M}\leqslant \upsilon-2$. 矛盾于
\,rank\,${\boldsymbol M}=$ dim\, $\mathscr{M}=$ dim\,
$\mathscr{B}=\upsilon-1$. 所以, ${\boldsymbol \beta}_1,{\boldsymbol
\beta}_2,\cdots,{\boldsymbol \beta}_{\upsilon-1}$  线性无关, 即\,
rank\,${\boldsymbol K}\geqslant \upsilon-1$. \hfill\rule{1mm}{2mm}


\vskip20pt
{\bf \large 习\quad 题}

\noindent
\begin{description}
\zihao{-5}
\item[$2.2.1$]给出定理\,2.2.2\,(ii)\,的证明.

\item[$2.2.2$]设\,$C$ 是\,$D$ 中的圈, $B$ 是\,$D$ 中的键. 证明:

\noindent(a)\ ${\boldsymbol f}_C\in \mathscr{E}(D)$ 是\,$D$
的圈向量, $D$ 的所有圈向量构成\,$\mathscr{E}(D)$ 的子空间;

\noindent(b)\ ${\boldsymbol g}_B\in \mathscr{E}(D)$ 是\,$D$
的割向量, $D$ 的所有割向量构成\,$\mathscr{E}(D)$ 的子空间.

\item[$2.2.3$]设有向图\,$D$ 如下所示, 粗边表示支撑树\,$T$.

% Figure 5
%\begin{figure}[htb]  % h: here; t: top; b: bottom
\psset{unit=.7,arrows=->,arrowsize=.2}     % scale
\begin{pspicture}(-4.4,-2.5)(4,3)
\SpecialCoor \cnode(0;0){.1}{0}%
\cnode(2.2;30){.1}{1}\cnode(2.2;90){.1}{2}\cnode(2.2;150){.1}{3}
\cnode(2.2;210){.1}{4}\cnode(2.2;270){.1}{5}\cnode(2.2;330){.1}{6}
\ncline{0}{1}\rput(1.1;18){\scriptsize$a_3$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{2}\rput(1.1;102){\scriptsize$a_8$}
\rput(1.1;78){\scriptsize$2$}
\ncline{3}{0}\rput(1.1;162){\scriptsize$a_2$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{4}{0}\rput(1.1;223){\scriptsize$a_{10}$}
\rput(1.1;198){\scriptsize$1$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{5}\rput(1.1;257){\scriptsize$a_{11}$}
\rput(1.1;282){\scriptsize$1$}
\ncline{0}{6}\rput(1.1;318){\scriptsize$a_5$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{2}{1}\rput(1.7;60){\scriptsize$a_9$}
\rput(2.1;60){\scriptsize$-3$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{3}{2}\rput(1.7;120){\scriptsize$a_7$}
\rput(2.1;120){\scriptsize$4$}
\ncline{4}{3}\rput(1.7;180){\scriptsize$a_1$}
\ncline{4}{5}\rput(2.1;240){\scriptsize$a_6$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{5}{6}\rput(1.66;300){\scriptsize$a_{12}$}
\rput(2.1;300){\scriptsize$-2$}
\ncline{6}{1}\rput(1.7;0){\scriptsize$a_4$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-2.5,-2.5)(3,3)
\SpecialCoor \cnode(0;0){.08}{0}%
\cnode(2.2;30){.1}{1}\cnode(2.2;90){.1}{2}\cnode(2.2;150){.1}{3}
\cnode(2.2;210){.1}{4}\cnode(2.2;270){.1}{5}\cnode(2.2;330){.1}{6}
\ncline{0}{1}\rput(1.1;18){\scriptsize$a_3$}\rput(1.1;42){\scriptsize$1$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{2}\rput(1.1;102){\scriptsize$a_8$}
\ncline{3}{0}\rput(1.1;162){\scriptsize$a_2$}\rput(1.1;138){\scriptsize$4$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{4}{0}\rput(1.1;223){\scriptsize$a_{10}$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{5}\rput(1.1;257){\scriptsize$a_{11}$}
\ncline{0}{6}\rput(1.1;318){\scriptsize$a_5$}\rput(1.1;342){\scriptsize$-5$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{2}{1}\rput(1.7;60){\scriptsize$a_9$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{3}{2}\rput(2.1;120){\scriptsize$a_7$}
\ncline{4}{3}\rput(1.7;180){\scriptsize$a_1$}\rput(2.1;180){\scriptsize$8$}
\ncline{4}{5}\rput(1.7;240){\scriptsize$4$}\rput(2.1;240){\scriptsize$a_6$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{5}{6}\rput(2.12;300){\scriptsize$a_{12}$}
\ncline{6}{1}\rput(1.7;0){\scriptsize$a_4$}\rput(2.1;0){\scriptsize$6$}
\rput(4.2;215){\vspace*{3mm}\small(习题\,2.2.4)}
\end{pspicture}

\noindent(a)\ 将\,$T$ 上的函数扩充为\,$D$ 的割向量\,${\boldsymbol
g}$, 写出\,$\mathscr{B}(D)$ 中对应于\,$T$ 的基矩阵\,${\boldsymbol
B}_T$, 并写出\,${\boldsymbol g}$  在这组基下的表达式;

\noindent(b)\ 将\,$\overline T$ 上的函数扩充为\,$D$
的圈向量\,${\boldsymbol f}$, 写出\,$\mathscr{C}(D)$ 中对应于\,$T$
的基矩阵\,${\boldsymbol C}_T$, 并写出\,${\boldsymbol f}$ 在这组
基下的表达式.

\item[$2.2.4$]设\,$F$ 是\,$D$ 的支撑林, ${\boldsymbol B}_F=({\boldsymbol B}_1\
{\boldsymbol I}_{\upsilon-w})$ 和\,${\boldsymbol C}_F=({\boldsymbol
I}_{\varepsilon-\upsilon+w}\ {\boldsymbol C}_2)$
分别是\,$\mathscr{B}(D)$ 和\, $\mathscr{C}(D)$\ 中对应于\,$F$
的基矩阵. 证明:

\noindent(a)\ ${\boldsymbol C}_F({\boldsymbol B}_F)^{\mathrm T}=0$;

\noindent(b)\ ${\boldsymbol C}_F=({\boldsymbol
I}_{\varepsilon-\upsilon+w}\ -{\boldsymbol B}^{\mathrm T}_1)$;

\noindent(c)\ ${\boldsymbol B}_F=(-{\boldsymbol C}^{\mathrm T}_2\
{\boldsymbol I}_{\upsilon-w})$.

\item[$2.2.5$]设\,${\boldsymbol f}$ 是\,$D$ 的圈向量, ${\boldsymbol
g}$ 是\,$D$ 的割向量,\,$F$ 是\,$D$  的支撑林, ${\boldsymbol B}_F$
和\,${\boldsymbol C}_F$ 分别是割空间\,$\mathscr{B}(D)$ 和圈空间
$\mathscr{C}(D)$ 中对应于\,$F$ 的基矩阵. 证明: ${\boldsymbol f}$
\,由\,\,${\boldsymbol f}|\overline F$ 唯一确定, 而且\,${\boldsymbol
f}=({\boldsymbol f}| \overline F){\boldsymbol C}_F$; ${\boldsymbol
g}$ \,由\,\,${\boldsymbol g}|F$ 唯一确定, 而且\,${\boldsymbol
g}=({\boldsymbol g}|F){\boldsymbol B}_F$.

\item[$2.2.6$]设\,${\boldsymbol
C}$ 是圈空间\,$\mathscr{C}(D)$ 的基矩阵, $F$ 是\,$D$ 的支 撑林,
${\boldsymbol C}_F$ 是\,$\mathscr{C}(D)$ 中对应于\,$F$ 的基矩阵.
证明: ${\boldsymbol C}$ 是由\,${\boldsymbol C}|\overline F$
唯一确定, 而且\,${\boldsymbol C} =({\boldsymbol C}|\overline
F){\boldsymbol C}_F$.

\item[$2.2.7$]证明:
$D$ 中任何圈\,(键)\,都可以表示成若干基本圈\,(键)\,的对称差.

\end{description}

\newpage
\setcounter{page}{91}
{\bf 证明}\quad  设\,${\boldsymbol P}$ 是\,${\boldsymbol K}$
的满阶子方阵. 下面用归纳法来 证明\,${\boldsymbol P}$ 是全幺模的.
由于\,${\boldsymbol M}$ 是\ $D$ 的关联矩阵, 所以\,${\boldsymbol M}$
中\,(即\,${\boldsymbol P}$ 中)\,的元素是\,$0, -1$ 或\,$1$. 因此,
${\boldsymbol P}$中任何1阶子方阵是全幺模的. 假定 \,${\boldsymbol P}$ 中任何$n$阶子方阵是全幺模的.
要证明 \,${\boldsymbol P}$ 中任何\,$n+1$ 阶子方阵的列式也 为 \,$0,
-1$ 或\,1.

设\,${\boldsymbol Q}=(q_{ij})\,(1\leqslant i,j\leqslant n+1)$
是\,${\boldsymbol P}$ 中\,$n+1$ 阶子方阵. 由关联矩阵\,${\boldsymbol
M}$ 的定义知, ${\boldsymbol Q}$ 中每列至多有两个非零元素. 若
\,${\boldsymbol Q}$ 中每列都有两个非零元素, 则\,${\boldsymbol Q}$
中所有行向量之和为 零向量. 于是, $\det {\boldsymbol Q}=0$.

下设\,${\boldsymbol Q}$ 中至少有一列至多有一个非零元素,
设为\,$q_{ij}\,(=0,-1$ 或\,1). 将\,$\det {\boldsymbol Q}$ 按第\,$j$
列进行行列式展开. 于是, $\det {\boldsymbol Q}=(-1)^{i+j}q_{ij}\cdot
\det {\boldsymbol Q}_{ij}$, 其中\, $\det {\boldsymbol Q}_{ij}$
是\,${\boldsymbol Q}$ 的\,$n$\ 阶子方阵. 由假定知, $\det
{\boldsymbol Q}_{ij}=0,-1$ 或\,1. 所以\,$\det {\boldsymbol Q}=0,\pm
1$. 由 $n$ 的任意性知, $\det {\boldsymbol P}=0,\pm 1$.
再由\,${\boldsymbol P}$ 的任意性知, ${\boldsymbol K}$
是幺模矩阵.\hfill\rule{1mm}{2mm}


{\bf 定理\,{$\boldsymbol {2.3}$}}\quad {\bf  设\,$D$ 是无环连通有向图, ${\boldsymbol
B}$ 和\,${\boldsymbol C}$ 分别是\, $\mathscr{B}(D)$ 和
\,$\mathscr{C}(D)$ 中的幺模基矩阵. 则
$$
\tau (G)={\rm det}\, ({\boldsymbol{BB}}^{^{\mathrm T}}) ={\rm
det}\, ({\boldsymbol{CC}}^{^{\mathrm T}}).
$$
其中\,${\boldsymbol B}^{\mathrm T}$ 和\,${\boldsymbol C}^{\mathrm
T}$ 分别表示\,${\boldsymbol B}$ 和\,${\boldsymbol C}$ 的转置矩阵.}

{\bf 证明}\quad  利用两个矩阵乘积的行列式的\,Binet-Cauchy \,公式
%\,(参见李炯生和查建国\,(1989), p. 138, 定理\,2)\,
得
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e2.3.2}                                    %e2.3.2
{\rm det}\, ({\boldsymbol{BB}}^{^{\mathrm T}})
=\sum\limits_{\substack{R\subseteq E(G)\\
|R|=\upsilon-1}}({\rm det}\, ({\boldsymbol B}|R))^2.
\end{split}\end{equation*}
于是, 一方面由定理\,2.2.2\,(i)知,
式\,(2.3.2)\,右边中非零项的数目等于\,$\tau(D)$. 另 一方面,
由于\,$D$ 是连通的并且\,${\boldsymbol B}$ 是幺模矩阵,
所以式\,(2.3.2)\,右边非零项 的值都是\,1. 因此,
$\tau(D)=\det({\boldsymbol {B B}}^{\mathrm T})$.

同理可证, $\tau(D)=\det({\boldsymbol {C C}}^{\mathrm
T})$.\hfill\rule{1mm}{2mm}


{\bf 推论\,{$\boldsymbol {2.3.1}$}}\quad {\bf 设\,$D$ 是无环连通有向图, ${\boldsymbol
B}$ 和 \,${\boldsymbol C}$ 分别是\,$\mathscr{B}(D)$
和\,$\mathscr{C}(D)$ 中的幺模基矩阵. 则}
$$
\tau (G)=\pm {\rm det}\, \left (
\begin{array}{c}{\boldsymbol B}\\ {\boldsymbol C}
\end{array}\right ).
$$

{\bf 证明}\quad  由定理\,2.3\,有
$$
\tau(G)^2={\rm det}\, ({\boldsymbol{BB}}^{^{\mathrm T}})\cdot {\rm
det}\, ({\boldsymbol{CC}}^{^{\mathrm T}}) ={\rm det}\, \left (
\begin{array}{cc}{\boldsymbol{BB}}^{^{\mathrm T}}&{\boldsymbol O}\\
{\boldsymbol O}& {\boldsymbol{CC}}^{^{\mathrm T}}
\end{array}\right ).
$$
由于\,$\mathscr{B}$ 和\,$\mathscr C$ 正交,
所以\,${\boldsymbol{CB}}^{\mathrm T}={\boldsymbol{BC}}^{\mathrm T}=
{\boldsymbol O}$. 于是, \newpage~~\newline \vspace*{-10mm}
$$
\begin{array}{rl}
\tau(G)^2&\!\!\!\!={\rm det}\, \left (
\begin{array}{cc}{\boldsymbol{BB}}^{^{\mathrm T}}&{\boldsymbol{BC}}^{^{\mathrm T}}\\
{\boldsymbol{CB}}^{^{\mathrm T}}& {\boldsymbol{CC}}^{^{\mathrm T}}
\end{array}\right )
={\rm det}\, \left (\left (
\begin{array}{c}{\boldsymbol B}\\{\boldsymbol C}
\end{array}\right )\cdot
\left ({\boldsymbol B}^{^{\mathrm T}}\ {\boldsymbol C}^{^{\mathrm T}}\right )\right )\\
&\!\!\!\!={\rm det}\, \left (
\begin{array}{c}{\boldsymbol B}\\{\boldsymbol C}
\end{array}\right )\cdot {\rm det}\,
\left ({\boldsymbol B}^{^{\mathrm T}}\ {\boldsymbol C}^{^{\mathrm
T}}\right ) =\left ({\rm det}\,\left (
\begin{array}{c}{\boldsymbol B}\\{\boldsymbol C}
\end{array}\right )
\right )^2.
\end{array}
$$
故推论得证.\hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 推论\,{$\boldsymbol {2.3.2}$}}\quad {\bf 设\,$D$ 是无环连通有向图, $T$ 是\,$D$
中支撑树, ${\boldsymbol B}_T$\ 和\,${\boldsymbol C}_T$
分别是\,$\mathscr{B}(D)$\ 和\,$\mathscr{C}(D)$  中对应于\,$T$
的基矩阵, ${\boldsymbol K}$ 是从\,$D$ 的关联矩阵\,${\boldsymbol M}$
中删去 任意一行后得到的矩阵. 则}
$$
\tau (G) ={\rm det}\, \left ({\boldsymbol B}_T{\boldsymbol
B}_T^{^{\mathrm T}}\right ) ={\rm det}\, \left ({\boldsymbol
C}_T{\boldsymbol C}_T^{^{\mathrm T}}\right ) ={\rm det}\, \left
({\boldsymbol K}{\boldsymbol K}^{^{\mathrm T}}\right ).
$$

{\bf 证明}\quad  由例\,2.3.1\,知, ${\boldsymbol B}_T$
和\,${\boldsymbol C}_T$ 都是幺模 矩阵. 再由定理\,2.3\,有
 $$
 \tau(D)=\det({\boldsymbol B}_T {\boldsymbol B}^{\mathrm T}_T) =\det({\boldsymbol C}_T {\boldsymbol C}^{\mathrm T}_T).
 $$
由例\,2.2.2\,知, ${\boldsymbol K}$  是\,$\mathscr{B}(D)$ 的基矩阵.
由例\,2.3.2\,知, ${\boldsymbol K}$ 是幺模矩阵. 再由定理\,2.3\,有\
$\tau(D)=\det({\boldsymbol{KK}}^{\mathrm T})$. \hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 例\,{$\boldsymbol {2.3.3}$}}\quad  考察图2.6\, 中所示的有向图\,$D$.
它的关联矩阵 为
$$
{\boldsymbol M}=\left (\begin{array}{rrrrrrrrr}
0&0&0&0&0&-1&1&1&0\\
-1&1&0&0&0&0&0&-1&0\\
1&0&0&-1&0&0&-1&0&1\\
0&0&1&1&-1&0&0&0&0\\
0&0&0&0&1&1&0&0&0\\
0&-1&-1&0&0&0&0&0&-1\\
\end{array}\right ).
$$
令\,${\boldsymbol K}$ 为从\,${\boldsymbol M}$
中删去最后一行所得到的矩阵, 则
$$
{\rm det}\,{\boldsymbol{(KK}}^{^{\mathrm T}})={\rm det}\, \left
(\begin{array}{rrrrr}
3&-1&-1&0&-1\\
-1&3&-1&0&0\\
-1&-1&4&-1&0\\
0&0&-1&3&-1\\
-1&0&0&-1&2
\end{array}\right )=66.
$$
设\,$T$ 是\,$D$ 中由边子集\,$\{a_5,a_6,a_7,a_8,a_9\}$
导出的支撑树\,(图2.6\,粗 边所示). $\mathscr{B}(D)$\ 和\
$\mathscr{C}(D)$  中对应于\,$T$ 的基矩阵 \,${\boldsymbol B}_T$
和\,${\boldsymbol C}_T$
分别为式\,(2.2.8)\,和\,(2.2.5)\,所示. 于是,
$$
{\boldsymbol B}_T{\boldsymbol B}_T^{^{\mathrm T}}= \left
(\begin{array}{rrrrr}
3&-2&-2&0&-1\\
-2&3&2&0&1\\
-2&2&5&-2&2\\
0&0&-2&3&-1\\
-1&1&2&-1&3
\end{array}\right ),
 $$
 $$
{\boldsymbol C}_T{\boldsymbol C}_T^{^{\mathrm T}}= \left
(\begin{array}{rrrr}
3&-2&-1&-1\\
-2&4&2&1\\
-1&2&5&3\\
-1&1&3&4
\end{array}\right ).\qquad
 $$
因而有\,$\det({\boldsymbol B}_T{\boldsymbol B}^{\mathrm T}_T)=66
=\det({\boldsymbol C}_T{\boldsymbol C}^{\mathrm T}_T)$.
\hfill\rule{1mm}{2mm}


{\bf 推论\,{$\boldsymbol {2.3.3}$}}\quad {\bf 设\,$T_n$ 表示\,$n\,(\geqslant 2)$
阶竞赛图, 则}\,$\tau(T_n)=n^{n-2}$.

{\bf 证明}\quad  由推论\,2.3.2, 有
$$
\qquad\qquad \begin{array}{rl}
\tau (T_n)&\!\!\!\!={\rm det}\, {\boldsymbol{(KK}}^{^{\mathrm T}})\\
&\!\!\!\!={\rm det}\, \left (\begin{array}{ccccc}
n-1&-1&\cdots &-1&-1\\
-1&n-1&\cdots &-1&-1\\
\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots\\
-1&-1&\cdots &n-1&-1\\
-1&-1&\cdots &-1&n-1
\end{array}\right )_{n-1}=n^{n-2}.\quad\qquad \hfill\rule{1mm}{2mm}
\end{array}
$$



图2.7\,给出了所示竞赛图\,$T_4$ 的\,16\,个支撑树.
在这\,16\,个支撑树中, 不同构的只有\,6\,个, 如图2.8\,所示.
%注意, 不同构的\,4\,阶无向树只有\,2\,个, 如图~\ref{f2.8}\,所示.


通过考虑无环的连通无向图\,$G$ 的定向图,
由推论\,2.3.2\,和\,2.3.3\,便分别得到下列两 个推论：


{\bf 推论\,{$\boldsymbol {2.3.4}$}}\ (矩阵\ -\ 树定理, Kirchhoff, 1847)\quad {\bf 设\,$G$
是顶点集为\,$\{x_1,x_2,\cdots ,x_\upsilon\}$ 的无环连通无向图, 则\,
$\tau(G)=\det {\boldsymbol{(KK}}^{\mathrm T})$, 其中\,${\boldsymbol
K}$ 是从\,$G$ 的任何一个定向图\,$D$  的关联矩阵\,${\boldsymbol
M}(D)$ 中删去任意一行后得到的矩阵.}


{\bf 推论\,{$\boldsymbol {2.3.5}$}}\  (Cayley 公式, 1889)\quad {\bf 设\,\,$K_n$
是顶点集为\,$\{x_1,x_2$, $\cdots,x_n\}$ 的完全图,\ 则}\,
$\tau(K_n)=n^{n-2},\ n\geqslant 2$.

\newpage
\setcounter{page}{95}


{\zihao{-5}
${\boldsymbol C}$ 是圈空间\,$\mathscr{C}(D)$  的幺模基矩阵. 证明:
 $$\tau(D)=\displaystyle\pm {\rm det}\, \left [
\begin{array}{c}{\boldsymbol K}\\{\boldsymbol C}\end{array}\right ].$$}\vspace*{-4mm}

\begin{description}
{\zihao{-5}
\item[$2.3.3$] (a)\ 设\,${\boldsymbol M}$ 是无环连通有向图\,$D$ 的关联矩阵.
证明: ${\boldsymbol M \boldsymbol M}^{\mathrm T}$
中所有元素的代数余子式都为\,$\tau(D)$ (参见例\,1.9.5).

\noindent(b)\ 设\,$D$ 是如图2.6\,中所示的有向图.
分别利用\,(a)\,和习题\,2.3.2, 求 出\,$\tau(D)$ (参见例\,2.3.3).

\item[$2.3.4$]设\,$G$ 是连通无向简单图,
${\boldsymbol A^*}$ 是\,$G$ 的\,Laplace\,矩阵. 证明:

\noindent(a)\ ${\boldsymbol A^*}$
中的所有元素的代数余子式均等于\,$\tau(G)$;

\noindent(b)\ $\tau(G)$ 是\,${\boldsymbol A^*}$ 的特征根;

\noindent(c)\ $\tau(G)=$ det\,$({\boldsymbol J}+{\boldsymbol
A}^*)/\upsilon^2$.
%证明见West书P462

\item[$2.3.5$]设\,$G$ 是连通的\,$k\,(\geqslant 1)$ 正则无向简单图, $k,
\lambda_2,\cdots,\lambda_t$ 是\,$G$ 的所有特征根, $k$ 的重数为\,$1$,
$\lambda_j$ 的重数为\,$m_j$ ($2\le j\le t$). 证明:
 $$\tau(G)=\prod_{j=2}^t(k-\lambda_j)^{m_j}/\upsilon.$$
 %证明见West书P462

\item[$2.3.6$]证明: (a)\
$\tau(C_n)=n$, 其中\,$C_n$ 是以\,$\{x_1,x_2,\cdots,x_n\}$
为其顶点集的\,$n$ 阶圈;

\noindent(b)\ $\tau(K_n-e)=(n-2)n^n-3$, 其中\,$K_n-e$ 表示从
以\,$\{x_1,x_2,\cdots$, $x_n\}$ 为其顶点集的\,$K_n$ 中除掉任
何一条边后得到的子图;

\noindent(c)\ $\tau(K_{m,n})=m^{n-1}n^{m-1}$, 其中\,$k_{m,n}$
是\,$2$ 部划分为\,$\{X,Y\}$  的完全\,$2$ 部图,
$X=\{x_1,x_2,\linebreak \cdots,x_m\}, Y=\{y_1,y_2,\cdots,y_n\}$.

\item[$2.3.7$]设\,$D$ 是非平凡无环连通有向图, $a$ 是\,$D$ 的任意一条边. 证明:
$$\tau(D)=\tau(D\cdot a)+\tau(D-a).$$


\item[$2.3.8$]设\,$H$ 是用\,$k$ 条两端点相同的边替代简单无向图
\,$G$ 中每条边后而得到的图. 证明: $\tau(H)=k^{\upsilon-1}\tau(G)$.

\item[\boldsymbol{2.3.9}]设\,$D$ 不含有向圈, $x\in V(D),\
\tau_x(D)$ 表示\,$D$ 中根在\,$x$  的支撑外向树的数目.

\noindent(a)\ 证明:
 $$\tau_x(D)=\prod\limits_{y\in V\setminus\{x\}}
d_D^-(y).$$

\noindent(b)\ 设\,$D$ 为图2.7\,所示的竞赛图\,$T_4$.
对\,$\forall x\in V(T_4)$, 验证\,(a) 的结论.}
\end{description}

\newpage
\setcounter{page}{98}
~~\newline \vspace*{13mm}
\begin{figure}[htbp]  % h: here; t: top; b: bottom
\psset{unit=1.}     % scale
\begin{pspicture}(-.85,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(1,1.6){\tiny$x_0$}%\rput(1,2){\tiny$0$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}%\rput(1.75,3.2){\tiny$x_1$}%\rput(2.1,3){\tiny$1$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}%\rput(1.75,.8){\tiny$x_2$}%\rput(2.1,1){\tiny$2$}
\cnode(2.7,2){.2}{3}%\rput(3.05,1.8){\tiny$x_3$}%\rput(2.7,2){\tiny$3$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}%\rput(4.15,2){\tiny$x_4$}%\rput(3.7,2){\tiny$4$}
\cnode(3.7,3){.2}{5}%\rput(4.15,3){\tiny$x_5$}%\rput(3.7,3){\tiny$5$}
\cnode(3.7,1){.2}{6}%\rput(4.15,1){\tiny$x_6$}%\rput(3.7,1){\tiny$6$}
\ncline{0}{1}\rput(1.5,2.65){\tiny$1$}
\ncline{0}{2}\rput(1.5,1.35){\tiny$2$}
\ncline{0}{5}\rput(1.75,2.45){\tiny$15$}
\ncline{0}{6}\rput(3.15,1.35){\tiny$16$}
\ncline{1}{2}\rput(2.25,2){\tiny$10$}
\ncline{1}{3}\rput(2.45,2.75){\tiny$3$}
\ncline{1}{5}\rput(2.9,3.15){\tiny$7$}
\ncline{2}{3}\rput(2.45,1.25){\tiny$9$}
\ncline{2}{6}\rput(2.9,.85){\tiny$6$}
\ncline{3}{4}\rput(3.2,2.15){\tiny$4$}
\ncline{4}{5}\rput(3.9,2.5){\tiny$5$}
\ncline{4}{6}\rput(3.9,1.5){\tiny$8$} \rput(.3,2){\tiny(a)}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(1,1.6){\tiny$x_0$}\rput(1,2){\tiny$0$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(2.1,3){\tiny$\infty$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(2.1,1){\tiny$\infty$}
\cnode(2.7,2){.2}{3}\rput(2.7,2){\tiny$\infty$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(3.7,2){\tiny$\infty$}
\cnode(3.7,3){.2}{5}\rput(3.7,3){\tiny$\infty$}
\cnode(3.7,1){.2}{6}\rput(3.7,1){\tiny$\infty$}
\ncline{0}{1}\rput(1.5,2.65){\tiny$1$}
\ncline{0}{2}\rput(1.5,1.35){\tiny$2$}
\ncline{0}{5}\rput(1.75,2.45){\tiny$15$}
\ncline{0}{6}\rput(3.15,1.35){\tiny$16$}
\ncline{1}{2}\rput(2.25,2){\tiny$10$}
\ncline{1}{3}\rput(2.45,2.75){\tiny$3$}
\ncline{1}{5}\rput(2.9,3.15){\tiny$7$}
\ncline{2}{3}\rput(2.45,1.25){\tiny$9$}
\ncline{2}{6}\rput(2.9,.85){\tiny$6$}
\ncline{3}{4}\rput(3.2,2.15){\tiny$4$}
\ncline{4}{5}\rput(3.9,2.5){\tiny$5$}
\ncline{4}{6}\rput(3.9,1.5){\tiny$8$} \rput(.3,2){\tiny(b)}
\end{pspicture}
\vskip2pt
\begin{pspicture}(-.85,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(1,1.6){\tiny$x_0$}\rput(1,2){\tiny$0$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\tiny$x_1$}\rput(2.1,3){\tiny$1$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(2.1,1){\tiny$2$}
\cnode(2.7,2){.2}{3}\rput(2.7,2){\tiny$\infty$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(3.7,2){\tiny$\infty$}
\cnode(3.7,3){.2}{5}\rput(3.7,3){\tiny$15$}
\cnode(3.7,1){.2}{6}\rput(3.7,1){\tiny$16$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{1}\rput(1.5,2.65){\tiny$1$}
\ncline{0}{2}\rput(1.5,1.35){\tiny$2$}
\ncline{0}{5}\rput(1.75,2.45){\tiny$15$}
\ncline{0}{6}\rput(3.15,1.35){\tiny$16$}
\ncline{1}{2}\rput(2.25,2){\tiny$10$}
\ncline{1}{3}\rput(2.45,2.75){\tiny$3$}
\ncline{1}{5}\rput(2.9,3.15){\tiny$7$}
\ncline{2}{3}\rput(2.45,1.25){\tiny$9$}
\ncline{2}{6}\rput(2.9,.85){\tiny$6$}
\ncline{3}{4}\rput(3.2,2.15){\tiny$4$}
\ncline{4}{5}\rput(3.9,2.5){\tiny$5$}
\ncline{4}{6}\rput(3.9,1.5){\tiny$8$} \rput(.3,2){\tiny(c)}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(1,1.6){\tiny$x_0$}\rput(1,2){\tiny$0$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\tiny$x_1$}\rput(2.1,3){\tiny$1$}
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\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{1}\rput(1.5,2.65){\tiny$1$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{2}\rput(1.5,1.35){\tiny$2$}
\ncline{0}{5}\rput(1.75,2.45){\tiny$15$}
\ncline{0}{6}\rput(3.15,1.35){\tiny$16$}
\ncline{1}{2}\rput(2.25,2){\tiny$10$}
\ncline{1}{3}\rput(2.45,2.75){\tiny$3$}
\ncline{1}{5}\rput(2.9,3.15){\tiny$7$}
\ncline{2}{3}\rput(2.45,1.25){\tiny$9$}
\ncline{2}{6}\rput(2.9,.85){\tiny$6$}
\ncline{3}{4}\rput(3.2,2.15){\tiny$4$}
\ncline{4}{5}\rput(3.9,2.5){\tiny$5$}
\ncline{4}{6}\rput(3.9,1.5){\tiny$8$} \rput(.3,2){\tiny(d)}
\end{pspicture}
\vskip2pt
\begin{pspicture}(-.85,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(1,1.6){\tiny$x_0$}\rput(1,2){\tiny$0$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\tiny$x_1$}\rput(2.1,3){\tiny$1$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(1.75,.8){\tiny$x_2$}\rput(2.1,1){\tiny$2$}
\cnode(2.7,2){.2}{3}\rput(3.05,1.8){\tiny$x_3$}\rput(2.7,2){\tiny$3$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(3.7,2){\tiny$\infty$}
\cnode(3.7,3){.2}{5}\rput(3.7,3){\tiny$7$}
\cnode(3.7,1){.2}{6}\rput(3.7,1){\tiny$6$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{1}\rput(1.5,2.65){\tiny$1$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{2}\rput(1.5,1.35){\tiny$2$}
\ncline{0}{5}\rput(1.75,2.45){\tiny$15$}
\ncline{0}{6}\rput(3.15,1.35){\tiny$16$}
\ncline{1}{2}\rput(2.25,2){\tiny$10$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{1}{3}\rput(2.45,2.75){\tiny$3$}
\ncline{1}{5}\rput(2.9,3.15){\tiny$7$}
\ncline{2}{3}\rput(2.45,1.25){\tiny$9$}
\ncline{2}{6}\rput(2.9,.85){\tiny$6$}
\ncline{3}{4}\rput(3.2,2.15){\tiny$4$}
\ncline{4}{5}\rput(3.9,2.5){\tiny$5$}
\ncline{4}{6}\rput(3.9,1.5){\tiny$8$} \rput(.3,2){\tiny(e)}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(1,1.6){\tiny$x_0$}\rput(1,2){\tiny$0$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\tiny$x_1$}\rput(2.1,3){\tiny$1$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(1.75,.8){\tiny$x_2$}\rput(2.1,1){\tiny$2$}
\cnode(2.7,2){.2}{3}\rput(3.05,1.8){\tiny$x_3$}\rput(2.7,2){\tiny$3$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(4.15,2){\tiny$x_4$}\rput(3.7,2){\tiny$4$}
\cnode(3.7,3){.2}{5}\rput(3.7,3){\tiny$7$}
\cnode(3.7,1){.2}{6}\rput(3.7,1){\tiny$6$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{1}\rput(1.5,2.65){\tiny$1$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{2}\rput(1.5,1.35){\tiny$2$}
\ncline{0}{5}\rput(1.75,2.45){\tiny$15$}
\ncline{0}{6}\rput(3.15,1.35){\tiny$16$}
\ncline{1}{2}\rput(2.25,2){\tiny$10$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{1}{3}\rput(2.45,2.75){\tiny$3$}
\ncline{1}{5}\rput(2.9,3.15){\tiny$7$}
\ncline{2}{3}\rput(2.45,1.25){\tiny$9$}
\ncline{2}{6}\rput(2.9,.85){\tiny$6$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{3}{4}\rput(3.2,2.15){\tiny$4$}
\ncline{4}{5}\rput(3.9,2.5){\tiny$5$}
\ncline{4}{6}\rput(3.9,1.5){\tiny$8$} \rput(.3,2){\tiny(f)}
\end{pspicture}
\vskip2pt
\begin{pspicture}(-.85,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(1,1.6){\tiny$x_0$}\rput(1,2){\tiny$0$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\tiny$x_1$}\rput(2.1,3){\tiny$1$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(1.75,.8){\tiny$x_2$}\rput(2.1,1){\tiny$2$}
\cnode(2.7,2){.2}{3}\rput(3.05,1.8){\tiny$x_3$}\rput(2.7,2){\tiny$3$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(4.15,2){\tiny$x_4$}\rput(3.7,2){\tiny$4$}
\cnode(3.7,3){.2}{5}\rput(4.15,3){\tiny$x_5$}\rput(3.7,3){\tiny$5$}
\cnode(3.7,1){.2}{6}\rput(3.7,1){\tiny$6$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{1}\rput(1.5,2.65){\tiny$1$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{2}\rput(1.5,1.35){\tiny$2$}
\ncline{0}{5}\rput(1.75,2.45){\tiny$15$}
\ncline{0}{6}\rput(3.15,1.35){\tiny$16$}
\ncline{1}{2}\rput(2.25,2){\tiny$10$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{1}{3}\rput(2.45,2.75){\tiny$3$}
\ncline{1}{5}\rput(2.9,3.15){\tiny$7$}
\ncline{2}{3}\rput(2.45,1.25){\tiny$9$}
\ncline{2}{6}\rput(2.9,.85){\tiny$6$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{3}{4}\rput(3.2,2.15){\tiny$4$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{4}{5}\rput(3.9,2.5){\tiny$5$}
\ncline{4}{6}\rput(3.9,1.5){\tiny$8$} \rput(.3,2){\tiny(g)}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(1,1.6){\tiny$x_0$}\rput(1,2){\tiny$0$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\tiny$x_1$}\rput(2.1,3){\tiny$1$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(1.75,.8){\tiny$x_2$}\rput(2.1,1){\tiny$2$}
\cnode(2.7,2){.2}{3}\rput(3.05,1.8){\tiny$x_3$}\rput(2.7,2){\tiny$3$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(4.15,2){\tiny$x_4$}\rput(3.7,2){\tiny$4$}
\cnode(3.7,3){.2}{5}\rput(4.15,3){\tiny$x_5$}\rput(3.7,3){\tiny$5$}
\cnode(3.7,1){.2}{6}\rput(4.15,1){\tiny$x_6$}\rput(3.7,1){\tiny$6$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{1}\rput(1.5,2.65){\tiny$1$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{2}\rput(1.5,1.35){\tiny$2$}
\ncline{0}{5}\rput(1.75,2.45){\tiny$15$}
\ncline{0}{6}\rput(3.15,1.35){\tiny$16$}
\ncline{1}{2}\rput(2.25,2){\tiny$10$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{1}{3}\rput(2.45,2.75){\tiny$3$}
\ncline{1}{5}\rput(2.9,3.15){\tiny$7$}
\ncline{2}{3}\rput(2.45,1.25){\tiny$9$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{2}{6}\rput(2.9,.85){\tiny$6$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{3}{4}\rput(3.2,2.15){\tiny$4$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{4}{5}\rput(3.9,2.5){\tiny$5$}
\ncline{4}{6}\rput(3.9,1.5){\tiny$8$} \rput(.3,2){\tiny(h)}
\end{pspicture}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{2.9}$ \quad \bf \eufznine{Prim}\ 算法的应用}
\end{quote}\vspace*{-8mm}
\end{figure}

\newpage
\setcounter{page}{99}
\noindent
{\ziju{-0.05}第\,2\,步的\,6\,次迭代,\!
每次迭代后得到新顶点\,$x_k$\! 和新边\,$e_k\,$\! (图中粗边所示).
最后得到的最小树\,$T_{\upsilon-1}$
如图2.9\,(h)\,所示\,(粗边). ${\boldsymbol
w}(T_{\upsilon-1})=21$ (即各顶点标号\,${\boldsymbol l}(x)$
之和).\hfill\rule{1mm}{2mm}}

下述定理确保了由\,Prim\,算法求出的\,$T_{\upsilon-1}$ 是\,$G$
的最小树.

{\bf 定理\,{$\boldsymbol {2.4}$}}\quad {\bf 按\,${\boldsymbol {\mathbf{Prim}}}$\,算法求出的\,$T_{\upsilon-1}$
是加权连通图\,$(G,{\boldsymbol w})$ 的最小树.}

{\bf 证明}\quad  只需证明\,$T_k$ 是\,$G$ 中某最小树的子图.
对\,$k\geqslant 0$ 用归纳法. 当\,$k=0$ 时, 结论显然成立.
假设结论对\,$k-1$ 成立. 考虑\,$T_k=T_{k-1}+e_k$.

先证\,$T_k$ 是树. 由归纳假设\,$T_{k-1}$ 是树.
因\,$V(T_{k-1})=V_{k-1}$ 和\, $e_k\in [V_{k-1}$, $\overline
V_{k-1}]\,$\ (定理\,1.4.2\,保证了\,$e_k$ 的存在性), 所以\,$T_k$
是连通的. 又因\,$e_k=ux_k,\ u\in V_{k-1},\ x_k\in \overline
V_{k-1}$, 故\,$x_k$ 是\,$T_k$ 中\,1\,度点, 即 \,$T_k=T_{k-1}+e_k$
无圈, 因而\,$T_k$ 是树.

下面证明\,$T_k$ 是\,$G$ 中某最小树的子图. 由归纳假设\,$T_{k-1}$
是\,$G$ 中最小树\,$T^*$ 的子图. $T_k=T_{k-1}+e_k$. 若\,$e_k\in T^*$,
则\,$T_k$ 是\,$T^*$的子图. 若\,$e_k\notin T^*$,
则由定理\,2.1.5\,知\,$T^*+e_k$ 含唯一圈\,$C$. 由于\,$e_k\in
[V_{k-1}, \overline V_{k-1}]$, 所以存在\,$e'_k\in C$ 并且\,$e'_k\in
[V_{k-1},\overline V_{k-1}],\ e'_k\ne e_k$. 令\vspace*{-2mm}
 $$
 T'=(T^*+e_k)-e'_k,
 $$
则\,$T_k\subseteq T'$. 于是, 只需证明\,$T'$ 也是\,$G$ 的最小树.
由于\,$T'$ 是连通的, 并且\, $\varepsilon(T')=\upsilon-1$,
所以由定理\,2.1.3\,知\,$T'$ 是\,$G$ 的另一株支撑树, 并且
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e2.4.1}                                      %e2.4.1
{\boldsymbol w}(T')={\boldsymbol w}(T^*)+{\boldsymbol
w}(e_k)-{\boldsymbol w}(e'_k).
\end{split}\tag{2.4.1}\end{equation*}
在\,Prim\,算法中选取的边\,$e_k\in [V_{k-1},\overline V_{k-1}]$
且具有最小的权, 所以
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e2.4.2}                                     %e2.4.2
{\boldsymbol w}(e_k)\leqslant {\boldsymbol w}(e'_k).
\end{split}\tag{2.4.2}\end{equation*}
结合式\,(2.4.1)\,和式\,(2.4.2), 有\,${\boldsymbol
w}(T')\leqslant {\boldsymbol w}(T^*)$, 即\,$T'$ 也是\,$G$ 的最小树.
由归纳原理, 定理得证. \hfill\rule{1mm}{2mm}


现在估计\,Prim\,算法求最小树最多需要计算的次数.

第\,1\,步需要执行\,$\upsilon+3$ 次.

第\,3\,步需要执行\,$\upsilon-1$ 次.

第\,2\,步需要执行\,$\upsilon-1$ 次. 第\,$k$ 次执行第\,2\,步中
“用\,${\boldsymbol w}(x_{k-1}x)$ 替代\,${\boldsymbol l}(x)$”时,
检查\,$N_G(x_{k-1})\cap \overline V_{k-1}$ 中顶点标号\,${\boldsymbol
l}(x)$, 最多需要\,$|\overline V_{k-1}|=\upsilon-k$ 次替代;
而执行“选取\,$x_k\in \overline V_{k-1}$ 使 \,${\boldsymbol
l}(x_k)=\min\{{\boldsymbol l}(x):\ x\in \overline
V_{k-1}\}$”时最多需要做 $\upsilon-k$ 次比较; 在执行“$e_k=ux_k,u\in
V_{k-1}$ 使\,${\boldsymbol w}(e_k)={\boldsymbol l}(x_k)$” 时, $u\in
N_G(x_k)\cap V_{k-1}$, 故最多需要\,$k-1$ 次比较,
再加上两次赋值于\,$V_k$ 和\,$T_k$. 因此第\,2\,步最多需要计算次数为
$$
\sum \limits_{k=1}^{\upsilon-1}[(\upsilon-k)+(\upsilon-k)+(k-1)+2]
=\frac 32\, \upsilon^2+\frac 32\,\upsilon-1.
$$
于是, 该算法共计算次数最多为
$$
(\upsilon+3)+\left(\frac 32\, \upsilon^2+\frac
32\,\upsilon-1\right)+(\upsilon-1) =\frac 32\, \upsilon^2+\frac
72\,\upsilon+1.
$$

%稍加修改\,Prim\,算法的第\,2\,步,
%就可以用来求无对称边有向加权图中根在\,$x_0$ 的最
%小支撑外向树\,(如果该图存在根在\,$x_0$ 的支撑外向树的话).
%留给读者自习之(习题\,2.4.5).

怎样来判断算法的优劣? Edmonds\,(1965)\,提出一个判定标准.
一个图论算法称为{\bf 多项式算法}\,(polynomial algorithm),
如果在任何图上执行这个算法所需要的计算次数都可由\,$\upsilon$
和\,$\varepsilon$ 的多项式 \,(例如\,$3\upsilon^2\varepsilon$)\,
为其上界. 这个上界, 习惯上称为{\bf 计算复杂度}, 简称为{\bf
复杂度}\,(complexity). 例如, Prim 算法的复杂度为\,$\frac
32\,\upsilon^2+ \frac 72\,\upsilon+1$, 记为\,$O(\upsilon^2)$.
一个算法的复杂度若为指数\,(例如 \,$2^\upsilon$)\,或\,$\upsilon!$,
则当\,$\upsilon$ 较大时, 该算法是无效的. 多项式算法亦称为{\bf
有效的算法}\,(efficient algorithm)\,或{\bf 好的算法}\,(good algorithm).
Prim\, 算法是个有效算法.

一个问题\,T, 如果存在一个多项式算法来求解,
则称\,T\,为\,{P\,问题}\,(polynomial problem).
Prim\,算法是个多项式算法, 即最小连接问题是\,P\,问题. 有一类问题,
目前还没有找到一个有效算法来求解, 但对这类问题中某些具体实例,
都能找到多项式算法来求解. 人们称这类问题为{\bf
不确定多项式问题}\,(non-deterministic polynomial problem), 简称{\bf
\,NP\,问题}. Cook\, (1970)\,发现\,NP\,问题 中有一类问题,
若能判断其一是\,P\,问题, 则这类问题都是\,P\,问题. 这类问题称
为\,NP\,{\bf 完全问题}\,(non-deterministic polynomial complete
problem), 简称\,NPC\,问题.

 \index{tulunsuanfa@{图论算法}!duoxiangshisuanfa@{多项式算法}}
 \index{tulunsuanfa@{图论算法}!youxiaosuanfa@{有效算法}}
 \index{tulunsuanfa@{图论算法}!haosuanfa@{好算法}}
 \index{tulunsuanfa@{图论算法}!suanfafuzadu@{算法复杂度}}
 \index{wenti@{问题}!pwenti@{P问题}}
 \index{wenti@{问题}!npwenti@{NP问题}}
 \index{wenti@{问题}!buquedingduoxiangshiwenti@{不确定多项式问题}}
 \index{wenti@{问题}!npwanquanwenti@{NP完全问题}}
 \index{wenti@{问题}!npcwenti@{NPC问题}}

\vskip20pt
%\newpage
{\bf \large 习\quad 题}

\noindent
\begin{description}
{\zihao{-5}
\item[$2.4.1$]利用\,Prim\,算法求下列加权图中的最小树.

\item[$2.4.2$]证明: 若加权连通简单图\,$G$ 中每条边的权不同, 则由\,Prim\,算法求
得的最小树是唯\linebreak 一的.

\item[$2.4.3$]求加权连通简单图\,$(G,{\boldsymbol
w})$ 中最小树的\, ${\boldsymbol {\mathbf{Kruskal}}\  \mbox{\bf 算法}}$ 如下:}

\begin{description}
{\zihao{-5}
\item[$1.$]选取\, $e_1\in E(G)$ 使\,${\boldsymbol w}(e_1)$ 尽可能小;
\item[$2.$]若\,$e_1,e_2,\cdots,e_i$ 选定, 则取\,$e_{i+1}\in
E(G)\setminus \{e_1,\cdots,e_i\}$
使\,$G[\{e_1,\cdots,e_i,e_{i+1}\}]$\ 不含圈而且\,${\boldsymbol
w}(e_{i+1})$ 尽可 能地小;}
\end{description}
\end{description}


\newpage
\setcounter{page}{102}
\noindent 首都或者省会城市).
在该系统中试求从\,$x_0$\,到其他各城市的最短路线, 这个问题 称为{\bf
最短路问题}\,(shortest path problem).
 \index{wenti@{问题}!zuiduanluwenti@{最短路问题}}

用一个具有正值权\,${\boldsymbol w}$
的加权简单无向图\,$(G,{\boldsymbol w})$\,来表示 这个铁路系统,
其中\,${\boldsymbol w}\in \mathscr{E}(G)$, 边\,$e=xy$ 上的值
\,${\boldsymbol w}(e)$ 表示城市\,$x$ 和城市\,$y$ 之间的铁路里程.
于是, 最短路问题就转化为在 \,$(G,{\boldsymbol w})$ 中找出根在\,$x_0$
且权和 最小的支撑树.

更一般的最短路问题的提法是: 设\,$(D,{\boldsymbol w})$
是有正值加权简单有 向图,\,$x_0$\,是\,$D$\linebreak 中的一个固定顶点.
寻找根在\,$x_0$ 且权和 最小的支撑外向树.

显然, 最短路问题有解的一个必要条件是\,$D$ 中存在根在\,$x_0$ 的
支撑外向树. 反之, 若\,$D$  中存在根在\,$x_0$ 的支撑外向树,
则最短路问题一定有解. 以下假定\,$D$ 中存在根在\,$x_0$ 的支撑外向树.

乍看起来, 最短路问题与最小连接问题很相似, 其实不然.
即使是对于无向图中 最短路问题, Prim\,算法也无能为力. 例如,
图2.9\,(h)\,中粗边所示的是用\,Prim\,算 法求出的支撑树\,$T$.
由习题\,2.4.2\,知, $T$ 是唯一的最小树. 沿着\,$T$ 的边, 从\,$x_0$
到\,$x_5$ 的路\,$P$ 的长度为\,13. 但从\,$x_0$ 出发, 经过\,$x_1$,
沿边\,$x_1x_5$ 到达\,$x_5$ 的路\,$Q$ 的长度为\,8. 因 此,
$P$不是\,$G$ 中最短\,$x_0x_5$ 路. 于是, 为求解最短路问题,
必须寻找另外的方 法.

下面叙述的算法是\,Moore(1957), Dijkstra(1959),
Dantzig(1960)\,以及\,Whiting\linebreak
\& Hillier\, (1960)\,各自发现的.
该算法基于定理\,1.4.2, 修改了\,Prim\, 算法第\,2\,步. 在整个算法中,
试图求出一个函数\,${\boldsymbol l}\in \mathscr{V}(D)$ 和含\,$x_0$
的顶点子集序列\,$S_k$, 以及以\,$S_k$ 为顶点集的根在\,$x_0$
的外向树序列 $T_k, k=0,1,\cdots,v-1$. 算法开始时, 令\vspace*{-1mm}
$$
{\boldsymbol l}(x)=\left\{
\begin{array}%[t\b]
{ll}%[m]
0,\ & \mbox{若}\ x=x_0;\\
\infty, \ & \mbox{若}\ x\ne x_0,
\end{array}\right.
\qquad S_0=\{x_0\}=T_0.
$$
在算法执行过程中, 通过不断修改\,${\boldsymbol l}(x)$
的值而递归地构造出\,$S_k$ 和起点在 $x_0$ 的有向路\,$P_k$.

\vskip10pt \noindent${\boldsymbol {\mathbf{Moore}}}$-${\boldsymbol {\mathbf{Dijkstra}}}${\bf 算法}
\begin{description}
\item[${\boldsymbol 1.}$]\,${\boldsymbol l}(x_0)=0,\ {\boldsymbol l}(x)=\infty (x\ne x_0),\
S_0={x_0},\ T_0=x_0$ 且\,$k=0$.
\item[${\boldsymbol 2.}$]对每个\,$x\in
N^+_D(x_k)\cap \overline S_k$, 用 \,$\min\{{\boldsymbol
l}(x),{{\boldsymbol l}(x_k)+{\boldsymbol w}(x_k,x)}\}$
替代\,${\boldsymbol l}(x)$. 取\,$x_{k+1}\in N^+_D(S_k)\cap \overline
S_k$ 和\,$x_j\,(j\leqslant k)\in S_k$ 使\,$(x_j,x_{k+1})\in E(D)$
并且\vspace*{-1mm}
$$
{\boldsymbol l}(x_{k+1})=\min \limits_{x \in\overline
S_{k}}\{{\boldsymbol l}(x),\,{\boldsymbol l}(x_j)+{\boldsymbol
w}(x_j,x_{k})\}.
$$
令\,$S_{k+1}=S_k\cup \{x_{k+1}\},\ T_{k+1}=T_j+(x_j,x_{k+1})$ .
\item[${\boldsymbol 3.}$]若\,$k=\upsilon-1$, 则停止;
若\,$k<\upsilon-1$, 则用\,$k+1$ 替代\,$k$ 并转入第\,2\,步.
\end{description}


\vspace*{-4mm}
% Figure 2.10
\begin{figure}[htbp]  % h: here; t: top; b: bottom
\psset{unit=1.,arrows=->,arrowsize=.14}     % scale
\begin{pspicture}(-.85,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(.9,1.6){\scriptsize$x_0$}%\rput(1,2){\scriptsize$0$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\scriptsize$y_1$}%\rput(2.1,3){\scriptsize$1$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(1.75,.8){\scriptsize$y_2$}%\rput(2.1,1){\scriptsize$2$}
\cnode(3.7,3){.2}{3}\rput(4.15,3){\scriptsize$y_3$}%\rput(3.7,3){\scriptsize$3$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(4.15,2){\scriptsize$y_4$}%\rput(3.7,2){\scriptsize$4$}
\cnode(3.7,1){.2}{5}\rput(4.15,1){\scriptsize$y_5$}%\rput(3.7,1){\scriptsize$5$}
\ncline{0}{1}\rput(1.5,2.65){\scriptsize$7$}
\ncline{0}{2}\rput(1.45,1.35){\scriptsize$1$}
\ncline{1}{3}\rput(2.9,3.15){\scriptsize$4$}
\ncline{1}{5}\rput(2.7,2){\scriptsize$1$}
\ncline{2}{1}\rput(1.95,2){\scriptsize$5$}
\ncline{2}{4}\rput(2.8,1.25){\scriptsize$2$}
\ncline{2}{5}\rput(2.9,.8){\scriptsize$7$}
\ncline{4}{1}\rput(3,2.65){\scriptsize$2$}
\ncline{4}{3}\rput(3.9,2.5){\scriptsize$5$}
\ncline{5}{4}\rput(3.9,1.5){\scriptsize$3$}
\rput(.3,2){\scriptsize(a)}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-.85,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(.9,1.6){\scriptsize$x_0$}\rput(1,2){\tiny$0$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\scriptsize$y_1$}\rput(2.1,3){\tiny$\infty$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(1.75,.8){\scriptsize$y_2$}\rput(2.1,1){\tiny$\infty$}
\cnode(3.7,3){.2}{3}\rput(4.15,3){\scriptsize$y_3$}\rput(3.7,3){\tiny$\infty$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(4.15,2){\scriptsize$y_4$}\rput(3.7,2){\tiny$\infty$}
\cnode(3.7,1){.2}{5}\rput(4.15,1){\scriptsize$y_5$}\rput(3.7,1){\tiny$\infty$}
\ncline{0}{1}\rput(1.5,2.65){\scriptsize$7$}
\ncline{0}{2}\rput(1.45,1.35){\scriptsize$1$}
\ncline{1}{3}\rput(2.9,3.15){\scriptsize$4$}
\ncline{1}{5}\rput(2.7,2){\scriptsize$1$}
\ncline{2}{1}\rput(1.95,2){\scriptsize$5$}
\ncline{2}{4}\rput(2.8,1.25){\scriptsize$2$}
\ncline{2}{5}\rput(2.9,.8){\scriptsize$7$}
\ncline{4}{1}\rput(3,2.65){\scriptsize$2$}
\ncline{4}{3}\rput(3.9,2.5){\scriptsize$5$}
\ncline{5}{4}\rput(3.9,1.5){\scriptsize$3$}
\rput(.3,2){\scriptsize(b)}
\end{pspicture}
\vskip2pt
\begin{pspicture}(-.85,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(.9,1.6){\scriptsize$x_0$}\rput(1,2){\tiny$0$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\scriptsize$y_1$}\rput(2.1,3){\tiny$7$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(1.75,.8){\scriptsize$x_1$}\rput(2.1,1){\tiny$1$}
\cnode(3.7,3){.2}{3}\rput(4.15,3){\scriptsize$y_3$}\rput(3.7,3){\tiny$\infty$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(4.15,2){\scriptsize$y_4$}\rput(3.7,2){\tiny$\infty$}
\cnode(3.7,1){.2}{5}\rput(4.15,1){\scriptsize$y_5$}\rput(3.7,1){\tiny$\infty$}
\ncline{0}{1}\rput(1.5,2.65){\scriptsize$7$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{2}\rput(1.45,1.35){\scriptsize$1$}
\ncline{1}{3}\rput(2.9,3.15){\scriptsize$4$}
\ncline{1}{5}\rput(2.7,2){\scriptsize$1$}
\ncline{2}{1}\rput(1.95,2){\scriptsize$5$}
\ncline{2}{4}\rput(2.8,1.25){\scriptsize$2$}
\ncline{2}{5}\rput(2.9,.8){\scriptsize$7$}
\ncline{4}{1}\rput(3,2.65){\scriptsize$2$}
\ncline{4}{3}\rput(3.9,2.5){\scriptsize$5$}
\ncline{5}{4}\rput(3.9,1.5){\scriptsize$3$}
\rput(.3,2){\scriptsize(c)}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-.85,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(.9,1.6){\scriptsize$x_0$}\rput(1,2){\tiny$0$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\scriptsize$y_1$}\rput(2.1,3){\tiny$6$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(1.75,.8){\scriptsize$x_1$}\rput(2.1,1){\tiny$1$}
\cnode(3.7,3){.2}{3}\rput(4.15,3){\scriptsize$y_3$}\rput(3.7,3){\tiny$\infty$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(4.15,2){\scriptsize$x_2$}\rput(3.7,2){\tiny$3$}
\cnode(3.7,1){.2}{5}\rput(4.15,1){\scriptsize$y_5$}\rput(3.7,1){\tiny$8$}
\ncline{0}{1}\rput(1.5,2.65){\scriptsize$7$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{2}\rput(1.45,1.35){\scriptsize$1$}
\ncline{1}{3}\rput(2.9,3.15){\scriptsize$4$}
\ncline{1}{5}\rput(2.7,2){\scriptsize$1$}
\ncline{2}{1}\rput(1.95,2){\scriptsize$5$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{2}{4}\rput(2.8,1.25){\scriptsize$2$}
\ncline{2}{5}\rput(2.9,.8){\scriptsize$7$}
\ncline{4}{1}\rput(3,2.65){\scriptsize$2$}
\ncline{4}{3}\rput(3.9,2.5){\scriptsize$5$}
\ncline{5}{4}\rput(3.9,1.5){\scriptsize$3$}
\rput(.3,2){\scriptsize(d)}
\end{pspicture}
\vskip2pt
\begin{pspicture}(-.85,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(.9,1.6){\scriptsize$x_0$}\rput(1,2){\tiny$0$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\scriptsize$x_3$}\rput(2.1,3){\tiny$5$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(1.75,.8){\scriptsize$x_1$}\rput(2.1,1){\tiny$1$}
\cnode(3.7,3){.2}{3}\rput(4.15,3){\scriptsize$y_3$}\rput(3.7,3){\tiny$8$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(4.15,2){\scriptsize$x_2$}\rput(3.7,2){\tiny$3$}
\cnode(3.7,1){.2}{5}\rput(4.15,1){\scriptsize$y_5$}\rput(3.7,1){\tiny$8$}
\ncline{0}{1}\rput(1.5,2.65){\scriptsize$7$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{2}\rput(1.45,1.35){\scriptsize$1$}
\ncline{1}{3}\rput(2.9,3.15){\scriptsize$4$}
\ncline{1}{5}\rput(2.7,2){\scriptsize$1$}
\ncline{2}{1}\rput(1.95,2){\scriptsize$5$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{2}{4}\rput(2.8,1.25){\scriptsize$2$}
\ncline{2}{5}\rput(2.9,.8){\scriptsize$7$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{4}{1}\rput(3,2.65){\scriptsize$2$}
\ncline{4}{3}\rput(3.9,2.5){\scriptsize$5$}
\ncline{5}{4}\rput(3.9,1.5){\scriptsize$3$}
\rput(.3,2){\scriptsize(e)}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-.85,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(.9,1.6){\scriptsize$x_0$}\rput(1,2){\tiny$0$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\scriptsize$x_3$}\rput(2.1,3){\tiny$5$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(1.75,.8){\scriptsize$x_1$}\rput(2.1,1){\tiny$1$}
\cnode(3.7,3){.2}{3}\rput(4.15,3){\scriptsize$y_3$}\rput(3.7,3){\tiny$8$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(4.15,2){\scriptsize$x_2$}\rput(3.7,2){\tiny$3$}
\cnode(3.7,1){.2}{5}\rput(4.15,1){\scriptsize$x_4$}\rput(3.7,1){\tiny$6$}
\ncline{0}{1}\rput(1.5,2.65){\scriptsize$7$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{2}\rput(1.45,1.35){\scriptsize$1$}
\ncline{1}{3}\rput(2.9,3.15){\scriptsize$4$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{1}{5}\rput(2.7,2){\scriptsize$1$}
\ncline{2}{1}\rput(1.95,2){\scriptsize$5$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{2}{4}\rput(2.8,1.25){\scriptsize$2$}
\ncline{2}{5}\rput(2.9,.8){\scriptsize$7$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{4}{1}\rput(3,2.65){\scriptsize$2$}
\ncline{4}{3}\rput(3.9,2.5){\scriptsize$5$}
\ncline{5}{4}\rput(3.9,1.5){\scriptsize$3$}
\rput(.3,2){\scriptsize(f)}
\end{pspicture}
\vskip2pt
\begin{pspicture}(-.85,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(.9,1.6){\scriptsize$x_0$}\rput(1,2){\tiny$0$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\scriptsize$x_3$}\rput(2.1,3){\tiny$5$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(1.75,.8){\scriptsize$x_1$}\rput(2.1,1){\tiny$1$}
\cnode(3.7,3){.2}{3}\rput(4.15,3){\scriptsize$x_5$}\rput(3.7,3){\tiny$8$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(4.15,2){\scriptsize$x_2$}\rput(3.7,2){\tiny$3$}
\cnode(3.7,1){.2}{5}\rput(4.15,1){\scriptsize$x_4$}\rput(3.7,1){\tiny$6$}
\ncline{0}{1}\rput(1.5,2.65){\scriptsize$7$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{2}\rput(1.45,1.35){\scriptsize$1$}
\ncline{1}{3}\rput(2.9,3.15){\scriptsize$4$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{1}{5}\rput(2.7,2){\scriptsize$1$}
\ncline{2}{1}\rput(1.95,2){\scriptsize$5$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{2}{4}\rput(2.8,1.25){\scriptsize$2$}
\ncline{2}{5}\rput(2.9,.8){\scriptsize$7$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{4}{1}\rput(3,2.65){\scriptsize$2$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{4}{3}\rput(3.9,2.5){\scriptsize$5$}
\ncline{5}{4}\rput(3.9,1.5){\scriptsize$3$}
\rput(.3,2){\scriptsize(g)}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-.85,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(.9,1.6){\scriptsize$x_0$}\rput(1,2){\tiny$0$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\scriptsize$x_3$}\rput(2.1,3){\tiny$5$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(1.75,.8){\scriptsize$x_1$}\rput(2.1,1){\tiny$1$}
\cnode(3.7,3){.2}{3}\rput(4.15,3){\scriptsize$x_5$}\rput(3.7,3){\tiny$8$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(4.15,2){\scriptsize$x_2$}\rput(3.7,2){\tiny$3$}
\cnode(3.7,1){.2}{5}\rput(4.15,1){\scriptsize$x_4$}\rput(3.7,1){\tiny$6$}
%\ncline{0}{1}\rput(1.5,2.65){\scriptsize$7$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{0}{2}\rput(1.45,1.35){\scriptsize$1$}
%\ncline{1}{3}\rput(2.9,3.15){\scriptsize$4$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{1}{5}\rput(2.7,2){\scriptsize$1$}
%\ncline{2}{1}\rput(1.95,2){\scriptsize$5$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{2}{4}\rput(2.8,1.25){\scriptsize$2$}
%\ncline{2}{5}\rput(2.9,.8){\scriptsize$7$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{4}{1}\rput(3,2.65){\scriptsize$2$}
\ncline[linewidth=1.5pt]{4}{3}\rput(3.9,2.5){\scriptsize$5$}
%\ncline{5}{4}\rput(3.9,1.5){\scriptsize$3$}
\rput(.3,2){\scriptsize(h)}
\end{pspicture}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{2.10}$ \quad \bf 最短路算法的应用}
\end{quote}\vspace*{-4mm}


\end{figure}

%$$\quad $$
%\begin{figure}[h]{\vskip12cm}\caption{
%\label{f2.11}                                            %f2.11
%\footnotesize  最短路算法的应用}
%\end{figure}

%\newpage

下面举例说明这个算法的应用.

{\bf 例\,{$\boldsymbol {2.5.1}$}}\quad 考虑2.10\,(a)\,所示的加权图\,$(D,{\boldsymbol
w})$. \textbf{Moore-Dijkstra\,算法}执行如下:

\begin{description}
\item[${\boldsymbol 1.}$]\,${\boldsymbol l}(x_0)=0,\,{\boldsymbol l}(y_1)={\boldsymbol l}(y_2)=
{\boldsymbol l}(y_3)={\boldsymbol l}(y_4)={\boldsymbol
l}(y_5)=\infty.\,S_0={x_0},T_0=x_0,k=0$  (见图2.10\,(b)).
\item[${\boldsymbol 2.}$]执行这一步需要\,5\,次迭代. 具体如下:


\begin{description}
\item[$1)$ ]$N^+_D(x_0)\cap \overline S_0=N^+_D(S_0)\cap \overline S_0=
\{y_1,y_2\}$ .

\noindent\,${\boldsymbol l}(y_1)=\min \{\infty, {\boldsymbol
l}(x_0)+{\boldsymbol w}(x_0,y_1)\} =\min \{\infty, 0+7\}=7$;

\noindent\,${\boldsymbol l}(y_2)=\min \{\infty, {\boldsymbol
l}(x_0)+{\boldsymbol w}(x_0,y_2)\} =\min \{\infty, 0+1\}=1$.

\noindent 令$x_1=y_2, S_1=S_0\cup \{x_1\}=\{x_0,x_1\},\,
T_1=T_0+(x_0,x_1)$, $k=1$ \,(参见图2.10\,(c)).


\item[$2)$ ]$N^+_D(x_1)\cap \overline S_1=N^+_D(S_1)\cap \overline S_1=
\{y_1,y_4,y_5\}$ .

\noindent\,${\boldsymbol l}(y_1)=\min \{{\boldsymbol l}(y_1),
{\boldsymbol l}(x_1)+{\boldsymbol w}(x_1,y_1)\} =\min \{7, 1+5\}=6$;

\noindent\,${\boldsymbol l}(y_4)=\min \{{\boldsymbol l}(y_4),
{\boldsymbol l}(x_1)+{\boldsymbol w}(x_1,y_4)\} =\min \{\infty,
1+2\}=3$;

\noindent\,${\boldsymbol l}(y_5)=\min \{{\boldsymbol l}(y_5),
{\boldsymbol l}(x_1)+{\boldsymbol w}(x_1,y_5)\} =\min \{\infty,
1+7\}=8$.

\noindent 令$x_2=y_2,\, S_2=S_1\cup \{x_2\}=\{x_0,x_1,x_2\},\,
T_2=T_1+(x_1,x_2)$, $k=2$  (参见图2.10\,(d)).


\item[$3)$ ]$N^+_D(x_2)\cap \overline S_2=\{y_1,y_3\}$ 和 $N^+_D(S_2)\cap
\overline S_2=\{y_1,y_3,y_5\}$.

\noindent\,${\boldsymbol l}(y_1)=\min \{{\boldsymbol l}(y_1),
{\boldsymbol l}(x_2)+{\boldsymbol w}(x_2,y_1)\} =\min \{6, 3+2\}=5$;

\noindent\,${\boldsymbol l}(y_3)=\min \{{\boldsymbol l}(y_3),
{\boldsymbol l}(x_2)+{\boldsymbol w}(x_2,y_3)\} =\min \{\infty,
3+5\}=8$;

\noindent\,${\boldsymbol l}(y_5)=8$.

\noindent 令$x_3=y_1,\, S_3=S_2\cup \{x_3\}=\{x_0,x_1,x_2,x_3\},\,
T_3=T_2+(x_2,x_3)$, $k=3$  (参见图2.10\,(e)).

\item[$4)$ ]$N^+_D(x_3)\cap \overline S_3=\{y_5\}$  和 $N^+_D(S_3)\cap
\overline S_3=\{y_3,y_5\}$ .

\noindent\,${\boldsymbol l}(y_3)=\min \{{\boldsymbol l}(y_5),
{\boldsymbol l}(x_3)+{\boldsymbol w}(x_3,y_5)\} =\min \{8, 5+1\}=6$;

\noindent\,${\boldsymbol l}(y_5)=8$.

\noindent 令$x_4=y_5,\, S_4=S_3\cup
\{x_4\}=\{x_0,x_1,x_2,x_3,x_4\},\, T_4=T_3+(x_3,x_4)$, $k=4$
(参见图2.10\,(f)).

\item[$5)$ ]$N^+_D(x_4)\cap \overline S_4=\emptyset$ 和 $N^+_D(S_4)\cap
\overline S_4=\{y_3\}$. ${\boldsymbol l}(y_3)=8$.

\noindent 令$x_5=y_3,\, S_5=S_4\cup
\{x_5\}=\{x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\},\, T_5=T_2+(x_2,x_5)$, $k=5$
(参见图2.10\,(g)).

\end{description}

\item[${\boldsymbol{3.}}$]\,$k=5=6-1$, 停止.
最后, 得到一棵根在\,$x_0$ 的外向树,
如图2.10\,(h)\,所示.\hfill\rule{1mm}{2mm}

\end{description}

Moore-Dijkstra\,算法的执行过程如图2.10\,所示.
每一步已确定的最短\,$(x_0,x_i)$  路用粗边表示.
从图2.10\,可以看出,
Moore-Dijkstra\,算法执行过程实际上是\,$D$ 中根在 \,$x_0$
的支撑外向树的生长过程. 我们将证明图中顶点\,$x_i$
的标号\,${\boldsymbol l}(x_i)$ 就是\,$D$ 中从 \,$x_0$ 到\,$x_i$
的加权距离\,$d_D(x_0,x_i)$.



{\ziju{-0.1}Moore-Dijkstra\,算法结束时构作的子图\,$T$\,有\,$v$ 个顶点,\,$v-1$
条边, 无圈且连通, 因而\,$T$\,是\,$D$\,的支撑树.
又由于\,$d^-_T(x_0)=0,\ d^-_T(x_i)=1\,(i\ne 0)$,  所以
(习题\,2.1.11), $T$ 为外向树. 下述定理确保了对每个\,$x_i\in V(D)$,
$T$\,中\,$(x_0,x_i)$\,路是\,$D$\,中最短\,$(x_0,x_i)$\,路.}

{\bf 定理\,{$\boldsymbol {2.5}$}}\quad {\bf 设\,$T$ 是\,$(D,{\boldsymbol w})$
中由\,${\boldsymbol {\mathbf{Moore}}}$-${\boldsymbol {\mathbf{Dijkstra}}}$\,算法求出的根 在\,$x_0$ 的支撑外向树,
则对每个\,$x\in V(D),\ T$ 中\,$(x_0,x)$ 路是\,$D$ 中最短 \,$(x_0,x)$
路.}

{\bf 证明}\quad 只需证明对每个\,$x\in V(D)$,
均有\,$d_D(x_0,x)={\boldsymbol l}(x)$.

一方面, 由\,$T$ 的构造知, $T$ 中存在长为\,${\boldsymbol l}(x)$
的\,$(x_0,x)$ 路\,$P$. 因此, $d_D(x_0,x)\leqslant {\boldsymbol
l}(x)$, 而且存在\,$k,\ x_j\in V(T)$ 和\,$T$ 中\,$(x_0,x_j)$
路\,$P_j$ 使\,$x\in \overline S_k,\ x_j\in S_k$ 且\,$P=P_j+(x_j,x)$.
另一方面, 设\,$Q$ 是\,$D$ 中最短\,$(x_0,x)$ 路, 并设\,$Q$
与\,$\overline S_k$ 第一个公 共顶点为\,$y$. 于是, $y$ 将\,$Q$
分成长度分别为 \,$\ell_1$ 和\,$\ell_2$ 的两段\,$Q(x_0,y)$
和\,$Q(y,x)$. 由于\,$y\in \overline S_k$, 所以\,$\ell_1\geqslant
{\boldsymbol l}(y)\geqslant {\boldsymbol l}(x), \ell_2 \geqslant 0$.
故\,$Q$ 的长度为\,$d_D(x_0,x)=\ell_1+\ell_2 \geqslant {\boldsymbol
l}(x)$. 这就证明了\,$d_D(x_0,x)={\boldsymbol
l}(x)$.\hfill\rule{1mm}{2mm}


Moore-Dijkstra\, 算法是个好算法, 其复杂度为\,$O(\upsilon^2)$,
留给读者作为习题\,(见习题\,2.5.1).

% Figure 2.11
\begin{figure}[h]  % h: here; t: top; b: bottom
\psset{unit=1.,arrows=->,arrowsize=.14}     % scale
\begin{pspicture}(-.75,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(.9,1.6){\scriptsize$x_0$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\scriptsize$x_3$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(1.75,.8){\scriptsize$x_1$}
\cnode(3.7,3){.2}{3}\rput(4.15,3){\scriptsize$x_5$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(4.15,2){\scriptsize$x_2$}
\cnode(3.7,1){.2}{5}\rput(4.15,1){\scriptsize$x_4$}
\nccurve[angleA=70,angleB=200]{0}{1}\rput(1.3,2.8){\scriptsize$7$}
\nccurve[angleA=-110,angleB=20]{1}{0}\rput(1.8,2.2){\scriptsize$8$}
\ncline{0}{2}\rput(1.45,1.35){\scriptsize$1$}
\nccurve[angleA=20,angleB=160]{1}{3}\rput(2.9,3.35){\scriptsize$4$}
\nccurve[angleA=190,angleB=-10]{3}{1}\rput(3,2.75){\scriptsize$9$}
\ncline{1}{5}\rput(2.7,2){\scriptsize$1$}
\ncline{2}{1}\rput(2.25,2){\scriptsize$5$}
\ncline{2}{4}\rput(2.8,1.25){\scriptsize$2$}
\ncline{2}{5}\rput(2.9,.8){\scriptsize$7$}
\ncline{4}{1}\rput(3,2.25){\scriptsize$2$}
\ncline{4}{3}\rput(3.9,2.5){\scriptsize$5$}
\ncline{5}{4}\rput(3.9,1.5){\scriptsize$3$}
\rput(1,.9){\scriptsize$G:$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-.85,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(.9,1.6){\scriptsize$x_0$}\rput(1,2){\tiny$8$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\scriptsize$x_3$}\rput(2.1,3){\tiny$0$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(1.75,.8){\scriptsize$x_1$}\rput(2.1,1){\tiny$9$}
\cnode(3.7,3){.2}{3}\rput(4.15,3){\scriptsize$x_5$}\rput(3.7,3){\tiny$4$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(4.15,2){\scriptsize$x_2$}\rput(3.7,2){\tiny$4$}
\cnode(3.7,1){.2}{5}\rput(4.15,1){\scriptsize$x_4$}\rput(3.7,1){\tiny$1$}
\ncline{1}{0}\rput(1.5,2.65){\scriptsize$8$}
\ncline{0}{2}\rput(1.45,1.35){\scriptsize$9$}
\ncline{1}{3}\rput(2.9,3.15){\scriptsize$4$}
\ncline{1}{5}\rput(2.7,2){\scriptsize$1$}
%\ncline{2}{1}\rput(1.95,2){\scriptsize$5$}
%\ncline{2}{4}\rput(2.8,1.25){\scriptsize$2$}
%\ncline{2}{5}\rput(2.9,.8){\scriptsize$7$}
%\ncline{4}{1}\rput(3,2.65){\scriptsize$2$}
%\ncline{4}{3}\rput(3.9,2.5){\scriptsize$5$}
\ncline{5}{4}\rput(3.9,1.5){\scriptsize$3$}
\rput(1,.9){\scriptsize$T_3:$}
\end{pspicture}
\vskip2pt
\begin{pspicture}(-.75,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(.9,1.6){\scriptsize$x_0$}\rput(1,2){\tiny$12$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\scriptsize$x_3$}\rput(2.1,3){\tiny$4$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(1.75,.8){\scriptsize$x_1$}\rput(2.1,1){\tiny$0$}
\cnode(3.7,3){.2}{3}\rput(4.15,3){\scriptsize$x_5$}\rput(3.7,3){\tiny$7$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(4.15,2){\scriptsize$x_2$}\rput(3.7,2){\tiny$2$}
\cnode(3.7,1){.2}{5}\rput(4.15,1){\scriptsize$x_4$}\rput(3.7,1){\tiny$7$}
\ncline{1}{0}\rput(1.5,2.65){\scriptsize$8$}
%\ncline{0}{2}\rput(1.45,1.35){\scriptsize$1$}
%\ncline{1}{3}\rput(2.9,3.15){\scriptsize$4$}
%\ncline{1}{5}\rput(2.7,2){\scriptsize$1$}
%\ncline{2}{1}\rput(1.95,2){\scriptsize$5$}
\ncline{2}{4}\rput(2.8,1.25){\scriptsize$2$}
\ncline{2}{5}\rput(2.9,.8){\scriptsize$7$}
\ncline{4}{1}\rput(3,2.65){\scriptsize$2$}
\ncline{4}{3}\rput(3.9,2.5){\scriptsize$5$}
%\ncline{5}{4}\rput(3.9,1.5){\scriptsize$3$}
\rput(1,.9){\scriptsize$T_1:$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-.85,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(.9,1.6){\scriptsize$x_0$}\rput(1,2){\tiny$13$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\scriptsize$x_3$}\rput(2.1,3){\tiny$5$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(1.75,.8){\scriptsize$x_1$}\rput(2.1,1){\tiny$14$}
\cnode(3.7,3){.2}{3}\rput(4.15,3){\scriptsize$x_5$}\rput(3.7,3){\tiny$8$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(4.15,2){\scriptsize$x_2$}\rput(3.7,2){\tiny$3$}
\cnode(3.7,1){.2}{5}\rput(4.15,1){\scriptsize$x_4$}\rput(3.7,1){\tiny$0$}
\ncline{1}{0}\rput(1.5,2.65){\scriptsize$8$}
\ncline{0}{2}\rput(1.45,1.35){\scriptsize$1$}
%\ncline{1}{3}\rput(2.9,3.15){\scriptsize$4$}
%\ncline{1}{5}\rput(2.7,2){\scriptsize$1$}
%\ncline{2}{1}\rput(1.95,2){\scriptsize$5$}
%\ncline{2}{4}\rput(2.8,1.25){\scriptsize$2$}
%\ncline{2}{5}\rput(2.9,.8){\scriptsize$7$}
\ncline{4}{1}\rput(3,2.65){\scriptsize$2$}
\ncline{4}{3}\rput(3.9,2.5){\scriptsize$5$}
\ncline{5}{4}\rput(3.9,1.5){\scriptsize$3$}
\rput(1,.9){\scriptsize$T_4:$}
\end{pspicture}
\vskip2pt
\begin{pspicture}(-.75,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(.9,1.6){\scriptsize$x_0$}\rput(1,2){\tiny$10$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\scriptsize$x_3$}\rput(2.1,3){\tiny$2$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(1.75,.8){\scriptsize$x_1$}\rput(2.1,1){\tiny$11$}
\cnode(3.7,3){.2}{3}\rput(4.15,3){\scriptsize$x_5$}\rput(3.7,3){\tiny$5$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(4.15,2){\scriptsize$x_2$}\rput(3.7,2){\tiny$0$}
\cnode(3.7,1){.2}{5}\rput(4.15,1){\scriptsize$x_4$}\rput(3.7,1){\tiny$3$}
\ncline{1}{0}\rput(1.5,2.65){\scriptsize$8$}
\ncline{0}{2}\rput(1.45,1.35){\scriptsize$1$}
%\ncline{1}{3}\rput(2.9,3.15){\scriptsize$4$}
\ncline{1}{5}\rput(2.7,2){\scriptsize$1$}
%\ncline{2}{1}\rput(1.95,2){\scriptsize$5$}
%\ncline{2}{4}\rput(2.8,1.25){\scriptsize$2$}
%\ncline{2}{5}\rput(2.9,.8){\scriptsize$7$}
\ncline{4}{1}\rput(3,2.65){\scriptsize$2$}
\ncline{4}{3}\rput(3.9,2.5){\scriptsize$5$}
%\ncline{5}{4}\rput(3.9,1.5){\scriptsize$3$}
\rput(1,.9){\scriptsize$T_2$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-.85,.5)(4,3.5)
\cnode(1,2){.2}{0}\rput(.9,1.6){\scriptsize$x_0$}\rput(1,2){\tiny$17$}
\cnode(2.1,3){.2}{1}\rput(1.75,3.2){\scriptsize$x_3$}\rput(2.1,3){\tiny$9$}
\cnode(2.1,1){.2}{2}\rput(1.75,.8){\scriptsize$x_1$}\rput(2.1,1){\tiny$18$}
\cnode(3.7,3){.2}{3}\rput(4.15,3){\scriptsize$x_5$}\rput(3.7,3){\tiny$0$}
\cnode(3.7,2){.2}{4}\rput(4.15,2){\scriptsize$x_2$}\rput(3.7,2){\tiny$13$}
\cnode(3.7,1){.2}{5}\rput(4.15,1){\scriptsize$x_4$}\rput(3.7,1){\tiny$10$}
\ncline{1}{0}\rput(1.5,2.65){\scriptsize$8$}
\ncline{0}{2}\rput(1.45,1.35){\scriptsize$1$}
\ncline{3}{1}\rput(2.95,3.15){\scriptsize$9$}
\ncline{1}{5}\rput(2.7,2){\scriptsize$1$}
%\ncline{2}{1}\rput(1.95,2){\scriptsize$5$}
%\ncline{2}{4}\rput(2.8,1.25){\scriptsize$2$}
%\ncline{2}{5}\rput(2.9,.8){\scriptsize$7$}
%\ncline{4}{1}\rput(3,2.65){\scriptsize$2$}
%\ncline{4}{3}\rput(3.9,2.5){\scriptsize$5$}
\ncline{5}{4}\rput(3.9,1.5){\scriptsize$3$}
\rput(1,.9){\scriptsize$T_5:$}
\end{pspicture}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{2.11}$ \quad \bf 根在\,$x_i(i=1,2,3,4,5)$ 的支撑外向树}
\end{quote}\vspace*{-6mm}
\end{figure}


%\begin{figure}[h]{\vskip11.5cm}\caption{
%\label{f2.120}                                            %f2.120
%\footnotesize  根在$x_i(i=1,2,3,4,5)$ 的支撑树形图}
%\end{figure}



Moore-Dijkstra\,算法求出从\,$x_0$\,到任何另外顶点\,$x$
的最短路和距离 \,${\boldsymbol l}(x)$. 由于\,$x_0$ 是任意取定的顶点,
所以当\,$x_0$ 取遍图中所有顶点时, 即\,
Moore-Dijkstra\,算法重复执行\,$v$ 次以后就能求出图\,$D$
的直径\,$d(D)$. 例如,
在图2.11\,所示的加权有向图\,$(D,{\boldsymbol
w})$\,上执行\,6\,次后求出\,$D$ 中根在\, $x_i\,(i=0,1,2,3,4,5)$
的支撑外向树, 如图2.11\,所示, 其中根在\,$x_0$
的支撑外向树如图2.10\,(h)\,所示. 对于每棵根在\,$x_i$
的支撑外向树\,$T_{i}\ (0\leqslant i,j\leqslant 5)$, 顶点 $x_j$
上的标号即为距离\,$d_D(x_i,x_j)$. 以\,$d_D(x_i,x_j)$\,作为\,$(i,j)$
元素所构成的\,6\,阶方阵
$$
\left (\begin{array}{cccccc}
0&1&3&5&6&8\\
12&0&2&4&7&7\\
10&11&0&2&3&5\\
8&9&4&0&1&4\\
13&14&3&5&0&8\\
17&18&13&9&10&0
\end{array}\right )
$$
称为{\bf 距离矩阵} (distance matrix). 比较距离矩阵中的
元素,即得\,$D$ 的直径.

\hskip1.5cm $d(D)=\max\{d_D(x_i,x_j): 0\leqslant i,j\leqslant
5\}=18$.

由于求\,$d(D)$ 需重复执行Moore-Dijkstra\,算法\,$\upsilon$ 次,
然后对距离矩阵中 $\upsilon^2$ 个元素比较,
所以该算法求直径的计算复杂度为\,$O(\upsilon^5)$.


最后, 解一个民间流传甚广的趣味游戏题.

{\bf 例\,{$\boldsymbol {2.5.2}$}}\quad 设有\,$A, B, C$ 三只水桶,
容积分别为\,12\,升、9\,升和\,5\,升, $A$ 中盛满\,12\,升水. 试问:
如何利用空桶\,$B$ 和\,$C$ 来把\,$A$ 中的水分成两半?

这个问题看起来很简单, 解起来却不容易.
任何一个人都不会用这三只桶翻来复去 地倾倒来做试验,
而是把所需要做的试验步骤制成一张表. 如下表:
{\zihao{-5}\begin{center}
\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|c}
\bottomrule\vspace*{-0.8mm}  $A\ (12$ 升) &\ 7\qquad &\ 7\qquad  &\ 2\qquad  &\ 2\qquad  &\ 11\qquad &\ 11\qquad &\ 6\qquad  &\ 6\qquad   \\ \hline
$B\ \ (9$ 升) &\ 0\qquad &\ 5\qquad  &\ 5\qquad  &\ 9\qquad &\ \ 0\qquad &\ \ 1\qquad &\ 1\qquad  &\ 6\qquad   \\ \hline
$C\ \ (5$ 升) &\ 5\qquad &\ 0\qquad  &\ 5\qquad  &\ 1\qquad &\ \ 1\qquad &\ \ 0\qquad &\ 5\qquad  &\ 0\qquad  \\  \bottomrule
\end{tabular}
\end{center}}

按表中\,$1,2,\cdots,8$ 列的顺序依次倾倒. 例如:

\newpage
\chapter{平图与平面图}
\newpage

\newpage
\setcounter{page}{131}
{\ziju{-0.1}
\noindent 中\,$F_i\,(i=1,2)$ 是\,$G$ 中对应于\,$F^*_i$ 的面集.
由习题\,2.1.14\,知\, $G^*[F^*_i]$ 是连通的. 令\,$G_i$ 为\,$F_i$
中面的并\ $(i=1,2)$. 由于\,$F_i\ne\emptyset$, 所以\,$G_1$
有边界\,$H$ 且\,$E(H)=B$. 由于\,$G^*[F^*_1]$ 是连通的, 所以\,$G_1$
的外部面边界\,$H=G[B]$ 是连通的. 又由于\,$H$ 中每条边是\,$G_1$
中面和\,$G_2$  中面的公共边界, 所以\,$H=G[B]$ 中顶点都是\,2\,度点,
于是\,$H$ 是\,$G$ 的圈.}

{\ziju{-0.05}($\Rightarrow$)\,设\,$G[B]$ 是\,$G$ 中圈, 要证明\,$B^*$ 是\,$G^*$
中键. 由于 \,$G[B]$ 是\,$G$ 中圈, 所以它将\,$G$\ 的面集\,$F(G)$
划分成两个不交的非空真子集 \,$F_1$ 和\,$F_2$. 令\,$F^*_i\,(i=1,2)$
是\,$G^*$ 中对应于\,$F_i$ 的顶点集. 不妨设\,$F_1$ 在\,$G[B]$ 的内部.
于是\,$G[B]$ 是\,$F_1$ 中面之并的外部面边界, 即\,$B$ 中任何}
一条边都在\,$F_1$ 中某个面和\,$F_2$ 中某个面的公共边界上. 换言之,
$B$ 中任何一条边\,$e$ 都在\,$G[B]$ 的内部面和外部面 的公共边界上,
因而\,$e^*$ 连接\,$F^*_1$ 中顶点到\,$F^*_2$ 中顶点, 即\,$B^*$
是\,$G^*$ 边割集 \,$E_{G^*}(F^*_1,F^*_2)$. 由于\,$G^*[F^*_1]$
和\,$G^*[F^*_2]$ 都是连通的, 所以由习题\,2.1.14\,知,
$B^*=E_{G^*}[F^*_1,F^*_2]$ 是\,$G^*$ 的键.

(ii)\,的证明类似于\,(i)\,的证明, 留给读者 \,(习题\,3.3.4).
\hfill\rule{1mm}{2mm}


{\bf 推论\,{$\boldsymbol {3.3.1.1}$}}\quad {\bf 设\,$T$ 是连通平图\,$G$ 的支撑树,
$E^*=\{e^*\in E(G^*) : e\in E(\overline T)\}$, 则\,$T^*=G^*[E^*]$ 是\,$G^*$
的支撑树.}

{\bf 证明}\quad 当\,$\phi(G)=1$ 时, $G=T, E^*=\emptyset$, $G^*$
和\,$T^*$ 是平凡图, 结论成立. 下设\,$\phi(G)\geqslant 2$. 由于\,$G$
的每个面的边界都含$E(\overline T)$ 中边, 所以\,$G^*$
的每个顶点都与\,$E^*$ 中边关联, 即\,$T^*$ 是\,$G^*$ 的支撑子图.
若\,$T^*$ 中含\, $G^*$ 的圈, 则由定理\,3.3.1知, $E(\overline T)$
含\,$G$  的键, 矛盾于定理\,2.1.6\,(i). 所以\,$T^*$ 不含圈.
又由于\,$E(\overline T)$ 中每条边\,$e$ 都在\,$G$ 中某两个面的公共
边界上, 即\,$\phi(G-e)=\phi(G)-1$. 所以,\vspace*{-1mm}
 $$
 1=\phi(G-E(\overline T))=\phi(G)-\varepsilon(\overline T)=\upsilon(G^*)-\varepsilon(T^*),
 $$\vspace*{-1mm}
即\,$\varepsilon(T^*)=\upsilon(G^*)-1$. 由定理\,2.1.3\,知, $T^*$
是\,$G^*$ 的支撑树. \hfill\rule{1mm}{2mm}\vspace*{1mm}

{\bf 推论\,{$\boldsymbol {3.3.1.2}$}}\quad  {\bf 设\,$G$ 是连通平图, 则

${\boldsymbol {\mathbf{(i)\ dim}}}\ \mathscr{C}(G^*)= {\boldsymbol {\mathbf{dim}}}\ \mathscr B(G); \quad {\boldsymbol {\mathbf{(ii)\ dim}}}
\ \mathscr{B}(G^*)= {\boldsymbol {\mathbf{dim}}}\ \mathscr C(G)$.}

由定理\,3.3.1, H. Whitney\,(1932)\,给出图的组合对偶图定义. 设\,$G$
和\,$G'$ 是两个图, $B\subseteq E(G)$. 若存在双射\,$\varphi: E(G)\to
E(G')$ 使\,$G[B]\,$是\,$G$ 的圈\, $\Leftrightarrow\varphi(B)=\{e'\in
E(G'):\ \varphi(e)=e'\}$ 是\,$G'$ 的键, 则称\,$G'$ 是\,$G$ 的{\bf
组合对偶图}\,(combinatorial dual graph).
\index{duioutu@{对偶图}!zuheduioutu@{组合对偶图}}
图3.13\,所示的是图\,$G$ 和它的组合对偶图\,$G'$, 其中\vspace*{-1mm}
$$
\begin{array}{rl}
\varphi:\!\!&\!\!E(G)\to E(G')\\
& \!\!e_i  \mapsto \varphi (e_i)=e'_i,\quad i=1,2,\cdots,9.
\end{array}
$$
令$B=\{e_3,e_5,e_6,e_8\}$, 则\,$G[B]$ 是\,$G$ 的圈. $\varphi(B)=
\{e'_3,e'_5,e'_6,e'_8\}$ 是\,$G'$ 的键. 当然,
验证两个图是否是组合对偶的 非常困难, 因为它要求验证\,$G$ 的每条圈.

% Figure 3.12
\begin{figure}[h]  % h: here; t: top; b: bottom
\vspace*{-4mm}
%\psset{unit=1.2,arrowsize=.13}     % scale
\begin{pspicture}(-.9,.3)(4,3.5)
\cnode(1,1){.1}{1}\cnode(4,1){.1}{2}
\cnode(1,3){.1}{3}\cnode(4,3){.1}{4}
\cnode(1.8,2){.1}{5}\cnode(3.2,2){.1}{6}
\ncline{1}{2}\rput(2.5,1.2){\scriptsize$e_6$}
\ncline{3}{4}\rput(2.5,3.2){\scriptsize$e_4$}
\ncline{5}{6}\rput(2.5,2.2){\scriptsize$e_5$}
\ncline{1}{3}\rput(.75,2){\scriptsize$e_1$}
\ncline{2}{4}\rput(4.25,2){\scriptsize$e_9$}
\ncline{5}{1}\rput(1.7,1.5){\scriptsize$e_3$}
\ncline{5}{3}\rput(1.7,2.5){\scriptsize$e_2$}
\ncline{6}{2}\rput(3.3,1.5){\scriptsize$e_8$}
\ncline{6}{4}\rput(3.3,2.5){\scriptsize$e_7$}
\rput(2.5,.5){\scriptsize$G$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-1.2,.3)(4,3)
\cnode(1,1){.1}{1}\cnode(1,3){.1}{2}
\cnode(1.7,1.9){.1}{3}\cnode(2.1,2.3){.1}{4} \cnode(4.5,2){.1}{5}
\ncline{1}{2}\rput(.75,2){\tiny$e'_2$}
\ncline{2}{3}\rput(1.3,2.15){\tiny$e'_5$}
\ncline{3}{1}\rput(1.53,1.4){\tiny$e'_3$}
\ncline{3}{4}\rput(2.15,2.1){\tiny$e'_8$}
\ncline{2}{4}\rput(1.7,2.4){\tiny$e'_7$}
\ncline{1}{5}\rput(2.5,1.2){\tiny$e'_1$}
\ncline{2}{5}\rput(2.3,2.8){\tiny$e'_4$}
\ncline{3}{5}\rput(2.7,1.8){\tiny$e'_6$}
\ncline{4}{5}\rput(2.6,2.4){\tiny$e'_9$}
\rput(2.5,.5){\scriptsize$G'$}
\end{pspicture}\vspace*{-4mm}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{3.13}$ \quad \bf $G$ 和它的组合对偶图\,$G'$}
\end{quote}\vspace*{-4mm}
\end{figure}


%\begin{figure}[h]{\vskip4cm}\caption{
%\label{f3.13}                                         %f3.13
%\footnotesize  图\,$G$ 和它的组合对偶图$G'$}
%\end{figure}
组合对偶图定义中没有明言\,$G$ 或\,$G'$ 是平图, 但有下列结果.

\vskip6pt {\bf 定理\,{$\boldsymbol {3.3.2}$}}\quad {\bf 若\,$G$ 是平图, 则\,$G$
的几何对偶图\,$G^*$ 必是\,$G$ 的组合对 偶图, 而且\,$G$  也是\ $G^*$
的组合对偶图.}

{\bf 证明}\quad 设\,$G$ 是平图, $G^*$是\,$G$ 的几何对偶. 定义
$$
\begin{array}{rl}
\varphi:\!\!&\!\! E(G)\to E(G^*)\\
&\!\! e  \mapsto \varphi (e)=e^*.
\end{array}
$$
易证, $\varphi$ 是双射并由组合对偶的定义和定理\,3.3.1\,知该定理成立.
\hfill\rule{1mm}{2mm}

利用组合对偶, H. Whitney\,(1932)\,给出平面图的下述特征.

{\bf 定理\,{$\boldsymbol {3.3.3}$}}\quad {\bf $G$ 是平面图\,$\Leftrightarrow G$
有组合对偶图.}

{\bf 证明~~}\  ($\Rightarrow$)\ 设\,$G$ 是平面图, $\widetilde{G}$
是它的平 面表示. 由定理\,3.3.2\,知, $\widetilde{G}$
的几何对偶图\,${\widetilde{G}}^*$ 是\,$G$ 的组合对偶图.

($\Leftarrow$)\ 设\,$G$ 有组合对偶图, 要证\,$G$ 是平面图. (反证法)\,
设\,$G$ 是非平面图. 由定理\,3.1.2,
%\,Kuratowski\,定理\,(3.6),
不妨设\,$G$ 是\,$K_5$ 或\,$K_{3,3}$ (因为由组合对偶图的定义可知,
\,$G$ 的每个连通分支或者\,$G$
的每个细分图都有组合对偶\,(见习题\,3.3.2)).

(i)\ 若\,$G'$ 是\,$K_5$ 的组合对偶图, 则因为\,$K_5$
不含奇数条边的键, 所以\,$G'$ 不含奇圈, 因而是\,$2$ 部简单图.
由于\,$K_5$ 不含长小于\,2\,的圈, 所以\,$G'$ 的最小度至少为\,3.
由于阶小于\,7\,的简单\,$2$ 部图最多只有\,9\,条边,
所以\,$v(G')\geqslant 7$. 于是得到如下矛盾:

 $
 \text{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}10=\varepsilon(K_5)=\varepsilon(G')\geqslant \frac 12\cdot 7\cdot 3>10.
 $

(ii)\ 若\,$G'$ 是\,$K_{3,3}$ 的几何对偶图, 则因为\,$K_{3,3}$
不含边数小于\,3\,的键, 且不含长 度小于\,4\,的圈, 所以\,$G'$ 是
最小度\,$\delta(G')\geqslant 4\,$ 的简单图,
因而\,$\upsilon(G')\geqslant 5$. 于是,
 $$
 9=\varepsilon(K_{3,3})=\varepsilon(G')\geqslant \frac 12\cdot 5\cdot 4=10,
 $$
矛盾. \hfill\rule{1mm}{2mm}


\newpage
\setcounter{page}{135}
\noindent 论\,1.3.1\,和定理\,3.1.2, 有
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e3.4.2}                                            %e3.4.2
2E=\sum\limits_{n\geqslant 3}n\, V_n=\sum\limits_{n\geqslant 3}n\,
F_n.
\end{split}\tag{3.4.2}\end{equation*}

{\bf 定理\,{$\boldsymbol {3.4.1}$}}\quad {\bf 每个凸多面体中都至少有一个\,$n$ 度面,
其中\,$3\leqslant n\leqslant 5$.}

{\bf 证明}\quad 反证法. 设\,$F_3=F_4=F_5=0$. 则由式\,(3.4.2),
有
$$
2E=\sum\limits_{n\geqslant 6}n\, F_n \geqslant
\sum\limits_{n\geqslant 6}6\, V_n =6\sum\limits_{n\geqslant 6}\,
F_n=6F,
$$
即有
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e3.4.3}                                          %e3.4.3
F\leqslant \frac 13\, E.
\end{split}\tag{3.4.3}\end{equation*}
另一方面, 由式\,(3.4.2), 有
$$
2E=\sum\limits_{n\geqslant 3}n\, V_n \geqslant
3\sum\limits_{n\geqslant 3}\, V_n=3V,
$$
即
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e3.4.4}                                            %e3.4.4
V\leqslant \frac 23\, E.
\end{split}\tag{3.4.4}\end{equation*}
于是,
由\,Euler\,凸多面体公式\,(3.4.1)\,和不等式\,(3.4.3),
(3.4.4)\,得到下列矛 盾:
$$
E=V+F-2\leqslant \frac 23\, E+\frac 13\, E-2=E-2.
$$
定理得证. \hfill\rule{1mm}{2mm}

%\newpage

每个面都相等并且每个多面角都相等的凸多面体称为{\bf 正多面体}
\,(regular polyhedron), 亦称为\,${\boldsymbol {\mathbf{Plato}}\, \mbox{\bf 体}}$.
对应的平图称为\,Plato\,图\,(见图3.14).

 \index{zhengduomianti@{正多面体}}
 \index{zhengduomianti@{正多面体}!paltotu@{Plato\,图}}
 \index{pingtu@{平图}!paltotu@{Plato\,图}}

下述定理是\,Euclid\,(约公元前\,330\,年--前\,275\,年)\,的\,13\,卷《几何原本》书中的
最后一个结果. 我们用\,Euler\,凸多面体公式来给出它的证明.

{\bf 定理\,{$\boldsymbol {3.4.2}$}}\quad {\bf
仅有五个正多面体}\,(如图3.14\,所示).

{\bf 证明}\quad 设\,$P$ 是正多面体且\,$G(P)$ 是对应的平图.
由公式\,(3.4.1)\,和式\,(3.4.2), 对任何凸多面体, 均有
\begin{equation*}
\begin{split}
-8&\!=4E-4V-4F=2E+2E-4V-4F\notag\\
&\!=\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 3}n\, F_n+\sum\limits_{n\geqslant
3}n\, V_n
-4\sum\limits_{n\geqslant 3}\, V_n-4\sum\limits_{n\geqslant 3}\, F_n\notag\\
&\!=\displaystyle\sum\limits_{n\geqslant 3}(n-4)\, F_n
+\sum\limits_{n\geqslant 3}(n-4)\, V_n. \label{e3.4.5}
\end{split}\tag{3.4.5}
\end{equation*}


\newpage
\chapter{网络流与连通度}
\newpage


\newpage
\setcounter{page}{146}
令\,$D^*=D'_{\widetilde {\boldsymbol f}}$, 即\,$\widetilde
{\boldsymbol f}$ 在\,$D'$ 中的支撑图\,(其定义见\,2.2节). 例如,
见图4.2, (b)\,中所示的图就是\,(a)\, 中图\,$D'$
的\,$\widetilde {\boldsymbol f}$ 的支撑图\,$D^*$. 断定\,$D^*$ 中不
存在\,$(x,y)$ 路.

若不然, 设\,$P$ 是\,$D^*$中\,$(x,y)$ 路. 令\,
$$
\sigma =\min\{\,\widetilde {\boldsymbol f}(a) :\ a\in E(P)\}.
$$
则\,$\sigma>0$. 定义\,${\boldsymbol f}'\in\mathscr {E}(D)$ 如下:
$$
{\boldsymbol f}'(a)=\left\{
\begin{array}%[t\b]
{ll}%[m]
{\boldsymbol f}(a)+\sigma, \ & \mbox{若}\ a\in E(P);\\
{\boldsymbol f}(a)-\sigma, \ & \mbox{若}\ \overleftarrow{a}\in E(P);\\
{\boldsymbol f}(a), \ & \mbox{其他}.
\end{array}
\right.
$$

于是, ${\boldsymbol f}'$ 是\,$N$ 中\,$(x,y)$ 流,
并且\,val\,\,${\boldsymbol f}' =$ val\,\,${\boldsymbol f}+\sigma>$
val\,\,${\boldsymbol  f}$ (习题\,4.1.3). 矛盾于\,${\boldsymbol f}$
的最大性. 所以\,$D^*$ 中不含\,$(x,y)$ 路. 令
 $$
 S'=\{u\in V(D^*):\ D^*\ \mbox{中存在} (x,u) \mbox{路} \}.
 $$
则\, $x\in S',\ y\notin S'$. 于是, $B'=(S',\overline{S'})$ 是\,$D$
中 \,$(x,y)$ 截边集, 而且在\,$D'$ 中\,(习题 \,4.1.3)\,有
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e4.1.5}                                           %e4.5
\widetilde{\boldsymbol f}(a)=\left\{
\begin{array}%[t\b]
{ll}%[m]
0,\ & \mbox{若}\ a\in (S',\overline {S'});\\
{\boldsymbol f}(a), & \mbox{若}\ a\in (\overline {S'}, S').
\end{array}\right.
\end{split}\tag{4.1.4}\end{equation*}
于是, 在\,$D$ 中即有
 $$ {\boldsymbol f}(a)=\left\{
\begin{array}%[t\b]
{ll}%[m]
{\boldsymbol c}(a),\ & \mbox{若}\ a\in (S',\overline {S'});\\
0, & \mbox{若}\ a\in (\overline {S'}, S').
\end{array}\right.
 $$
因此, 对于\,$D$ 中\,$(x,y)$ 截边集\,$B'=(S',\overline {S'})$ 有\,
 $$
{\rm val}\, {\boldsymbol f}={\boldsymbol f}^+(S')-{\boldsymbol
f}^-(S') = {\boldsymbol f}^+(S')={\rm cap}\, B'\geqslant {\rm cap}\,
B.
 $$
定理得证.\hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 推论\,{$\boldsymbol {4.1}$}}\ (整数最大流最小截定理)\quad {\bf
任何整容量网络中都存在整数
最大流而且其流量等于最小截容量.}\hfill\rule{1mm}{2mm}

证明留给读者作为习题\,(习题\,4.1.3).

最大流最小截定理是网络流分析方法的基础. 以后将看到, 通过这个定理不
仅可以求出网络中的最大流和最小截, 而且可以导出图论中许多著名的定理.


\newpage
\setcounter{page}{149}
{\bf 证明}\quad 定义\,${\boldsymbol c}\in \mathscr{E}(D)$ 如下:
 $$
  {\boldsymbol c}(a)\equiv 1, \quad \forall\ a\in E(D).
  $$

考虑整容量网络\,$N=(D_{xy},{\boldsymbol c})$. 由推论\,4.1\,知, $N$
中存在整数 最大\,$(x,y)$ 流\,${\boldsymbol f}$ 和最小\,$(x,y)$
截边集\,$B=(S,\overline S)$  (参见图4.3\,(a), 其中\,$B$
为粗边所示), 使得
\begin{equation*}\begin{split}\label{e4.2.2}                                %e4.2.2
{\rm val}\,{\boldsymbol f}= {\rm cap}\,B.
\end{split}\tag{4.2.2}\end{equation*}

由于显然有\,$\lambda_D(x,y)\leqslant |B|={\rm cap}\, B$, 所以,
由式\,(4.2.1)\,和\,(4.2.2), 只需证明
\begin{equation*}\begin{split}\label{e4.2.3}                                %e4.2.3
\eta_D(x,y)\geqslant {\rm val}\,{\boldsymbol f},\quad {\rm cap}\,
B\geqslant \lambda_D(x,y).
\end{split}\tag{4.2.3}\end{equation*}

令\,$H$ 是\,${\boldsymbol f}$ 的支撑图\,$D_{\boldsymbol f}$
(定义见\,2.2节)\, (参见图4.3\,(b)).


由于对任何\,$a\in E(D)$ 均有\,${\boldsymbol c}(a)=1$, 所以对
任何\,$a\in E(H)$ 均有\,${\boldsymbol f}(a)=1$. 因此可得
$$
\left\{
\begin{array}%[t\b]
{ll}%[m]
d^+_H(x)-d^-_H(x)={\rm val}\, {\boldsymbol f}=d^-_H(y)-d^+_H(y),&\\
d^+_H(u)=d^-_H(u),\quad \forall\ u\in V(H)\setminus\{x,y\}.&
\end{array}\right.
$$
所以\,$H$ 是\,val\,\,${\boldsymbol f}$ 条边不交的\,$(x,y)$ 路之并,
即\, $\eta_D(x,y)\geqslant$ val\,\,${\boldsymbol f}$.


由于\,$B=(S,\overline S)$ 是\,$(x,y)$ 截边集, $N$ 是单位容量网络
且有\, cap\,$B=$ val\,\,${\boldsymbol f}$, 所以\,
cap\,$B=|B|\geqslant \lambda_D(x,y)$. 式\,(4.2.3)\,得证.
因而定理得证. \hfill\rule{1mm}{2mm}

\vskip10pt
% Figure 4.3
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\psset{unit=1pt}
\begin{pspicture}(-20,-10)(280,50)

\cnode(0,20){3}{a1} \cnode(30,0){3}{a2} \cnode(30,20){3}{a3}
\cnode(30,40){3}{a4} \cnode(80,0){3}{a5} \cnode(80,20){3}{a6}
\cnode(80,40){3}{a7} \cnode(110,20){3}{a8}


\ncline{a1}{a2} \ncline{a1}{a3} \ncline{a1}{a4} \ncline{a3}{a2}
\ncline{a3}{a4} \ncline{a5}{a2} \ncline[linewidth=2pt]{a3}{a6}
\ncline[linewidth=2pt]{a4}{a7} \ncline{a3}{a7}
\ncline[linewidth=2pt]{a3}{a5} \ncline{a5}{a6} \ncline{a7}{a6}
\ncline{a5}{a8} \ncline{a8}{a6} \ncline{a7}{a8}

\pnode(15,10){a12} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a1}{a12}
\pnode(20,20){a13} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a1}{a13}
\pnode(15,30){a14} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a1}{a14}
\pnode(30,15){a32} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a32}
\pnode(30,25){a34} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a4}{a34}
\pnode(80,15){a56} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a56}
\pnode(80,25){a67} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a7}{a67}

\pnode(50,0){a25} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a25}
\pnode(60,20){a36} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a36}
\pnode(60,40){a47} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a4}{a47}
\pnode(55,10){a35} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a35}
\pnode(55,30){a37} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a7}{a37}

\pnode(95,10){a85} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a85}
\pnode(98,20){a86} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a6}{a86}
\pnode(95,30){a87} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a7}{a87}

\rput(-10,20){$x$} \rput(118,20){$y$}

\rput(15,5){{\tiny 1}} \rput(19,25){{\tiny 1}} \rput(14,37){{\tiny
1}} \rput(37,10){{\tiny 1}} \rput(38,32){{\tiny 0}}
\rput(55,-8){{\tiny 0}} \rput(70,10){{\tiny 1 0}}
\rput(70,25){{\tiny 1 0}} \rput(70,32){{\tiny 0}}
\rput(55,50){{\tiny 1}} \rput(100,5){{\tiny 1}}
\rput(100,35){{\tiny 1}} \rput(96,15){{\tiny 1}}

\rput(55,-20){{\scriptsize (a)}}

%(b)
\cnode(170,20){3}{b1} \cnode(200,0){3}{b2} \cnode(200,20){3}{b3}
\cnode(200,40){3}{b4} \cnode(250,0){3}{b5} \cnode(250,20){3}{b6}
\cnode(250,40){3}{b7} \cnode(280,20){3}{b8}

\ncline{b1}{b2} \ncline{b1}{b3} \ncline{b1}{b4} \ncline{b3}{b2}
\ncline{b3}{b6} \ncline{b4}{b7} \ncline{b3}{b5} \ncline{b5}{b8}
\ncline{b8}{b6} \ncline{b7}{b8}

\pnode(185,10){b12} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{b1}{b12}
\pnode(190,20){b13} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{b1}{b13}
\pnode(185,30){b14} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{b1}{b14}
\pnode(200,15){b32} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{b2}{b32}

\pnode(230,20){b36} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{b3}{b36}
\pnode(230,40){b47} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{b4}{b47}
\pnode(225,10){b35} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{b3}{b35}

\pnode(265,10){b85} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{b5}{b85}
\pnode(268,20){b86} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{b6}{b86}
\pnode(265,30){b87} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{b7}{b87}

\rput(160,20){$x$} \rput(288,20){$y$}

\rput(225,-20){{\scriptsize (b)}}

\end{pspicture}
\end{center}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{1.5}$ \quad \bf \eufznine{(a)} 最大\,$(x,y)$ 流\,${\boldsymbol f}$ 和最小\,$(x,y)$ 截边集\,$B$
; \eufznine{(b)}\  $H=D_{\boldsymbol f}$}
\end{quote}\vspace*{-4mm}
\end{figure}


{\bf 推论\,{$\boldsymbol {4.2.1.1}$}~~}\ {\bf 设\,$x$ 和\,$y$ 是无向图\,$G$
中任意两顶点, 则 \,$\eta_G(x,y)=\lambda_G(x,y)$.}

{\bf 证明~~}\ 考虑\,$G$ 的对称有向图\,$D$
(即用端点相同且方向相反的两条有向边 替代\,$G$ 中每条边而得的有向图),
则\,$G$ 中\,$k$ 条边不交的连接\,$x$ 和\,$y$ 的路对应\,$D$ 中 \,$k$
条边不交的\,$(x,y)$ 路; 反之亦然. 于是,
 $$
 \eta_G(x,y)=\eta_D(x,y).
 $$

\newpage
\setcounter{page}{151}
{\kaishu \noindent 由于\,$E^-_D(Y_i\cap Y_j)$ 是\,$D$ 中\,$(x,y_i)$
截边集\,(参见习题\,{\rm 4.1.5}), 所以由定理\,{\rm 4.2.1},
$$
d^-_D(Y_i\cap Y_j)\geqslant \lambda_D(x,y_i)=\eta_D(x,y_i).
$$
于是\,(参见习题\,{\rm 1.3.6}),
$$
\begin{array}{rl}
d^-_D(Y_i\cup Y_j)+\eta_D(x,y_i)
\leqslant \!\!\!& d^-_D(Y_i\cup Y_j)+d^-_D(Y_i\cap Y_j)\\
\leqslant \!\!\!& d^-_D(Y_i)+d^-_D(Y_j)\\
=\!\!\!& \eta_D(x,y_i)+\eta_D(x,y_j).
\end{array}
$$
即有
$$
d^-_D(Y_i\cup Y_j)\leqslant \eta_D(x,y_j).
$$

另一方面, 因为\,$D^-_D(Y_i\cup Y_j)$ 是\,$D$ 中\,$(x,y_j)$ 截边集\,
(习题\,{\rm 4.1.5}). 所以, 由定理\,{\rm 4.2.1}\, 有
$$
d^-_D(Y_i\cup Y_j)\geqslant \lambda_D(x,y_j)=\eta_D(x,y_j).
$$
因而有
$$
d^-_D(Y_i\cup Y_j)=\eta_D(x,y_j),
$$
即\,$Y_i\cup Y_j$ 是以\,$y_j$为核心的正则集, 且\,$|Y_i\cup
Y_j|>|Y_j|$, 矛盾于\,$Y_j$ 的最大性.令\,
$$
V_i=Y_i\setminus  \bigcup_{j\ne i}Y_j.
$$
由上述说明知\,$y_i\in V_i\, (i=1,2,\cdots,k)$. 因此, 由定理\,{\rm
4.2.1}\,知 \,$$ d^+_D(V_i)\geqslant
\lambda_D(y_i,x)=\eta_D(y_i,x)=\eta_D(x,y_i)=d^-_D(Y_i),
$$
$$
\sum\limits_{i=1}^kd^+_D(V_i)\geqslant
\sum\limits_{i=1}^kd^-_D(Y_i).\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad
$$
注意到被计算在上式左端中的边, 或者是进入\,$x$ 的边\,(设为\,$\ell$
条), 或者是形如 \,$(V_i,Y_j)$ \ $(j\ne i)$\ 的边,
而且这些边仅计算一次. 另一方面, 被计算在上式 右端的边是进到\,$Y_j$\
的边至少被计算一次, 而且离开\,$x$ 的每条边都被计算. 所以,
$$
0\leqslant
\sum\limits_{i=1}^kd^+_D(V_i)-\sum\limits_{i=1}^kd^-_D(Y_i)\leqslant
\ell-d^+_D(x)\leqslant d^-_D(x)-d^+_D(x).
$$

考虑\,$N^-_D(x)$ 中的顶点, 同理可证, $d^-_D(x)\leqslant d^+_D(x)$.
\hfill\rule{1mm}{2mm}}


\newpage
\setcounter{page}{153}
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\psset{unit=1pt}
\begin{pspicture}(0,-10)(280,60)

\cnode(0,30){3}{a1} \cnode(60,0){3}{a2} \cnode(60,30){3}{a3}
\cnode(60,60){3}{a4} \cnode(120,0){3}{a5} \cnode(120,60){3}{a6}

\ncline{a1}{a2} \ncline{a1}{a3} \ncline{a3}{a2} \ncline{a3}{a4}
\ncline{a2}{a5} \ncline{a4}{a6} \ncline{a6}{a2}

\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(3,30)(40,40)(60,57)
\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(57,60)(20,50)(0,33)

\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(120,57)(110,30)(120,3)
\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(120,3)(130,30)(120,57)

\pnode(38,30){a13} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a1}{a13}
\pnode(30,15){a12} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a12}
\pnode(60,20){a23} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a23}
\pnode(60,50){a34} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a34}
\pnode(90,0){a25} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a25}
\pnode(90,30){a26} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a26}
\pnode(90,60){a46} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a6}{a46}

\rput(-8,30){{\scriptsize $u$}} \rput(60,-8){{\scriptsize $s$}}
\rput(68,30){{\scriptsize $r$}} \rput(68,53){{\scriptsize $w$}}

%(b)
\cnode(160,15){3}{a1} \cnode(220,0){3}{a2} \cnode(220,30){3}{a3}
\cnode(220,60){3}{a4} \cnode(280,0){3}{a5} \cnode(280,60){3}{a6}

\cnode(160,45){3}{b1}

\ncline{a1}{b1} \ncline{a3}{b1} \ncline{a4}{b1}

\ncline{a1}{a2} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a4}{a1} \ncline{a3}{a2}
\ncline{a3}{a4} \ncline{a2}{a5} \ncline{a4}{a6} \ncline{a6}{a2}

\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(280,57)(270,30)(280,3)
\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(280,3)(290,30)(280,57)

\pnode(190,7.5){a12} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a12}

\pnode(220,20){a23} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a23}
\pnode(220,50){a34} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a34}

\pnode(250,0){a25} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a25}
\pnode(250,30){a26} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a26}
\pnode(250,60){a46} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a6}{a46}

\pnode(160,35){ab1} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a1}{ab1}

\pnode(190,52.5){ab4} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{b1}{ab4}
\pnode(190,37.5){ab3} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{b1}{ab3}

\rput(152,15){{\scriptsize $u'$}} \rput(152,45){{\scriptsize $u''$}}
\rput(220,-8){{\scriptsize $s$}} \rput(228,30){{\scriptsize $r$}}
\rput(228,53){{\scriptsize $w$}}

\end{pspicture}
\end{center}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{4.5}$ \quad \bf 顶点\,$u$ 分裂运算}
\end{quote}\vspace*{-14mm}
\end{figure}

 \index{dingli@{定理}!mengerdingli@{Menger\,定理}}
 \index{dingli@{定理}!mengerdinglidianxingzhi@{Menger\,定理\,(点形式)}}
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e4.2.5}                                            %e4.2.5
\zeta_D(x,y)\geqslant \eta_H(x,y), \quad \lambda_H(x,y)\geqslant
\kappa_D(x,y).
\end{split}\tag{4.2.5}\end{equation*}

由于\,$H$ 中每条\,$(x,y)$ 路都对应着收缩所有形如\,$(u',u'')$
的边之后得到\,$D$  中一条\,$(x,y)$ 路, 而且\,$H$
中两条有向路边不交,\,$D$ 中与
之对应的有向路内部点也不交\,(参见图4.6\,粗边所示的路). 所以,
$\zeta_D(x,y)\geqslant \eta_H(x,y)$.

\begin{figure}[H]
\vspace*{5mm}
\begin{center}
\psset{unit=1pt}
\begin{pspicture}(0,-20)(280,60)

\cnode(0,30){3}{a1} \cnode(20,0){3}{a2} \cnode(20,60){3}{a3}
\cnode(80,0){3}{a4} \cnode(80,60){3}{a5} \cnode(100,30){3}{a6}

\ncline[linewidth=2pt]{a1}{a2} \ncline[linewidth=2pt]{a1}{a3}
\ncline{a3}{a2} \ncline[linewidth=2pt]{a2}{a4}
\ncline[linewidth=2pt]{a3}{a5} \ncline{a4}{a5}
\ncline[linewidth=2pt]{a4}{a6} \ncline[linewidth=2pt]{a5}{a6}

\pnode(20,25){a23} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a23}

\pnode(10,15){a12} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a1}{a12}
\pnode(10,45){a13} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a1}{a13}
\pnode(55,0){a24} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a24}
\pnode(55,60){a35} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a35}
\pnode(80,25){a45} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a45}
\pnode(90,15){a46} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a4}{a46}
\pnode(90,45){a56} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a56}

\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(77,0)(55,10)(20,57)
\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(23,60)(45,50)(80,3)

\rput(20,-8){{\scriptsize $w$}} \rput(80,-8){{\scriptsize $z$}}
\rput(20,68){{\scriptsize $u$}} \rput(80,68){{\scriptsize $v$}}
\rput(-5,25){{\scriptsize $x$}} \rput(105,25){{\scriptsize $y$}}

\rput(50,-20){{\scriptsize (a)}}

%
\pnode(120,30){a} \pnode(140,30){b} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a}{b}

% (b)
\cnode(160,30){3}{a1} \cnode(180,0){3}{a2} \cnode(180,60){3}{a3}
\cnode(260,0){3}{a4} \cnode(260,60){3}{a5} \cnode(280,30){3}{a6}

\cnode(200,0){3}{b2} \cnode(200,60){3}{b3} \cnode(240,0){3}{b4}
\cnode(240,60){3}{b5}

\ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{b2}
\ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{b3}
\ncline[arrowsize=6pt]{->}{b4}{a4}
\ncline[arrowsize=6pt]{->}{b5}{a5}

\ncline[linewidth=2pt]{b2}{b4} \ncline[linewidth=2pt]{b3}{b5}
\ncline[linewidth=2pt]{a1}{a2} \ncline[linewidth=2pt]{a1}{a3}
\ncline[linewidth=2pt]{a4}{a6} \ncline[linewidth=2pt]{a5}{a6}

\pnode(230,0){b24} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{b2}{b24}
\pnode(230,60){b35} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{b3}{b35}

\ncline{a5}{b4} \pnode(250,30){a5b4}
\ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a5b4}

\ncline{b3}{b4} \pnode(230,15){b34}
\ncline[arrowsize=6pt]{->}{b3}{b34}

\ncline{b3}{a2} \pnode(190,30){b3a2}
\ncline[arrowsize=6pt]{->}{b3}{b3a2}

\ncline[arrowsize=6pt]{->}{a4}{a3}

\pnode(170,15){a12} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a1}{a12}
\pnode(170,45){a13} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a1}{a13}

\pnode(270,15){a46} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a4}{a46}
\pnode(270,45){a56} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a56}

\rput(155,25){{\scriptsize $x$}} \rput(285,25){{\scriptsize $y$}}
\rput(180,-8){{\scriptsize $w'$}} \rput(200,-8){{\scriptsize $w''$}}
\rput(240,-8){{\scriptsize $z'$}} \rput(260,-8){{\scriptsize $z''$}}
\rput(180,68){{\scriptsize $u'$}} \rput(200,68){{\scriptsize $u''$}}
\rput(240,68){{\scriptsize $v'$}} \rput(260,68){{\scriptsize $v''$}}

\rput(220,-20){{\scriptsize (b)}}

\end{pspicture}
\end{center}
\vspace*{-3mm}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{4.6}$ \quad \bf \eufznine{(a)}\  有向图\,$D$;  \eufznine{(b)}\ $D$ 的分裂图\,$H$}
\end{quote}\vspace*{-5mm}
\end{figure}

另一方面, 设\,$B$ 是\,$H$ 中最小\,$(x,y)$ 截边集,
于是\,$|B|=\lambda_H(x,y)$, 并且\,$V(H)$ 存在划分\,$\{V',V''\}$
使\,$E_H(V',V'')=B$ 且\,$x\in V',y\in V''$. 令\,$B$
中边的起点集为\,$S$,则\,$|S|\leqslant |B|$, 而且\,$H-S$
中不存在\,$(x,y)$ 路. 令\,$S'$为\,$D$ 中与\,$S$ 对应的顶点集,
则\,$|S'|\leqslant |S|$, 而且在\,$D-S'$ 中不存在\,$(x,y)$ 路. 因此,
 $$
 \kappa_D(x,y)\leqslant |S'|\leqslant |S|\leqslant |B|=\lambda_H(x,y).
 $$
式\,(4.2.5)得证, 因而定理得证.\hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 推论\,{$\boldsymbol {4.2.2}$}~~}\ {\bf 设\,$x$ 和\,$y$ 是\,$G$ 中不相邻两顶点, 则
$\zeta_G(x,y)=\kappa_G(x,y)$.}

证明留给读者作为习题\,(习题\,4.2.1).\hfill\rule{1mm}{2mm}

 \vskip10pt
{\kaishu {\it 在本节中, 我们利用最大流最小截定理导出了\,{\rm Menger}\,定理.
然而\,{\rm Menger}\, 定理的发现是独立的.\! 为了保留其独立性,
我们给出它的直接证明, 初学者可以不读.}}


\newpage
\setcounter{page}{155}
 \vskip10pt
 {\bf 证明}{\kaishu \quad{\it 因为\,$\lambda_D(x,y)\geqslant 1$, 所以\,$D$
中存在\,$(x,y)$ 路. 对\,$d_D(x,y)=n\geqslant 1$ 用归\linebreak 纳法.

当\,$d_D(x,y)=1$, 则\,$E_D(x,y)\ne\emptyset$. 任取\,$a\in E_D(x,y)$,
并令\,$P=xay$, 则\,$a$ 必属于\,$D$ 的任何一个\,$(x,y)$ 截边集. 于是,
$\lambda_{D_P}(x,y)\geqslant\lambda_D(x,y)-1$, 结论成立.
假设对任何图\,$H$ 和\,$H$ 中任何不相同两点\,$x$ 和\,$y$,
只要\,$d_H(x,y)\leqslant n$, 引理就成立. 设\,$x$ 和\,$y$ 是\,$D$\
中不同两顶点且\,$d_D(x,y)=n+1\geqslant 2$, 并设\,$P'$ 是\,$D$
中长为\,$n+1$ 的\,$(x,y)$ 路. 取\,$a\in E(P')$ 和\,$x'\in N^+_D(x)$
使\,$\psi_D(a)=(x,x')$, 并令\,$H$ 为\,$D$ 中边\,$a$ 收 缩图\,$D\cdot
a$ \,(边收缩图的定义见习题\,{\rm 1.3.9)}, 则\,$d_H(x,y)=n$.
由归纳假设\,$H$ 中存 在一条最短\,$(x,y)$ 路\,$P''$使得\,
$\lambda_{H_{P''}}(x,y)\geqslant \lambda_H(x,y)-1$.

设\,$P''=xa_1x_1a_2\cdots a_{n-1}x_{n-1}a_ny$. 于是,
$P=xax'a_1x_1\cdots x_na_ny$ 是\,$D$ 中长为\ $n+1$ 的\,$(x,y)$ 路.
下证\,$P$ 是即为所求的\,$(x,y)$ 路. 设\,$\lambda_{D_P}(x,y)=m$,
并设\,$B\subseteq E(D)$\ 是\ $D_P$中的最小\,$(x,y)$ 截边集. 若\,$B$
也是\,$H_{P''}$ 中的\,$(x,y)$ 截边集, 则\,
$$
\lambda_{D_P}(x,y)=m\geqslant\lambda_{H_{P''}}(x,y)\geqslant
\lambda_H(x,y)-1 \geqslant \lambda_D(x,y)-1.
$$
若\,$B$ 不是\,$H_{P''}$ 中\,$(x,y)$ 截边集, 则\,$D-B$
中每条\,$(x,y)$ 路必含\,$a$. 所以\,$B\cup \{a\}$ 是\,$D$\
中\,$(x,y)$ 截边集. 于是, $\lambda_{D_P}(x,y)+1=|B\cup
\{a\}|\geqslant \lambda_D(x,y)$. 由归纳法原理,
引理得证.\hfill\rule{1mm}{2mm}
 }

{\heiti {定理\,{$\boldsymbol {4.2.1}$}\,的直接证明}}
{\kaishu
\quad {\it
只需证明\,$\eta_D(x,y)\geqslant \lambda_D(x,y)$.
若\,$\lambda_D(x,y)=0$, 即\,$D$ 中不含\,$(x,y)$ 路,
因而\,$\eta_D(x,y)=0=\lambda_D(x,y)$.
下设\,$\lambda_D(x,y)=m\geqslant 1$. 由引理知, $D$
中存在最短的\,$(x,y)$ 路\,$P_1$ 使 $\lambda_{D_{P_1}}(x,y)\geqslant
m-1$. 若\,$\lambda_{D_{p_1}}(x,y)\geqslant 1$, 则由引理知, $D_{P_1}$
中存在最短的\,$(x,y)$ 路\, $P_2$
使\,$\lambda_{D_{P_1P_2}}(x,y)\geqslant
\lambda_{D_{P_1}}(x,y)-1\geqslant m-2$.

一般地, 若\,$\lambda_{D_{P_1P_2\cdots P_{l-1}}}(x,y)\geqslant 1$,
则在 $D_{P_1P_2\cdots P_{l-1}}$ 中存在最短的\,$(x,y)$ 路\,$P_l$ 使 \
$\lambda_{D_{P_1P_2\cdots P_{l-1}P_l}}(x,y)\geqslant m-l$.
令\,$l=m$, 则\, $\lambda_{D_{P_1P_2\cdots P_m}}(x,y)\geqslant 0$,
且\,$P_1,P_2,\cdots,P_m$ 边不交, 即\,$\eta_D(x,y)\geqslant
\lambda_D(x,y)$.\hfill\rule{1mm}{2mm}
 }

{\heiti 定理\,{$\boldsymbol {4.2.1}$}\,与定理\,4.2.2\,的等价性证明}\ {\kaishu 在正文中,
已从定理\,{\rm 4.2.1}\,导出定理\,{\rm 4.2.2}. 以下只需从定理\,{\rm
4.2.2}\,导出定理\,{\rm 4.2.1}, 线图\,$($线图定义见\,{\rm
1.8}\,节$)$\,在其中起了桥梁作用. 由式\,{\rm (4.2.1)},
只需证明\,$\eta_D(x,y)\geqslant \lambda_D(x,y)$.

设\,$x$ 和\,$y$ 是\,$D$ 中不同顶点. 令\,$D$ 中分裂\,$x$ 和\,$y$
后得到的图为\,$D'$, $a=(x',x'')$, $b=(y',y'')\in E(D')$, $H$
是\,$D'$ 的线图\,$L(D')$. 于是,由定理\,{\rm 4.2.2}有\,
$\zeta_H(a,b)=\kappa_H(a,b)$. 因此, 只需证明}
$$
\eta_D(x,y)\geqslant \zeta_H(a,b), \quad \kappa_H(a,b)\geqslant
\lambda_D(x,y).
$$}
}

\newpage
\setcounter{page}{157}
\noindent
\begin{description}
{\zihao{-5}
\item[$4.2.4$]设\,$G$ 是直径为\,$2$ 的简单无向图, $x,y\in
V(G)$, $k=\min\{d_G(x),d_G(y)\}$. 证明: $G$ 中至少存在 \,$k$
条边不交\,$xy$ 路, 并且每条路的长不超过\,4. \hfill{(C. Peyrat,
1984)}

\item[$\boldsymbol{4.2.5}$]设\,$D$ 是\,$k$ 正则图, $k\geqslant 2$. 证明: 如果\,$D$
中任何两顶点, 都存在\,$k$ 条内点不交的路, 那么存在两顶点 \,$x$
和\,$y$ 使得\,$k$ 条内点不交的\,$(x,y)$ 路集中, 至少存在一条,
它的长至少是\,$d(D)+1$, 其中\,$d(D)$ 是\,$D$ 的直径.


\item[$\boldsymbol{4.2.6}$]设\,$G$ 是\,$2$ 部划分为\,$\{X,Y\}$ 的\,$k$ 正则\,$2$ 部图. 证明:

\noindent(a)\ 如果\,$G$ 是无向图, 则对任何 \,$x\in X$, 存在\,$y\in
Y$ 使\,$G$ 中存在\,$k$ 条边不交的\,$xy$ 路;\hfill{(Y. O. Hamidoune
\& M. Las Vergnas, 1988)}

\noindent(b)\ 如果\,$D$ 是有向图, 则对任何\,$x\in X$, 存在\, $y\in
Y$ 使\,$D$ 中存在\,$2k$
条边的不交有向路\,$P_1,\cdots,P_k,Q_1,\cdots,Q_k$, 其中\, $P_i$
为\,$(x,y)$ 路, 而\ $Q_i$ 为\,$(y,x)$ 路, $i=1,2,\cdots,k$.
\hfill{(徐俊明, 1993)}

\item[$\boldsymbol{4.2.7}$]设\,$A_1,\cdots,A_m$ 是集\,$S$ 的子集.
$\mathscr{A}=\{A_1,\cdots,A_m\}$ 的一个相异代表系 是指\,$S$
的子集\,$\{a_1,\linebreak a_2,\cdots,a_m\}$, 其中\,$a_i\in
A_i\,(i=1,2,\cdots,m)$  并且\,$a_i\ne a_j\,(i\ne j)$. 应用\,
Menger\,定理\,(4.2.2)\,证明: 设\,$A_1,\cdots,A_m$ 和\,$B_1,\cdots,
B_m$ 都是集\,$S$ 的子集. 则\,$\mathscr{A}=\{A_1,\cdots A_m\}$
和\,$\mathscr{B}=\{B_1,\cdots,\linebreak  B_m\}$
有一个公共相异代表系\,$\Leftrightarrow$
 $$
 |(\bigcup_{i\in I}A_i)\cap(\bigcup_{j\in J}B_j)|\geqslant |I|+|J|-m,\quad \forall\ I,J\subseteq \{1,2,\cdots,m\}.
 $$
\hfill(L. R. Jr. Ford, D. R. Fulkerson, 1958)
%证明见West书p171
\end{description}}



%\newpage
\section*{\centering{4.3\quad 连\quad 通\quad 度}}

 \index{liantongdu@{连通度}}
 \index{liantongdu@{连通度}!zhengtiliantongdu@{整体连通度}}

4.2\,节定义了两个参数\,$\kappa_D(x,y)$ 和\,$\lambda_D(x,y)$,
它们分别称为局部点连通度和局部边连通度. 本节讨论图的{\bf
整体连通度}\,(total connectivity).

 \index{fenliji@{分离集}}

设\,$D$ 是强连通图, 非空集\,$S\subset V(D)$. 若\,$D-S$ 是非强连通的,
则称\,$S$ 为\,$D$ 的 {\bf 分离集}\, (separating set). 显然, 若\,$D$
中不含支撑子图\,$K^*_{\upsilon}$, 则\,$D$ 必有分离集. 这是因为,
若\,$D$ 中不含支撑子图\,$K^*_{\upsilon}$, 则\,$D$
的直径\,$d(D)\geqslant 2$. 令\,$x,y\in V(D)$  使\,$d_D(x,y)=d(D)$.
于是, $V(D)\setminus \{x,y\}$ 就是\,$D$ 的分离集. 定义
\newpage
~~\newline \vspace{-10mm}
$$
\kappa(D)=\left\{\begin{array}%[t\b]
{ll}%[m]
0, \ \mbox{若}\ D\ \mbox{是非强连通的};&\\
\upsilon-1,\ \mbox{若}\ D\ \mbox{含支持子图}\,K^*_\upsilon;&\\
\min\{|S|:\ S\ \mbox{是}\ D\ \mbox{的分离集}\},\ \mbox{其他情形} &
\end{array}\right.
$$
为\,$D$ 的{\bf 强连通度}\,(strong connectivity).
若\,$\kappa(D)\geqslant k$, 则称\,$D$ 为\,{\bf $k$  强连通图}. 例如,
完全有向图\,$K^*_\upsilon$ 是强\,$\upsilon-1$ 连通图,
有向圈是强\,$1$ 连通图. 点数为\,$\kappa=\kappa(D)$
的分离集称为\,$\kappa$ {\bf 分离集}. 不难看出, 当\,$D$
不含\,$K^*_\upsilon$ 时,
$$
\kappa(D)=\min\{\kappa_D(x,y):\ \forall\ x,y\in V(D),
E_D(x,y)=\emptyset\}.
$$

 \index{liantongdu@{连通度}!qiangliantongdu@{强连通度}}
 \index{qiangliantongtu@{强连通图}!kqiangliantongtu@{$k$ 强连通图}}
 \index{fenliji@{分离集}!kappafenliji@{$\kappa$ 分离集}}


设\,$D$ 是强连通图, 非空集\,$B\subseteq E(D)$. 若\,$D-B$
是非强连通的, 则称\,$B$ 为{\bf 截边集} (cut-edge set). 显然,
非平凡强连通图必含截边集. 回顾在\,2.1\,节定义的割边集. 对于强连通图,
割边集必含截边集, 但截边集不一定是割边集. 而对于连通的无向图\,$G$,
这两个概念是一致的. 定义
$$
\lambda(D)=\left\{\begin{array}%[t\b]
{ll}%[m]
0, \ \mbox{若}\ D\ \mbox{的阶是\,1\,或者非强连通的};&\\
\min\{|B|:\ B\ \mbox{是}\ D\ \mbox{的截边集} \},\ \mbox{其他情形}
&
\end{array}\right.
$$
为\,$D$ 的{\bf 强边连通度}\,(strong edge-connectivity).
若\,$\lambda(D)\geqslant k$,  则称\,$D$ 为\,{\bf $k$ 强边连通图}.
例如, 完全有向图\,$K^*_\upsilon$是强\,$\upsilon-1$ 边连通图,
有向圈是强\,$1$ 边连通图. 边数为\,$\lambda=\lambda(D)$ 的截边集称为\,
$\lambda$  {\bf 截边集}. 不难看出
$$
\lambda(D)=\min\{\lambda_D(x,y):\ \forall\ x,y\in V(D)\}.
$$

 \index{jiebianji@{截边集}}
  \index{jiebianji@{截边集}!lambdajiebianji@{$\lambda$ 截边集}}

类似地可以定义无向图的连通度和边连通度. 对于\,$n$ 阶完全图\,$K_n$,有
$\kappa(K_n)=\lambda(K_n)=n-1$; 对于\,$n\,(\geqslant 3)$
阶圈\,$C_n$, 有\, $\kappa(C_n)=\lambda(C_n)=2$;
对于任何其阶\,$\upsilon\geqslant 2$ 的树\,$T$
均有\,$\kappa(T)=\lambda(T)=1$.

设\,$G$ 是无向图, $D$ 是\,$G$ 的对称有向图. 容易看出: $S$ 是\,$G$
的分离集\,$\Leftrightarrow S$ 是\,$D$ 的分离集; $B=(S,\overline S)$
是\,$G$ 的截边集\,$\Leftrightarrow (S,\overline S)$ 是\,$D$
的截边集. 因此,
$$
\kappa(G)=\kappa(D),\qquad \lambda(G)=\lambda(D).
$$

本节只讨论有向图, 所述有关\,$\kappa$ 和\,$\lambda$ 的结果,\!
对无向图自然成立,\! 不再一一赘述.
令\,$\delta(D)=\min\{\delta^+(D),\delta^-(D)\}$. 参数\,$\kappa(D)$,
$\lambda(D)$ 与\, $\delta(D)$ 之间有下列关系. 它的无向图形式由 \,H.
Whitney\,(1932)\,首次发现, 故在文献中常称为 ${\boldsymbol {\mathbf{Whitney}}}${\bf 不等式}.

 \index{whitneybudengshi@{Whitney\,不等式}}

{\bf 定理\,{$\boldsymbol {4.3.1}$}~~}\ {\bf $\kappa(D)\leqslant \lambda(D)\leqslant
\delta(D)$.}

{\bf 证明~}\ 不妨假设\,$D$ 是非平凡强连通无环有向图, 并设 \,$x\in
V(D)$ 使\,$d^+_D(x)=\delta(D)$. 由于\,$E^+_D(x)$ 是\,$D$ 的截边集,
所以 \,$\lambda(D)\leqslant \delta(D)$. 以下对\,$\lambda\geqslant 1$
用归纳法来证明\, $\kappa(D)\leqslant \lambda(D)$
对任何非平凡强连通图\,$D$ 成立.

当\,$\lambda= 1$, 结论显然成立. 假定\,$\kappa(H)\leqslant
\lambda(H)$ 对任何\,$\lambda(H)<k$ 的图\,$H$ 都成立,
并设\,$\lambda(D)=k\geqslant 2$. 于是, 存在截边集\,$B$
使\,$|B|=\lambda(D)=k$. 令\,$a\in B, H=D-a$,
则\,$\lambda(H)=k-1\geqslant 1$. 由归纳假设\,$\kappa(H)\leqslant
\lambda(H)=k-1$.

若\,$H$ 含支撑子图\,$K^*_\upsilon$, 则\,$K^*_\upsilon\subset D$.
因此,
$$
\kappa(D)=\upsilon-1=\kappa(H)\leqslant \lambda(H)=k-1<k=\lambda(D).
$$

若\,$H$ 不含\,$K^*_\upsilon$, 则\,$H$ 中存在分离集\,$S$
使\,$|S|=\kappa(H)$. 若\,$D-S$ 非强连通, 则
$$
\kappa(D)\leqslant |S|=\kappa(H)\leqslant
\lambda(H)=k-1<k=\lambda(D).
$$

若\,$D-S$ 是强连通的, 并且\,$\upsilon(D-S)=2$, 则\,
$$
\kappa(D)\leqslant \upsilon-1=|S|+1=\kappa(H)+1\leqslant
\lambda(H)+1=k=\lambda(D).
$$

下设\,$D-S$ 是强连通的, 并且\,$\upsilon(D-S)>2$.
设\,$\psi_D(a)=(x,y)$, 则\,$S\cup \{x\}$  或\,$S\cup \{y\}$ 是\,$D$
的分离集. 于是\,
$$
\kappa(D)\leqslant |S|+1=\kappa(H)+1\leqslant
\lambda(H)+1=k=\lambda(D).
$$

由归纳法原理, 定理得证.\hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 推论\,{$\boldsymbol {4.2.1.1}$}~~}\ {\bf $\kappa(G)\leqslant \lambda(G)\leqslant
\delta(G)$.} \hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 推论\,{$\boldsymbol {4.2.1.2}$}~~}\ {\bf 对任何简单平面图\,$G$
均有\,$\kappa(G)\leqslant \lambda(G)\leqslant 5$.}
\hfill\rule{1mm}{2mm}

图4.7\,所示的图\,$G$ 有\,$\kappa(G)=2,\lambda(G)=3$
和\,$\delta(G)=4$. 事实上, 对任何三个正整数\,$\kappa,\lambda$
和\,$\delta$  ($\kappa\leqslant \lambda\leqslant \delta$),
均存在无向图\,$G$ 使\,$\kappa(G)=\kappa,\lambda(G)=\lambda$
且\,$\delta(G)=\delta$  (习题\,4.3.6). 注意, 考虑\,$G$
的对称有向图\,$D$, 即知也存在满足上述条件的有向图.

对于完全图\,$K_n$, 无向圈\,$C_n\,(n\geqslant 3)$ 和树\,$T$,有\,
$$
\begin{array}{rl}
&\kappa(K_n)=\lambda(K_n)=\delta(K_n)=n-1,\\
&\kappa(C_n)=\lambda(C_n)=\delta(C_n)=2,\\
&\kappa(T)=\lambda(T)=\delta(T)=1.
\end{array}
$$


\vskip10pt
% Figure 4.7
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\psset{unit=1pt}
\begin{pspicture}(0,0)(210,70)

\cnode(33,67){3}{a1} \cnode(65,44){3}{a2} \cnode(53,6){3}{a3}
\cnode(14,6){3}{a4} \cnode(2,44){3}{a5}

\ncline{a1}{a2} \ncline{a3}{a4} \ncline{a4}{a5} \ncline{a5}{a1}

\ncline{a1}{a3} \ncline{a3}{a5} \ncline{a5}{a2} \ncline{a2}{a4}
\ncline{a4}{a1}

\cnode(173,67){3}{b1} \cnode(205,44){3}{b2} \cnode(193,6){3}{b3}
\cnode(154,6){3}{b4} \cnode(142,44){3}{b5}

\ncline{b1}{b2} \ncline{b3}{b4} \ncline{b2}{b3} \ncline{b5}{b1}

\ncline{b1}{b3} \ncline{b3}{b5} \ncline{b5}{b2} \ncline{b2}{b4}
\ncline{b4}{b1}

\ncline{a2}{b4} \ncline{a2}{b5} \ncline{a3}{b4}

\end{pspicture}
\end{center}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{4.7}$\quad {$\kappa(G)=2,\lambda(G)=3$ \mbox{和}\,$\delta(G)=4$}}
\end{quote}\vspace*{-7mm}
\end{figure}


对于一般的无向或有向图, 寻找使\,$\kappa=\delta$ 或使
\,$\lambda=\delta$ 成立的条件是很有意义的.
下面的例子给出一个使\,$\lambda=\delta$  的充分条件\, (J. L.
Jolivet\, (1972), 它的无向图形式由\, J. Plesnik \,(1975)\,得到 ).


{\bf 例\,{$\boldsymbol {4.3.1}$}~}\ 设\,$D$ 是强连通简单图, $D$ 的直径\,$d(D)\leqslant
2$, 则\, $\lambda(D)=\delta(D)$.

{\bf 证明~}\ 若\,$d(D)=0$,则\,$D$ 是平凡图.
于是有\,$\lambda(D)=0=\delta(D)$. 若\,$d(D)=1$, 则\,$D\cong
K^*_\upsilon$. 所以有\,$\lambda(D)=\upsilon-1=\delta(D)$.
下设\,$d(D)=2$. 由\,Whitney\,不等式\,(定理\,4.3.1),
只需证明\,$\lambda(D)\geqslant \delta(D)$.

令\,$B$ 是\,$D$ 的截边集使\,$|B|=\lambda(D)=\lambda$. 存在\,$V(D)$
的非空真子集\,$S$ 使 \,$(S,\overline S)$ $=B$.
设\,$B$ 在\,$S$ 中起点集为\,$X$, $B$ 在\,$\overline S$
中终点集为\,$Y$.

我们断定\,$|S\setminus X|\cdot |\overline S\setminus Y|=0$. 若不然,
取\,$x\in S\setminus X, y\in \overline S\setminus Y$,
则\,$d_D(x,y)>2$, 矛盾于\, $d(D)=2$. 不妨设\,$\overline S\setminus
Y=\emptyset$, 并设\,$Y=\{y_1,y_2,\cdots,y_b\}$. 令\,
$$
s_i=|N^-_D(y_i)\cap X|,\quad i=1,2,\cdots,b.
$$
因为\,$D$ 是简单图, 所以,
 $$
 \sum\limits_{i=1}^bs_i=\lambda (D)\geqslant b\geqslant 1.
$$
由于\,$\delta=\delta(D)=\min\{\delta^+(D),\delta^-(D)\}$, 所以
$$
\delta\leqslant d^-_D(y_i)\leqslant s_i+(b-1).
$$
于是, \,$$ b \delta \leqslant \sum\limits_{i=1}^bs_i+b(b-1)=\lambda
+b(b-1),
$$
即\,(注意到\,$\delta\geqslant \lambda\geqslant b\geqslant 1)$
$$
\lambda\geqslant b\delta-b(b-1)=\delta+(\delta-b)(b-1)\geqslant
\delta.
$$
结论成立. \hfill\rule{1mm}{2mm}


下面的例子给出图\,$G$ 是\,$k$ 连通的一个充分条件, 它由\,J. A. Bondy
\,(1969)\,和\,F. T. Boesch\,(1974)\,分别得到的.

{\bf 例\,{$\boldsymbol {4.3.2}$}~}\ 设\,$G$ 是简单无向图,
$V(G)=\{x_1,x_2,\cdots,x_\upsilon\}, d_i=d_G(x_i)$ 且\,$d_1\leqslant
d_2\leqslant \cdots\leqslant d_\upsilon$, $\upsilon\geqslant
2,1\leqslant k\leqslant \upsilon-1$.
若对每个\,$i=1,2,\cdots,\lfloor\frac 12(\upsilon-k+1)\rfloor$,
由\,$d_i\leqslant k+i-2\Rightarrow d_{\upsilon-k+1}\geqslant
\upsilon-i$, 则\,$\kappa(G)\geqslant k$.

{\bf 证明~}\ (反证法)\ 设\,$\kappa(G)<k$. 由于\,$1\leqslant
k\leqslant \upsilon-1$, 所以\,$G$ 中存在分离集\,$S$ 使\,
$\kappa(G)\leqslant |S|=k-1$. 令\,$H$ 是\,$G-S$
中阶数最小的连通分支, 并且令\,$H$ 的阶\,$\upsilon(H)=i$, 则\,
$i\leqslant \lfloor\frac 12(\upsilon-k+1)\rfloor$, 即\,$k\leqslant
\upsilon-2i+1$. 于是对每个\,$x\in V(H)$ 有\,
$$
d_G(x)\leqslant \upsilon(H)-1+|S|=i+k-2\leqslant \upsilon-i-1.
$$
因为\,$i=\upsilon(H),i\leqslant \lfloor\frac
12(\upsilon-k+1)\rfloor$ 且\,$d_i\leqslant k+i-2$, 所以, 由题设\,
$d_{\upsilon-k+1}\geqslant \upsilon-i$. 由于对任何\,$x_j\in
V(G)\setminus (V(H)\cup S)$,  有$d_j\leqslant \upsilon-i-1$,
所以\,$D$ 中使\,$d_j\geqslant \upsilon-i$ 的顶点\,$x_j$ 全在\,$S$
中. 又因为
 $$
 d_\upsilon\geqslant d_{\upsilon-1}\geqslant \cdots\geqslant d_{\upsilon-k+1}\geqslant \upsilon-i,
 $$
所以,
 $$ |S|\geqslant \upsilon-(\upsilon-k+1)+1=k. $$
这矛盾于\,$|S|=k-1$. 所以, $\kappa(G)\geqslant
k$.\hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 注}\quad 只要把\,$G$ 换\,$D$,
并令\,$d_i=\min\{d^+_D(x_i),d^-_D(x_i)\}$, 上例中 条件即为\,$k$
强连通的充分条件, 其证明只需作稍微修改.

讨论下面的例子是很有趣的.

{\bf 例\,{$\boldsymbol {4.3.3}$}~~}\  对任意的\,3\,个正整数\,$\upsilon,k$ 和\,$m$,
$2\leqslant k\leqslant \upsilon-1, 1\leqslant m\leqslant
\lfloor\frac 12(\upsilon-k+1)\rfloor$. 令\,(其定义见习题\,1.3.10)
$$
G=K_{k-1}\vee (K_m\cup K_{\upsilon-k-m+1}).
$$
若将\,$G$ 的顶点度表示成\,$d_1\leqslant d_2\leqslant \cdots\leqslant
d_\upsilon$, 则 \,$$ d_i=\left\{\begin{array}{ll}
m+k-2, & \mbox{当}\ 1\leqslant i\leqslant m;\\
\upsilon-m-1, & \mbox{当}\ m+1\leqslant i\leqslant \upsilon-k+1;\\
\upsilon-1, & \mbox{当}\ \upsilon-k+2\leqslant i\leqslant \upsilon.
\end{array}\right.
$$


\newpage
\setcounter{page}{163}
同样可以证明\,$\zeta_{D'-S}(z,y)\geqslant 1$. 因此有,
$\zeta_{D'-S}(x,y)\geqslant 1$, 矛盾于\,$S$ 是\,$D'$ 中\,$(x,y)$\
分离集的假设. 故当\,$E_D(x,y)\ne\emptyset\,$ 时,
仍有\,$\zeta_D(x,y)\geqslant k$.

($\Leftarrow$)\ 因为\,$k\geqslant 1$, 由假定知\,$D$ 是强连通的.
假设\,$D$ 含支撑子图\,$K^*_\upsilon$,
则\,$\kappa(D)=\upsilon-1\geqslant k$. 假设\,$D$
不含\,$K^*_\upsilon$, 并设\,$S$ 是\,$D$ 的\,$\kappa$ 分离集.
于是\,$D-S$ 不是强连通的, 因而存在\,$x,y\in V(D)$ 使\,$D-S$
中不存在\,$(x,y)$ 的有向路, 即\, $S$ 是\,$D$ 中\,$(x,y)$ 分离集.
于是\,$|S|\geqslant \kappa_D(x,y)$. 由假定\,$\zeta_D(x,y)\geqslant
k$, 所以 由\,Menger\,定理\,(定理4.2.2)\,有
 $$
 \kappa(D)=|S|\geqslant \kappa_D(x,y)=\zeta_D(x,y)\geqslant k.
 $$

(ii)\, 的证明留给读者\,(见习题\,4.3.1).\hfill\rule{1mm}{2mm}


{\bf 推论\,{$\boldsymbol {4.3.2}$}~~}\ {\bf  设\,$D$ 是强连通有向图, 则

(i)\  $\kappa(D)\geqslant k\Rightarrow \left\{\begin{array}{ll}
\kappa(D-x)\geqslant k-1,\ & \forall\ x\in V(D),\\
\kappa(D-a)\geqslant k-1,\ & \forall\ a\in E(D);
\end{array}\right.$

(ii)\ $\lambda(D)\geqslant k\Rightarrow\lambda(D-a)\geqslant k-1,\ \
\forall\ a\in E(D)$.} \hfill\rule{1mm}{2mm}



\vskip20pt
%\newpage
{\bf \large 习\quad 题}

\noindent
\begin{description}
\zihao{-5}
\item[$4.3.1$]证明定理\,4.3.2\,(ii)\,和推论\,4.3.1.1, 推论\,4.3.1.2\,和推论\,4.3.2.

\item[$4.3.2$]设\,$B=(S,\overline S)$ 是无向图\,$G$ 的\,$\lambda$ 截边集. 证明:
子图\,$G[S]$ 和\,$G[\overline S]$  都是连通的.

\item[$4.3.3$](a)\ 证明: 若\,$G$ 是简单图, $1\leqslant k\leqslant \upsilon-1$, 并且\,$\delta(G)\geqslant \lceil\frac
12(\upsilon+k-2)\rceil$, 则\,$\kappa(G)\geqslant k$.

\noindent(b)\ 举例说明, 对于每个正整数\,$k$,  $1\leqslant k\leqslant
\upsilon-1$, 存在\,$\upsilon$ 阶简单图\,$G$ 使\, $\delta(G)=\lceil
1/2(\upsilon+k-3)\rceil$, 并且\,$\kappa(G)<k$.

\item[$4.3.4$](a)\ 证明: 若\,$G$ 是简单图, 且\,$\delta\geqslant \upsilon-2$, 则\,$\kappa=\delta$.

\noindent(b)\ 举例说明: 存在\,$\upsilon\,(\geqslant 4)$
阶简单图\,$G$ 使\,$\delta=\upsilon-3$, 并且\,$\kappa<\delta$.

\item[$4.3.5$](a)\ 证明: 若\,$G$ 是简单图且\,$\delta\geqslant \lfloor\frac 12 \upsilon\rfloor$, 则\,$\lambda=\delta$.

\noindent(b)举例说明: 存在简单图\,$G$ 使\,$\delta=\lfloor\frac 12
\upsilon\rfloor-1$, 并且\,$\lambda<\delta$.


\item[$4.3.6$]设\,$\upsilon,\delta,\kappa$ 和\,$\lambda$ 都是给定的非负整数.
证明: 存在\,$\upsilon$ 阶简单图\,$G$ 使得\,$\delta(G)=\delta$,
$\kappa(G)=\kappa, \lambda(G)= \lambda\Leftrightarrow$
下列条件之一成立:

\noindent(a)\  $0\leqslant \kappa\leqslant \lambda\leqslant
\delta\leqslant \lfloor\frac 12\,\upsilon\rfloor$;

\noindent(b)\ $1\leqslant 2\delta+2-\upsilon\leqslant
\kappa\leqslant \lambda\leqslant \delta<\upsilon-1$;

\noindent(c)\ $\kappa=\lambda=\delta=\upsilon-1$.
\end{description}


\newpage
\setcounter{page}{171}
\noindent
题\,4.4.4). 事实上, 对于一般的整容量网络\,$N$,
我们可以证明\,(见习题\,4.4.5): 若每次修正流 \,${\boldsymbol f}$
是通过最短\,${\boldsymbol f}$ 增广路获得的,
则标号程序至多进行\,$\frac 12\,\upsilon \varepsilon$
次就可以获得最大流.

值得指出的是, 对无理数容量网络, Ford \& Fulkerson\, 给出了一个例子,
说明标号法不能在有限步内停止,
并且计算过程中得到的流序列也不收敛于最大流.

{\bf 注}\quad 当\,${\boldsymbol c}\equiv 1$ 时,
标号法求出的最大流\,${\boldsymbol f}$ 满足:
$$\lambda_D(x,y)=
\mathrm{val}\,\,{\boldsymbol f}.$$ 换言之, 标号法为求图的强边连通度提供了
一个有效算法.


\vskip20pt
%\newpage
{\bf \large 习\quad 题}

\noindent
\begin{description}
\zihao{-5}
\item[$4.4.1$]证明由式\,(4.4.1), 给出的\,$\tilde{\boldsymbol f}\in
\mathscr{E}(D)$  是\,$N$ 中\,$(x,y)$ 流且满足:

\hskip3cm val\,$\tilde{\boldsymbol f}=$ val\,\,${\boldsymbol
f}+\sigma_P(y)$.


\item[$4.4.2$]求下列容量网络中最大\,$(x,y)$ 流和最小\,$(x,y)$ 截边集.


% Figure ex 4.4.2
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\psset{unit=1.pt}
\begin{pspicture}(0,-10)(180,70)

\cnode(0,30){3}{a1} \cnode(40,0){3}{a2} \cnode(40,60){3}{a3}
\cnode(140,0){3}{a4} \cnode(140,60){3}{a5} \cnode(180,30){3}{a6}

\ncline{a1}{a2} \ncline{a1}{a3} \ncline{a3}{a2} \ncline{a2}{a4}
\ncline{a3}{a5} \ncline{a3}{a4} \ncline{a4}{a5} \ncline{a6}{a5}
\ncline{a4}{a6}

\pnode(20,15){a12} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a1}{a12}
\pnode(20,45){a13} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a1}{a13}
\pnode(40,26){a23} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a23}
\pnode(95,0){a24} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a24}
\pnode(95,60){a35} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a35}
\pnode(90,30){a34} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a4}{a34}
\pnode(140,35){a45} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a4}{a45}
\pnode(160,15){a46} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a4}{a46}
\pnode(160,45){a56} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a56}

\rput(-10,30){${\scriptsize x}$} \rput(190,30){${\scriptsize y}$}

\rput(20,7){{\scriptsize 5}} \rput(20,53){{\scriptsize 3}} \rput(90,10){{\scriptsize 2}} \rput(90,70){{\scriptsize 4}}
\rput(47,30){{\scriptsize 1}} \rput(149,30){{\scriptsize 3}} \rput(162,7){{\scriptsize 2}} \rput(162,55){{\scriptsize 5}}
\rput(90,40){{\scriptsize 1}}

\rput(95,-20){{\small(习题\,4.4.2)}}

\end{pspicture}
\end{center}
%\caption{Ex. 4.4.2}
\end{figure}

\vskip6pt

\item[$4.4.3$]利用标号法求图4.12\,所示的容量网络中的最大\,$(x,y)$ 流.

\item[$4.4.4$]证明: 标号法可以推广到函数为非负有理数的容量网络.

\item[$4.4.5$]设\,$N$ 是整容量网络. 证明:

\noindent(a)\ 在标号法中, 若每次修正流\,$\tilde{\boldsymbol f}$
是通过最短 \,${\boldsymbol f}$ 增广路获得的,
则标号程序至多进行\,$\frac 12\,\upsilon \varepsilon$ 次
就可以获得最大流;

\noindent(b)\ 标号法是有效算法,
其复杂度为\,$O(\upsilon\varepsilon^2)$.
\end{description}

\newpage
~~\newline \vspace*{-18mm}
\section*{\centering{4.5\quad 最优运输方案的设计}}

 \index{yunshufangandesheji@{运输方案的设计}!zuiyouyunshufangandesheji@{最优运输方案的设计}}


在\,4.4\,节中, 利用标号法设计运输方案时, 我们考虑的仅仅是流量,
而没有考虑 到费用\,(或者说仅考虑在各路段中单位输送量的费用都相等).
在实际问题中, 费用 的因素很重要. 由于在各路段中运输设备的不同,
所以单位输送量的费用不尽相等.
这就要求我们设计一个输送量最大且总的运输费用最小的运输方案.
这样的运输方案称为{\bf 最优运输方案}.

用一个被称为{\bf 费用容量网络}\,$N=(D_{xy},{\boldsymbol
b},{\boldsymbol c})$ 表示该交通系统, 其中\,${\boldsymbol b}\in
\mathscr{E}(D)$ 表示单位流量 {\bf 费用函数}, ${\boldsymbol c}\in
\mathscr{E}(D)$ 是{\bf 容量函数}.
图4.12(a)\,所示的是一个费用容量网络\,$N=(D_{xy},{\boldsymbol
b},{\boldsymbol c})$, 其中边\,$a$
上的有序数对分别表示费用函数\,${\boldsymbol b}$
和容量函数\,${\boldsymbol c}$ 在边\,$a$  上的值\,${\boldsymbol
b}(a)$ 和\,${\boldsymbol c}(a)$. 设\,${\boldsymbol f}$ 是\,$N$
中\,$(x,y)$ 流, 则 \,
 $$
 {\boldsymbol b}({\boldsymbol f})= \sum \limits_{a\in E(D)} {\boldsymbol f}(a){\boldsymbol b}(a)
 $$
定义为\,${\boldsymbol f}$ 的{\bf 费用}\,(cost). 若对\,$N$
中其流量等于\ val\,\,${\boldsymbol f}$  的任何一个\,$(x,y)$
流\,${\boldsymbol f}'$ 均有\,
 $$
 {\boldsymbol b(\boldsymbol f)\leqslant \boldsymbol b(\boldsymbol f')},
 $$
则称 \,${\boldsymbol f}$ 为{\bf 最小费用流}.

 \index{wanluo@{网络}!feiyongrongliangwanluo@{费用容量网络}}
 \index{hanshu@{函数}!feiyonghanshu@{费用函数}}
 \index{hanshu@{函数}!ronglianghanshu@{容量函数}}
 \index{liu@{流}!zuixiaofeiyongliu@{最小费用流}}
 \index{feiyong@{费用}}
 \index{feiyong@{费用}!feiyongrongliangwanluo@{费用容量网络}}
 \index{feiyong@{费用}!feiyonghanshu@{费用函数}}

用网络的语言,
最优运输方案的设计就是在费用容量网络\,$N=(D_{xy},{\boldsymbol
b},{\boldsymbol c})$ 中求最大\,$(x,y)$ 流\,${\boldsymbol f}$
且使费用 \,${\boldsymbol b}({\boldsymbol f})$ 最小. 这样的流称为{\bf
最小费用最大流} (minimum cost maximum flow).

\index{liu@{流}!zuixiaofeiyongzuidaliu@{最小费用最大流}}
\index{feiyong@{费用}!zuixiaofeiyongzuidaliu@{最小费用最大流}}

设\,$N=(D_{xy}, {\boldsymbol b},{\boldsymbol c})$ 为费用容量网络,
${\boldsymbol f}$ 是\,$N$ 中\,$(x,y)$ 的流. $C$ 是\,$D$
中有指定正向的圈. 令
 $$
 \begin{array}{rl}
 & \sigma_{\boldsymbol f} (a)=\left\{\begin{array}{ll}
   {\boldsymbol c}(a)-{\boldsymbol f}(a),\ & \mbox{若}\ a\in C^+;\\
   {\boldsymbol f}(a), \ & \mbox{若}\ a\in C^-.
\end{array}\right.\\
 & \sigma_{\boldsymbol f}(C)=\min\{\sigma_{\boldsymbol f}(a): a\in E(C)\}.
 \end{array}
 $$


若\,$D$ 中的圈\,$C$ 存在定向使\,$\sigma_{\boldsymbol f}(C)>0$,
则称\,$C$ 为\,${\boldsymbol f}$  {\bf 增广圈}\,(increment cycle).


\newpage
\setcounter{page}{181}{\ziju{-0.1}
假定满足\,(i)\,中要求的母图\,$D^*$ 及\,$E^*$ 已选定. 例如,
见图4.15, (b)\, 中图即为\,(a)\, 中图\,$D$ 的母图\,$D^*$,
其中\,$E^*$ 中边由曲有向边表示. 令\,$H=D^*[E^*]$. 则\,$H$
是由\,$\rho(D)$ 条边不交的起点在\,$X$ 中而终点在\,$Y$ 中有向路之并.
例如, 图4.15\,(b)\,中由曲有向边集\,$E^*$ 导出子图\,$H$
\,(如图4.15\,(c)\,所示)\,中有\,$\rho(D)=3$ 条边不交有向路:}\vspace*{-2mm}
 $$
 P_1=x_3a_1x_4a_2x_5a_3x_1,\quad P_2=x_3a_4x_4a_5x_5,\quad
 P_3=x_4a_6x_5.
 $$

% Figure 4.15
\begin{figure}[H]
\begin{center}\vspace*{-3mm}
\psset{unit=1pt}
\begin{pspicture}(0,-10)(250,200)

\cnode(140,100){3}{a1}  \cnode(240,100){3}{a2}
\cnode(190,200){3}{a3} \cnode(170,120){3}{a4} \cnode(200,140){3}{a5}

\ncline{a1}{a2} \ncline{a2}{a3} \ncline{a3}{a1} \ncline{a1}{a4}
\ncline{a2}{a4} \ncline{a3}{a4} \ncline{a2}{a5} \ncline{a3}{a5}
\ncline{a4}{a5}

\pnode(192,100){a12} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a1}{a12}
\pnode(215,150){a23} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a23}
\pnode(165,150){a31} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a31}
\pnode(180,160){a34} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a34}
\pnode(195,170){a35} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a35}
\pnode(185,130){a45} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a45}
\pnode(220,120){a25} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a25}
\pnode(155,110){a41} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a4}{a41}
\pnode(205,110){a24} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a24}

\rput(132,100){{\scriptsize $x_4$}} \rput(250,100){{\scriptsize
$x_5$}} \rput(162,124){{\scriptsize $x_3$}}
\rput(208,143){{\scriptsize $x_1$}} \rput(200,200){{\scriptsize
$x_2$}}

\rput(185,140){{\scriptsize 2}} \rput(185,160){{\scriptsize 3}}
\rput(198,95){{\scriptsize 2}} \rput(202,117){{\scriptsize 3}}
\rput(217,160){{\scriptsize 5}} \rput(200,170){{\scriptsize 1}}
\rput(219,128){{\scriptsize 2}} \rput(160,157){{\scriptsize 6}}
\rput(160,107){{\scriptsize 4}}

\rput(130,140){{\scriptsize (a)}}

% b
\cnode(0,60){3}{a1}  \cnode(100,60){3}{a2} \cnode(50,160){3}{a3}
\cnode(30,80){3}{a4} \cnode(60,100){3}{a5}

\ncline{a1}{a2} \ncline{a2}{a3} \ncline{a3}{a1} \ncline{a1}{a4}
\ncline{a2}{a4} \ncline{a3}{a4} \ncline{a2}{a5} \ncline{a3}{a5}
\ncline{a4}{a5}

\pnode(52,60){a12} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a1}{a12}
\pnode(75,110){a23} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a23}
\pnode(25,110){a31} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a31}
\pnode(40,120){a34} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a34}
\pnode(55,130){a35} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a35}
\pnode(45,90){a45} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a45}
\pnode(80,80){a25} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a25}
\pnode(15,70){a41} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a4}{a41}
\pnode(65,70){a24} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a24}

\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(3,60)(30,53)(51,50)
\pscurve(50,50)(70,53)(97,60)
\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(3,60)(30,43)(51,40)
\pscurve(50,40)(70,43)(97,60)
\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(3,60)(30,33)(51,30)
\pscurve(50,30)(70,33)(97,60)

\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(97,60)(80,70)(74,76)
\pscurve(75,75)(70,80)(60,97)

\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(30,77)(20,67)(13,63)
\pscurve(13,63)(8,61)(3,60)

\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(27,80)(20,78)(12,75)
\pscurve(12,75)(8,72)(2,63)

\rput(-8,60){{\scriptsize $x_4$}} \rput(110,60){{\scriptsize $x_5$}}
\rput(22,84){{\scriptsize $x_3$}} \rput(68,103){{\scriptsize $x_1$}}
\rput(60,160){{\scriptsize $x_2$}}

\rput(45,100){{\scriptsize 2}} \rput(45,120){{\scriptsize 3}}
\rput(58,65){{\scriptsize 2\ \ \ 3}} \rput(77,120){{\scriptsize 5}}
\rput(60,130){{\scriptsize 1}} \rput(79,88){{\scriptsize 2}}
\rput(20,117){{\scriptsize 6}}

\rput(10,70){{\scriptsize 4}}

\rput(58,55){{\scriptsize 2}} \rput(58,45){{\scriptsize 2}}
\rput(58,35){{\scriptsize 2}} \rput(65,78){{\scriptsize 2}}
\rput(26,65){{\scriptsize 4}} \rput(3,75){{\scriptsize 4}}

\rput(-10,100){{\scriptsize (b)}}

% c
\cnode(140,30){3}{a1}  \cnode(240,30){3}{a2} \cnode(170,50){3}{a4}
\cnode(200,70){3}{a5}

\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(143,30)(170,23)(191,20)
\pscurve(190,20)(210,23)(237,30)
\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(143,30)(170,13)(191,10)
\pscurve(190,10)(210,13)(237,30)
\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(143,30)(170,3)(191,0)
\pscurve(190,0)(210,3)(237,30)

\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(237,30)(220,40)(214,46)
\pscurve(215,45)(210,50)(200,67)

\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(170,47)(160,37)(153,33)
\pscurve(153,33)(148,31)(143,30)

\pscurve[arrowsize=6pt]{->}(167,50)(160,48)(152,45)
\pscurve(152,45)(148,42)(142,33)

\rput(132,30){{\scriptsize $x_4$}} \rput(250,30){{\scriptsize
$x_5$}} \rput(179,54){{\scriptsize $x_3$}}
\rput(208,73){{\scriptsize $x_1$}}

\rput(198,25){{\scriptsize $a_2$}} \rput(198,15){{\scriptsize
$a_5$}} \rput(198,5){{\scriptsize $a_6$}} \rput(204,48){{\scriptsize
$a_3$}} \rput(168,35){{\scriptsize $a_4$}}
\rput(143,45){{\scriptsize $a_1$}}

\rput(130,60){{\scriptsize (c)}}

\end{pspicture}
\end{center}
\vspace*{-5mm}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{4.15}$ \quad \bf \eufznine{(a)}\  加权图\,$(D,{\boldsymbol w})$;
\eufznine{(b)}\  $(D^*,{\boldsymbol w^*})$; \eufznine{(c)}\ $H=G^*[E^*]$}
\end{quote}\vspace*{-6mm}
\end{figure}

反之, 任何\,$\rho(D)$ 条起点在\,$X$ 中而终点在\,$Y$
中且权最小的有向路的边集\,$E^*$ \,(其中若边\,$a$ 是\,$m$
条有向路的公共边, 则计算\,$m$ 次)\,都是\,(i)\,的解\,(因为此时\,$D^*$
为平衡图). 于是, (i)\,的解归结为在\,$D$ 中选取\,$\rho=\rho(D)$
条起点在\,$X$ 而终点 在\,$Y$ 的有向路\,$P_1, P_2,\cdots,P_{\rho}$
使权和\,${\boldsymbol w}(P_1)+{\boldsymbol
w}(P_2)+\cdots+{\boldsymbol w}(P_{\rho})$ 最小.

为此, 我们构作费用容量网络\,$N=(D'_{x_0y_0},{\boldsymbol
b,\boldsymbol c})$, 其中\,$D'$ 为在\,$D$ 上添加两个新 顶点\,$x_0$
和\,$y_0$, 然后用容量为\,$\rho(x)$, 费用为\,0\,的起点\,$x_0$
的边连接\,$x_0$ 到\,$X$  中每个顶点\,$x$; 用容量为\,$-\rho(y)$,
费用为\,0\,的终点为\,$y_0$ 的边连接\,$Y$ 中每个顶点\,$y$ 到\,$y_0$.
当$ a\in E(D)$ 时, ${\boldsymbol b}(a)={\boldsymbol w}(a),
{\boldsymbol c}(a)=\infty$. 图4.16\,(a)\,所示是\, $D'$
和\,$N=(D'_{x_0y_0},{\boldsymbol b,\boldsymbol c})$, 其中\,$D$
是图4.15中\,(a)\,图.

于是$N$ 中每个单位$(x_0,y_0)$ 流${\boldsymbol f}_0$ 都可以视为\,$D$
的一条$(x,y)$ 路$P_0$, 其中$x\in X$,\ $y\in Y$. ${\boldsymbol f}_0$
的费用${\boldsymbol b}({\boldsymbol f}_0)={\boldsymbol w}(P_0)$. 由于$E^+_{D'}(x_0)$
和$E^-_{D'}(y_0)$ 都是$D'$ 的$(x_0,y_0)$ 截边集且容量 均为$\rho(D)$,
任何其他$(x_0,y_0)$ 截边集都有容量$\infty$.于是$E^+_{D'}(x_0)$
和$E^-_{D'}(y_0)$ 都是\,$N$ 中具有最小容量的$(x_0,y_0)$ 截边集.
由最大流最小截定理(4.1)知, $N$ 中最大$(x_0,y_0)$ 流\,${\boldsymbol
f}$ 的流量val\,${\boldsymbol f}=\rho(D)$. 因此,
求解(i)的问题归结为求$N$ 中最小费用最大流问题.
而求后者已有Klein算法(见\,4.5节). 归纳上述过程, 我们叙述如下:

\vskip7pt \noindent${\boldsymbol {\mathbf{Edmonds}}}$-${\boldsymbol {\mathbf{Johnson}}}$\,{\bf 算法}
\begin{description}

 \index{tulunsuanfa@{图论算法}!edmondsjohnsonsuanfa@{Edmonds-Johnson\,算法}}

\item[${\boldsymbol 1.}$] 构造\,$D'$ 和\,$N=(D'_{x_0y_0},{\boldsymbol b}, {\boldsymbol
c})$;

\item[${\boldsymbol 2.}$]求\,$N$ 中最小费用最大流;

\item[${\boldsymbol 3.}$]构造\,$D^*$;

\item[${\boldsymbol 4.}$]求\,$D^*$ 中\,Euler\,有向回, 即\,$(D,{\boldsymbol
w})$ 最优邮路.
\end{description}

{\bf 例\,{$\boldsymbol {4.6.2}$}~~}\
考虑图4.15\,(a)\,中所示的强连通加权图\,$(D,{\boldsymbol
w})$. 由\,Edmonds-Johnson 算法, 先构作\,$D'$
和\,$N=(D'_{x_0y_0},{\boldsymbol b,\boldsymbol c})$.
如图4.16\,(a)中所示, 边\,$a$
上的数值分别是费用\,${\boldsymbol b}(a)$ 和容量 \,${\boldsymbol
c}(a)$. 利用\,Klein\,算法\,(当然, 这里通过观察就可以)\,求出最小费用
最大流\,${\boldsymbol f}$ 如图4.16\,(b)\,中所示,
其中\,${\boldsymbol f}(a)$ 表示边\,$a$ 在\,$E^*$  中出现的次数.
$D^*$
(即图4.13\,或图4.15\,(b)\,中所示的图)\,和最优邮路

 $
 \text{~~~~~~~~~~~}P=(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_2,x_4,x_5, x_3,x_4,x_5,x_1,x_3,x_4,x_5,x_1)
 $

\noindent 如图4.15\,(b)\,所示, 而且\,${\boldsymbol
w}(P)=44$.\hfill\rule{1mm}{2mm}

% Figure 4.16
\begin{figure}[H]
\vspace*{2mm}
\begin{center}
\psset{unit=0.8pt}
\begin{pspicture}(0,-10)(200,160)

\cnode(0,30){3}{a1} \cnode(40,0){3}{a2} \cnode(150,0){3}{a3}
\cnode(190,30){3}{a4} \cnode(150,60){3}{a5} \cnode(40,60){3}{a6}
\cnode(80,20){3}{a7}

\ncline{a1}{a2} \ncline{a2}{a3} \ncline{a3}{a4} \ncline{a4}{a5}
\ncline{a5}{a6} \ncline{a6}{a1} \ncline{a2}{a6} \ncline{a3}{a5}
\ncline{a3}{a6} \ncline{a2}{a7} \ncline{a5}{a7} \ncline{a3}{a7}
\ncline{a6}{a7}

\pnode(20,15){a12} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a1}{a12}
\pnode(20,45){a16} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a1}{a16}
\pnode(170,15){a34} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a34}
\pnode(170,45){a54} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a54}
\pnode(95,0){a23} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a23}
\pnode(95,60){a56} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a56}
\pnode(40,30){a26} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a6}{a26}
\pnode(150,30){a35} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a35}
\pnode(115,40){a57} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a57}
\pnode(60,10){a27} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a7}{a27}
\pnode(67.5,45){a36} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a36}
\pnode(115,10){a37} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a37}
\pnode(60,40){a67} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a7}{a67}

\rput(-8,30){{\scriptsize $x_0$}} \rput(199,30){{\scriptsize $y_0$}}
\rput(40,-7){{\scriptsize $x_4$}} \rput(150,-7){{\scriptsize $x_5$}}
\rput(40,67){{\scriptsize $x_3$}} \rput(150,67){{\scriptsize $x_1$}}
\rput(80,12){{\scriptsize $x_2$}}

\rput(17,10){{\scriptsize 1}} \rput(17,50){{\scriptsize 2}}

\rput(30,30){{\scriptsize 2}}

\rput(58,18){{\scriptsize 0}} \rput(58,34){{\scriptsize 0}}

\rput(95,-7){{\scriptsize 3}} \rput(110,6){{\scriptsize 0}}
\rput(130,40){{\scriptsize 0}} \rput(80,50){{\scriptsize 0}}
\rput(95,67){{\scriptsize 0}}

\rput(157,30){{\scriptsize 1}}

\rput(173,10){{\scriptsize 2}} \rput(173,50){{\scriptsize 1}}

\rput(-40,30){{\scriptsize (b)}}

% a

\cnode(0,130){3}{a1} \cnode(40,100){3}{a2} \cnode(150,100){3}{a3}
\cnode(190,130){3}{a4} \cnode(150,160){3}{a5} \cnode(40,160){3}{a6}
\cnode(80,120){3}{a7}

\ncline{a1}{a2} \ncline{a2}{a3} \ncline{a3}{a4} \ncline{a4}{a5}
\ncline{a5}{a6} \ncline{a6}{a1} \ncline{a2}{a6} \ncline{a3}{a5}
\ncline{a3}{a6} \ncline{a2}{a7} \ncline{a5}{a7} \ncline{a3}{a7}
\ncline{a6}{a7}

\pnode(20,115){a12} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a1}{a12}
\pnode(20,145){a16} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a1}{a16}
\pnode(170,115){a34} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a34}
\pnode(170,145){a54} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a54}
\pnode(95,100){a23} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a23}
\pnode(95,160){a56} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a56}
\pnode(40,130){a26} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a6}{a26}
\pnode(150,130){a35} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a35}
\pnode(115,140){a57} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a57}
\pnode(60,110){a27} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a7}{a27}
\pnode(67.5,145){a36} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a36}
\pnode(115,110){a37} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a37}
\pnode(60,140){a67} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a7}{a67}

\rput(-8,130){{\scriptsize $x_0$}} \rput(199,130){{\scriptsize
$y_0$}} \rput(40,93){{\scriptsize $x_4$}} \rput(150,93){{\scriptsize
$x_5$}} \rput(40,167){{\scriptsize $x_3$}}
\rput(150,167){{\scriptsize $x_1$}} \rput(80,112){{\scriptsize
$x_2$}}

\rput(15,110){{\scriptsize 0,1}} \rput(15,150){{\scriptsize 0,2}}

\rput(28,130){{\scriptsize 4,$\infty$}}

\rput(55,118){{\scriptsize 6,$\infty$}} \rput(53,134){{\scriptsize
3,$\infty$}}

\rput(95,93){{\scriptsize 2,$\infty$}} \rput(108,106){{\scriptsize
5,$\infty$}} \rput(135,140){{\scriptsize 1,$\infty$}}
\rput(83,150){{\scriptsize 3,$\infty$}} \rput(95,167){{\scriptsize
2,$\infty$}}

\rput(163,130){{\scriptsize 2,$\infty$}}

\rput(176,110){{\scriptsize 0,2}} \rput(176,150){{\scriptsize 0,1}}

\rput(-40,130){{\scriptsize (a)}}

\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{-4mm}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{4.16}$ \quad \bf \eufznine{(a)}\  费用容量网络\,$N=(D'_{x_{_0}y_{_0}},{\boldsymbol
b},{\boldsymbol c})$; \eufznine{(b)}\ $N$ 中最小费用最大流}
\end{quote}
\vspace*{-8mm}
\end{figure}

\newpage
\setcounter{page}{188}
\noindent 其中\,${\boldsymbol C}$ 是圈空间$\mathscr{C}(D)$
中对应于某支撑树\,$T$ 的基矩阵, 而 \,${\boldsymbol g}^{\mathrm T}$
是向量\,${\boldsymbol g}$ 的转置. 由式\,(4.7.1)\, $\sim$
式\,(4.7.3)\,得到矩阵方程:
\begin{equation*}\begin{split}\label{e4.7.4}
\left.{\boldsymbol K}\choose{\boldsymbol C}\right.{\boldsymbol
g}^{^{\mathrm T}}=\left.{\sigma}\choose{\boldsymbol O}\right.,
\end{split}\end{equation*}
其中\,${\boldsymbol K}$ 是从\,$D$ 的关联矩阵\,${\boldsymbol M}$
中删去顶点\,$y$ 所在行后所得到的 矩阵.
这个矩阵方程可以用\,Cramer\,法则求解. 由于
$$
{\rm det}\,\left.{\boldsymbol K}\choose{\boldsymbol C}\right.=\pm
\tau (D)
$$
(习题\,2.3.1), 所以当\,$\sigma=\tau (D)$
时方程\,(4.7.4)\,有整数解. 于是, 在计算流 \,${\boldsymbol g}$
时, 取值\ val\,\,${\boldsymbol g}=\tau (D)$ 是合宜的.

下面举个例子来说明上述方法.

{\bf 例\,{$\boldsymbol {4.7}$}}\quad 考察图4.20\,(a)\,
中所示的\,3\,连通平面图\,$G$, (b)\,所示的是\,$G-xy$
的定向图\,$D=(V(D),E(D))$, 其中
$$
\begin{array}{rl}
&V(D)=\{x,x_1,x_2,x_3,x_4,y\},\\
&E(D)=\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6,a_7,a_8,a_9\}.
\end{array}
$$

% Figure 4.20
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\psset{unit=1.15pt}
\begin{pspicture}(0,-10)(220,130)

\cnode(40,0){3}{a1} \cnode(90,40){3}{a2} \cnode(80,70){3}{a3}
\cnode(40,120){3}{a4} \cnode(10,70){3}{a5} \cnode(40,50){3}{a6}

\ncline{a1}{a2} \ncline{a2}{a3} \ncline{a3}{a4} \ncline{a4}{a5}
\ncline{a5}{a1} \ncline{a6}{a1} \ncline{a6}{a2} \ncline{a6}{a3}
\ncline{a6}{a5}

\pscurve(37,0)(-10,80)(37,120)

\rput(42,-7){{\scriptsize $y$}} \rput(42,128){{\scriptsize $x$}}
\rput(42,58){{\scriptsize $x_3$}} \rput(100,42){{\scriptsize $x_2$}}
\rput(90,72){{\scriptsize $x_1$}} \rput(2,70){{\scriptsize $x_4$}}

\rput(20,-10){{\scriptsize (a)}}

% b
\cnode(160,0){3}{a1} \cnode(210,40){3}{a2} \cnode(200,70){3}{a3}
\cnode(160,120){3}{a4} \cnode(130,70){3}{a5} \cnode(160,50){3}{a6}

\ncline{a1}{a2} \ncline{a2}{a3} \ncline{a3}{a4} \ncline{a4}{a5}
\ncline{a5}{a1} \ncline{a6}{a1} \ncline{a6}{a2} \ncline{a6}{a3}
\ncline{a6}{a5}

\pnode(185,20){a12} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a2}{a12}
\pnode(205,55){a23} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a23}
\pnode(180,95){a34} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a4}{a34}
\pnode(145,95){a45} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a4}{a45}
\pnode(145,35){a15} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a15}
\pnode(145,60){a56} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a5}{a56}
\pnode(160,25){a16} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a6}{a16}
\pnode(185,45){a26} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a6}{a26}
\pnode(180,60){a36} \ncline[arrowsize=6pt]{->}{a3}{a36}

\rput(140,30){{\scriptsize $a_3$}} \rput(140,100){{\scriptsize
$a_5$}} \rput(150,68){{\scriptsize $a_4$}}
\rput(200,20){{\scriptsize $a_2$}} \rput(180,110){{\scriptsize
$a_6$}} \rput(180,70){{\scriptsize $a_7$}}
\rput(180,40){{\scriptsize $a_1$}} \rput(169,24){{\scriptsize
$a_9$}} \rput(213,58){{\scriptsize $a_8$}}

\rput(162,-7){{\scriptsize $y$}} \rput(162,128){{\scriptsize $x$}}
\rput(162,58){{\scriptsize $x_3$}} \rput(220,42){{\scriptsize
$x_2$}} \rput(210,72){{\scriptsize $x_1$}}
\rput(122,70){{\scriptsize $x_4$}}

\rput(140,-10){{\scriptsize (b)}}

\end{pspicture}
\end{center}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{4.20}$\quad 例\,{\eufznine{4.7}}\,的辅助图}
\end{quote}\vspace*{-3mm}
\end{figure}



令\,${\boldsymbol K}$ 为\,$D$ 的关联矩阵\,${\boldsymbol M}$
去掉\,$y$ 所在行后得到的矩阵, 即 \newpage ~~\newline \vspace*{-8mm}
$$
{\boldsymbol K}=\left(\begin{array}{rrrrrrrrr}
0&0&0&0&0&-1&1&1&0\\
-1&1&0&0&0&0&0&-1&0\\
1&0&0&-1&0&0&-1&0&1\\
0&0&1&1&-1&0&0&0&0\\
0&0&0&0&1&1&0&0&0\\
\end{array}\right).
$$

\noindent $\det\,{\boldsymbol{(KK}}^{\mathrm T})=66=\tau(D)$
(见例\,2.3.3). 令\,$T$ 是由 $\{a_5,a_6,a_7,a_8,a_9\}$ 导出的支撑树.
于是, 圈空间\,$\mathscr{C}(D)$  中对应于支撑树\,$T$ 的基矩阵\,$C$ 为

$$ {\boldsymbol C}=\left(\begin{array}{rrrrrrrrr}
1&0&0&0&0&0&1&-1&0\\
0&1&0&0&0&0&-1&1&-1\\
0&0&1&0&1&-1&-1&0&0\\
0&0&0&1&1&-1&-1&0&0\\
\end{array}\right).
$$

\noindent 设所要求的割向量\,${\boldsymbol g}\in \mathscr{E}(D)$ 为
$$
{\boldsymbol g}=(g_1,g_2,g_3,g_4,g_5,g_6,g_7,g_8,g_9),\quad \mbox{其中}\
g_i={\boldsymbol g}(a_i),\ \forall\ a_i\in E(D).
$$
则由式\,(4.7.3)\,得下述由九个方程组成的方程组为

$$
\left(\begin{array}{rrrrrrrrr}
0&0&0&0&0&-1&1&1&0\\
-1&1&0&0&0&0&0&-1&0\\
1&0&0&-1&0&0&-1&0&1\\
0&0&1&1&-1&0&0&0&0\\
0&0&0&0&1&1&0&0&0\\
1&0&0&0&0&0&1&-1&0\\
0&1&0&0&0&0&-1&1&-1\\
0&0&1&0&1&-1&-1&0&0\\
0&0&0&1&1&-1&-1&0&0\\
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} g_1\\
g_2\\ g_3\\ g_4\\ g_5\\ g_6\\ g_7\\ g_8\\ g_9\end{array}\right)
=\left(\begin{array}{c} 66\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\\0\end{array}\right)
$$

\noindent 这个方程组的解是
$$
{\boldsymbol
g}=(g_1,g_2,g_3,g_4,g_5,g_6,g_7,g_8,g_9)=(36,30,14,16,20,2,18,28,8).
$$
基于这个割向量的方化矩形恰好是图4.17\,所示完美矩形中所有尺寸都放大一倍
而得到的矩形.\hfill\rule{1mm}{2mm}

\newpage
\setcounter{page}{191}
Menger\,定理是本章, 乃至图论的核心定理, 本章是通过最大流最小截定理
来导出它. Menger\,定理\,(4.2.2)\,的原始证明见\,K. Menger\,(1927),
它的背景材料见\,Menger\, (1981). 它有许多变型和推广. 本章叙述的形式
属于\,G. A. Dirac\,(1963), 它的最简单的直接证明见\,J. S. Pym\,
(1969)\,和\,W. McCuaing\, (1984). 边形式的\,Menger\,定理\,(4.2.1)\,
是 由\,Ford \& Fulkerson\, (1956)\,和\,Elias, Feinstain \& Shannon\,
(1956)\,在研究网 络理论时, 作为副产品独立发现的. 1966\,年,
Tutte\,发表了有关连通度研究专著“Connectivity in Graphs”.
关于连通度研究结果 和进展可参阅\,W. Mader (1979), Bermond, Homopono
\& Peyrat\, (1989)\, 和\, R. J. Faudree\,(1993)\,的综述文献以及\,
Bollab\'as (1978)\,的 著作第1章.

网络流理论是\,Ford \& Fulkerson\,建立和发展起来的. 有兴趣的读者
可参阅他们的原著``Flows in Networks''(1962), 也可参阅\,R. K. Ahuja,
T. L. Magnanti\,和\,J. B. Orlin\,著作“Network Flows --- Theory,
Algorithms and Applications”. 最大流最小截定理
\,(4.1)\,的发现和应用密切了图论与运筹学, 特别是线性规划之间的关系.
标号法的复杂度为\,$O(v\varepsilon^2)$.

上世纪\,70\,年代之后, 围绕减少最大流算法的复杂度相继出现了许多改进
的方法. 有兴趣的读者可参阅田丰和马仲蕃的著作
《图与网络流理论》(1987)\,的第九章. 关于中国投递员问题的研究进展,
算法改进, 问题的变型和推广以及各方面 的应用, 可参见管梅谷\ (1984)\
的综述报告. 方化矩形的历史及其研究进展可参见\ P. J. Federico\,
(1979)\ 的综述文章, 本节材 料主要来源于\ Bondy \& Murty\,(1976)\
的第12章.

连通度在计算机和通讯网络中有着重要的应用, 是大规模并行和互连容错
网络可靠性和有效性分析的基础. 鉴于篇幅有限, 本书不能作介绍.
有兴趣的读者可参阅徐俊明的专著《组合网络理论》(2007).


\newpage
\chapter{匹配与独立集}
\newpage

\newpage
\setcounter{page}{199}
{\bf 推论\,{$\boldsymbol {5.1.2.3}$}}\quad {\bf
%偶阶完全图\,$K_{2n}\,(n\geqslant 1)$ 有完备匹配.}
完全图\,$K_{2n}$ 有\,$2n-1$ 个互不相交的完备匹配}.
\hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 证明}\quad 当\,$n=1$ 时, 结论显然成立. 下设\,$n\geqslant 2$.
令\, $V(K_{2n})=\{x_1,x_2,\cdots,x_{2n}\}$, 并对每个
\,$i=1,2,\cdots,2n-1$, 令\,$E(K_{2n})$ 的子集\,\vspace*{-1mm}
$$
M_i=\{x_ix_{2n}\}\cup\{x_{i-j}x_{i+j}:\ j=1,2,\cdots,n-1\},
$$
其中\,$i-j$ 和\,$i+j$ 都是\,mod \,$(2n-1)$\,的. 也可以按下列方法得到
\,$M_i$: 将平面上正\,$2n-1$ 边形的点代表
\,$x_1,x_2,\cdots,x_{2n-1}$, 而该正边形的中心代表\,$x_{2n}$,
并用直线段连接每对顶点. 于是, $M_i$ 的边即为\,$x_ix_{2n}$
和所有与\,$x_ix_{2n}$ 垂直的边. 例如, 当\,$n=3$ 时, $M_i$
如图5.5\,所示.


如此得到的\,$M_i\,(i=1,2,\cdots,2n-1)$ 为\,$K_{2n}$ 的\,$2n-1$
互不相交的完备匹 配.\hfill \rule{1mm}{2mm}


\vskip10pt
%f5.5
\begin{figure}[ht]  % h: here; t: top; b: bottom
\psset{unit=.9} \vspace*{-4mm}    % scale
\begin{pspicture}(-4.2,-1)(1,1.2)
\rput{18}{\SpecialCoor\degrees[5]\cnode(0;0){.08}{0}
\multido{\i=1+1}{5}{\cnode(1;\i){.08}{\i}\ncline{0}{\i}}}
\ncline{1}{2}\ncline{2}{3}\ncline{3}{4}\ncline{4}{5}
\ncline{1}{5}
\ncline{1}{3}\ncline{1}{4}\ncline{2}{4}\ncline{2}{5}\ncline{5}{3}
\rput(0.14,0.17){\scriptsize$x_6$}
\rput(0.08,1.2){\scriptsize$x_1$}\rput(-1.2,0.3){\scriptsize$x_5$}
\rput(1.22,0.3){\scriptsize$x_2$}\rput(-0.55,-1.05){\scriptsize$x_4$}\rput(0.57,-1.05){\scriptsize$x_3$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-2,-1)(1,1.2)
\rput{18}{\SpecialCoor\degrees[5]\cnode(0;0){.08}{0}
\multido{\i=1+1}{5}{\cnode(1;\i){.08}{\i}}}
\ncline{3}{4}\ncline{2}{5}\rput(0.14,-0.3){\scriptsize$x_6$}
\ncline{0}{1}
\rput(0.08,1.2){\scriptsize$x_1$}\rput(-1.3,0.3){\scriptsize$x_5$}
\rput(1.32,0.3){\scriptsize$x_2$}\rput(-0.55,-1.05){\scriptsize$x_4$}\rput(0.57,-1.05){\scriptsize$x_3$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-2,-1)(1,1.2)
\rput{18}{\SpecialCoor\degrees[5]\cnode(0;0){.08}{0}
\multido{\i=1+1}{5}{\cnode(1;\i){.08}{\i}}}
\ncline{2}{3}\ncline{1}{4}\rput(0.14,-0.3){\scriptsize$x_6$}
\ncline{0}{5}
\rput(0.08,1.2){\scriptsize$x_1$}\rput(-0.6,0.3){\scriptsize$x_5$}
\rput(1.32,0.3){\scriptsize$x_2$}\rput(-0.25,-0.9){\scriptsize$x_4$}\rput(0.57,-1.13){\scriptsize$x_3$}
\end{pspicture}
\vskip6pt
\begin{pspicture}(-4.2,-1)(1,2.2)
\rput{18}{\SpecialCoor\degrees[5]\cnode(0;0){.08}{0}
\multido{\i=1+1}{5}{\cnode(1;\i){.08}{\i}}}
\ncline{2}{1}\ncline{3}{5}\rput(0.0,0.2){\scriptsize$x_6$}
\ncline{0}{4}
\rput(0.08,1.2){\scriptsize$x_1$}\rput(-1.2,0.3){\scriptsize$x_5$}
\rput(1.32,0.3){\scriptsize$x_2$}\rput(-0.55,-1.05){\scriptsize$x_4$}\rput(0.57,-1.05){\scriptsize$x_3$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-2,-1)(1,2.2)
\rput{18}{\SpecialCoor\degrees[5]\cnode(0;0){.08}{0}
\multido{\i=1+1}{5}{\cnode(1;\i){.08}{\i}}}
\ncline{2}{4}\ncline{1}{5}\rput(0.14,-0.25){\scriptsize$x_6$}
\ncline{0}{3}
\rput(0.08,1.2){\scriptsize$x_1$}\rput(-1.25,0.3){\scriptsize$x_5$}
\rput(1.32,0.3){\scriptsize$x_2$}\rput(-0.55,-1.05){\scriptsize$x_4$}\rput(0.57,-1.05){\scriptsize$x_3$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-2,-1)(1,2.2)
\rput{18}{\SpecialCoor\degrees[5]\cnode(0;0){.08}{0}
\multido{\i=1+1}{5}{\cnode(1;\i){.08}{\i}}}
\ncline{1}{3}\ncline{5}{4}\rput(0.14,-0.25){\scriptsize$x_6$}
\ncline{0}{2}
\rput(0.08,1.2){\scriptsize$x_1$}\rput(-0.75,0.5){\scriptsize$x_5$}
\rput(1.32,0.3){\scriptsize$x_2$}\rput(-0.55,-1.05){\scriptsize$x_4$}\rput(0.57,-1.05){\scriptsize$x_3$}
\end{pspicture}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{5.5}$ \quad \bf \  $K_6$ 的\,\eufznine{5}\,个互不相交的完备匹配}
\end{quote}\vspace*{-3mm}
\end{figure}


%\begin{figure}[h]{\vskip6cm}\caption{
%\label{f5.5}                                             %f5.5
%\footnotesize \,$K_6$ 的\,5\,个互不相交的完备匹配}
%\end{figure}



Tutte\,定理\,(5.1.2)\,是从\,Hall\,定理\,(5.1.1)\,导出的. 事实上,
也可以从\,Tutte\, 定理导出\,Hall\,定理,
其证明留给读者\,(习题\,5.1.11).

{\kaishu 下面给出\,{\rm L. Lov\'asz\,(1973)}\,对定理\,{\rm
5.1.2}\,的直接证明. 只需证明条件\,{\rm (5.1.2)}\,
的充分性.

{\rm (}反证法{\rm )}\ 设\,$V(G)$ 的任何真子集\,$S$ 满足式\,{\rm
(5.1.2)}\,但\,$G$ 没有完备匹配. 不妨设\ $G$\
是没有完备匹配的极大简单图\,$G^*$ 的支撑子图. 这里的极大是指在\,
$G^*$的任何不相邻两顶点之间添加一条边\,$e$, 则\,$G^*+e$
含有完备匹配. 由于 \,$G-S$ 是\,$G^*-S$ 的支撑子图,
所以\,$o(G^*-S)\leqslant o(G-S)$. 因而由式\,{\rm (5.1.2)}\,有}
\begin{equation*}\begin{split}\label{e5.1.3}                                   %e5.1.3
o(G^*-S)\leqslant |S|,\quad \forall\ S\subset V(G^*),
\end{split}\tag{5.1.3}\end{equation*}


\newpage
\setcounter{page}{204}
{\bf 例\,{$\boldsymbol {5.1.3}$}}\ (G. Birkhoff, 1946 \& J. von. Neuman, 1953)\quad
设\,${\boldsymbol Q}$ 是行元素之和与列元素之和均为\,1\,的\,$m\times
n$ 非负实矩阵\,(这样的矩阵称为{\bf 双随机矩阵}\,(doubly stochastic
matrix)), 则

 \index{juzhen@{矩阵}!shuangsuijijuzhen@{双随机矩阵}}

\ \ (i)\ ${\boldsymbol Q}$ 是方阵;

\ (ii)\ ${\boldsymbol Q}$ 的任何行与列有一个公共的非零元素;

(iii)\ ${\boldsymbol Q}$ 能表示成置换方阵的凸线性组合,
即存在实数\,$c_i$ 使得\,
$$
{\boldsymbol Q}=c_1{\boldsymbol P}_1+c_2{\boldsymbol
P}_2+\cdots+c_k{\boldsymbol P}_k,
$$
其中\,${\boldsymbol P}_i\, (i=1,2,\cdots,k)$ 为置换方阵,
并且\,$c_1+c_2+\cdots+c_k=1$.

{\bf 证明}\quad (i)\ 证明\,$m=n$. 事实上, 由于\,${\boldsymbol
Q}=(q_{ij})_{m\times n}$  的行元素之和与列元素之和均为\,1, 所以,
 $$
n=\sum \limits_{j=1}^n \left(\sum \limits_{i=1}^mq_{ij} \right)
=\sum \limits_{i=1}^m \left(\sum \limits_{j=1}^nq_{ij} \right) =m.
 $$

(ii)\ 构造简单\,$2$ 部图\,$G=(X\cup Y,E)$, \ $X$ 和\,$Y$
分别是\,${\boldsymbol Q}=(q_{ij})$  的行号集和列号集, $x_i\in X,\,
y_j\in Y,\, x_iy_j\in E(G)\Leftrightarrow q_{ij}>0$.

任取\,$S\subseteq X$. 不妨设\,$S=\{x_1,x_2,\cdots,x_k\}$,
$Y\setminus N_G(S)=\{y_1,y_2,\cdots,y_{\ell}\}$. 则\,
$q_{ij}=0,1\leqslant i\leqslant k,1\leqslant j\leqslant {\ell}$.
由于\,${\boldsymbol Q}$\,是双随机矩阵, 对任何\,$1\leqslant
j\leqslant {\ell}$ 有\,$\sum \limits_{i=1}^nq_{ij}=1$. 所以,
$$
{\ell}=\sum \limits_{j=1}^{\ell} \left(\sum \limits_{i=1}^nq_{ij}
\right) =\sum \limits_{i=k+1}^n \left(\sum
\limits_{j=1}^{\ell}q_{ij} \right) \leqslant \sum \limits_{i=k+1}^n
\left(\sum \limits_{j=1}^nq_{ij}\right) =n-k,
$$
即有 \,$$ |S|=k\leqslant n-{\ell}=|N_G(S)|, \quad \forall \ S
\subseteq X.
$$
由\,Hall\,定理知, $G$ 中存在饱和\,$X$ 的匹配\,$M$.
由\,(i)\,知\,$|X|=|Y|$, 所以\,$M$ 是\,$G$ 的完备匹配,
即\,${\boldsymbol Q}$ 的任何行与列有一个公共的非零元素.

(iii)\ 对\,$n$ 阶双随机方阵中正元素数目\,$r$ 用归纳法.
由双随机方阵的定义知 \,$r\geqslant n$. 当\,$r=n$ 时,
任何双随机方阵都是置换方阵, 结论成立. 假定对正元素数目\,
$r<m\,(m\geqslant n+1)$ 的所有\,$n$ 阶双随机方阵都能表示
成置换方阵的凸线性组合. 设\,${\boldsymbol Q}$ 是\,$n$
阶双随机方阵且有\,$m\,(\geqslant n+1)$ 个正元素.

设\,$M$ 中边对应\,${\boldsymbol Q}$
中正元素分别为\,$q_{1j_1},q_{2j_2},\cdots,q_{nj_n}$. 令
$$
c_1=\min\{q_{kj_k}:\ 1\leqslant k\leqslant n\}.
$$
由于\,${\boldsymbol Q}$ 中有\,$m\,(\geqslant n+1)$ 个正元素,
并且这些正元素之和为\,$n$, 所以 $0<c_1<1$. 令\,$\boldsymbol P_1$
是与\,${{1\ 2\ \cdots\ n}\choose{j_1\,j_2\,\cdots \,j_n}}$
对应的置换方阵, 并令 \,${\boldsymbol Q}_1={\boldsymbol
Q}-c_1{\boldsymbol P}_1$. 则\,${\boldsymbol Q}_1$ 仍是非负方阵, 而且
\,$\frac 1{1-c_1}\,{\boldsymbol Q}_1$ 是双随机方阵.
由于\,${\boldsymbol Q}_1$ 中正元素数 目比\,${\boldsymbol Q}$
中正元素数目至少减少一个, 即\,$\frac 1{1-c_1}{\boldsymbol Q}_1$
中正元素数目\,$<m$. 由归纳假设, 存在\,$n$ 阶置换方阵 \,${\boldsymbol
P}_2,{\boldsymbol P}_3,\cdots, {\boldsymbol P}_k$  和\, $c'_2,c'_3,
\cdots, c'_k$ 使\, $c'_2+c'_3+\cdots+c'_k=1$ 并且\vspace*{1mm}
$$
\frac 1{1-c_1}{\boldsymbol Q}_1=c_2'{\boldsymbol
P}_2+c_3'{\boldsymbol P}_3+ \cdots +c_k'{\boldsymbol P}_k.
$$
于是,\vspace*{1mm}
$$
\begin{array}%[t\b]
{rl}%[m]
{\boldsymbol Q}&\!\!\!\!= c_1{\boldsymbol P}_1+{\boldsymbol Q}_1
=c_1{\boldsymbol P}_1+(1-c_1)\left(\frac 1{1-c_1}{\boldsymbol Q}_1\right)\\
&\!\!\!\!= c_1{\boldsymbol P}_1+(1-c_1)(c_2'{\boldsymbol
P}_2+c_3'{\boldsymbol P}_3+
\cdots +c_k'{\boldsymbol P}_k)\\
&\!\!\!\!= c_1{\boldsymbol P}_1+(1-c_1)c_2'{\boldsymbol
P}_2+(1-c_1)c_3'{\boldsymbol P}_3+
\cdots +(1-c_1)c_k'{\boldsymbol P}_k\\
&\!\!\!\!= c_1{\boldsymbol P}_1+c_2{\boldsymbol P}_2+c_3{\boldsymbol
P}_3+ \cdots +c_k{\boldsymbol P}_k,
\end{array}
$$
其中\,
$$
c_i=(1-c_1)c'_i, \quad \forall\ i=2,3,\cdots, k,
$$
并且 \,$$ c_1+c_2+\cdots+c_k=c_1+(1-c_1)(c'_2+c'_3+\cdots+c'_k)=1.
$$
由归纳法原理, (iii)\,得证.\hfill\rule{1mm}{2mm}


\vskip20pt
%\newpage
{\bf \large 习\quad 题}

\noindent
\begin{description}
\zihao{-5}
\item[$5.1.1$]设\,$G$ 是无孤立点图. 证明:
 $$
\displaystyle\left\lceil\frac v{1+\Delta}\right\rceil \leqslant
\alpha'(G)\leqslant \left\lfloor\frac v2\right\rfloor.
 $$
\hfill(Weinstein,\,1963)

\item[$5.1.2$]证明: (a)\ $k(\geqslant 1)$ 立方体图\,${Q}_k$ (见例\,1.2.1)\,有完备匹配;

\noindent(b)\ $K_{2n}$ 中不同完备匹配的数目为\,$(2n-1)!!$;

\noindent(c)\ 对任何\,$k\,(\geqslant 2)$, 存在\,$k$
正则简单图使其没有完备匹配;

\noindent({d})\ 任何\,$v\,(\geqslant 4)$ 阶三角剖分图都含有\,$\frac
23\,\varepsilon$  条边的二部分子图.

\item[$5.1.3$]证明: $ 8\times
8$ ~格棋盘移去其中对角上的两个方格后, 不可能用\, $1\times 2$~
长方形填满而不\linebreak 重叠.

\item[$5.1.4$]矩阵的行或列称为{\bf 线}. 证明: (0,1)\,矩阵中包含所
有\,1\,的线集的最小数目等于没有两个在同一条线上的\,1\,的最大个数.
\hfill(D. K\"onig, 1931)

 \index{juzhen@{矩阵}!juzhendexian@{矩阵的线}}

\item[$5.1.5$]设\,$A_1,\cdots,A_m$ 是集\,$S$ 的子集.
$\{A_1,\cdots,A_m\}$ 的一个相异代表系 是指\,$S$
的子集\linebreak $\{a_1,a_2,\cdots,a_m\}$, 其中\,$a_i\in
A_i\,(i=1,2,\cdots,m)$  并且\,$a_i\ne a_j\,(i\ne j)$. 证明:
$\{A_1,\cdots, A_m\}$ 有相异代表系$\Leftrightarrow$ \hfill(P. Hall, 1935)
 $$
 |\bigcup_{i\in J}A_i|\geqslant |J|,\quad \forall\ J\subseteq \{1,2,\cdots,m\}.
 $$

\item[$5.1.6$]证明: 树\,$G$ 有完备匹配\,$o(G-x)=1$ 对任何\,$x\in
V(G)$ 都成立.

\item[$5.1.7$]证明: 设\,$M$ 是\,$2$ 部图\,$G=(X\cup
Y,E)$ 的最大匹配, 则  \hfill(O. Ore, 1955)
 $$
 |M|=|X|-\max\{|S|-|N(S)|:\ \forall\ S\subseteq X\}.
 $$

\item[$5.1.8$]证明: 设\,$M$是\,$G$ 的最大匹配,
$r=\max\{o(G-S)-|S|:\ \forall\ S\subset V(G)\}$, 则\, $|M|=\linebreak \frac
12\,(v-r)$. \hfill(C. Berge, 1958)

\item[$5.1.9$]设\,${\boldsymbol A}$  是\,$m\times n$ 阶矩阵\,$(m\leqslant n)$.
${\boldsymbol A}$ 的{\bf 积和式}\,(Permanent)\, Per\,$({\boldsymbol
A})$ 定义为所有位于\,${\boldsymbol A}$ 的不同行不同列的\,$m$
个元素乘积之和. 设\,$G$ 是\,$2$ 部划分为\,$\{X,Y\}$ 的\,$2$  部图,
$|X|=m,|Y|=n$, ${\boldsymbol A}$ 是\,$G$ 的邻接矩阵. 证明:

 \index{juzhen@{矩阵}!juzhendejiheshi@{矩阵的积和式}}

\noindent(a)\ 当\,$m>n$ 时, $G$ 中没有饱和\,$X$ 的匹配;

\noindent(b)\ 当\,$m\leqslant n$ 时, $G$ 中饱和\,$X$
的匹配数目为\,Per\,$({\boldsymbol A})$;

\noindent(c)\ $K_{n,n}$ 中有\,$n!$ 个不同的完备匹配.

\item[$5.1.10$]\,$G$ 的\,$k$ 正则支撑子图称为\,$G$ 的\,$k$ {\bf
因子} \,($k$-factor). 若\,$G$ 存在边不交的\,$k$ 因子\linebreak
$G_1,G_2,\cdots,G_n$ 使得\,$G=G_1\oplus G_2\oplus \cdots \oplus
G_n$, 则称\,$G$ 是\,$k\,${\bf 因子可分解的}\,($k$-factorable).\linebreak  证明:

 \index{zhichengzitu@{支撑子图}!kyinzitu@{$k$ 因子图}}
 \index{tudefenjie@{图的分解}!kyinzikefenjie@{$k$ 因子可分解}}

\noindent(a)\ $G$ 含\,1\,因子\,$\Leftrightarrow G$ 有完备匹配;

\noindent(b)\ $K_{2n}$ 和\,$k_{n,n}$ 是\,1\,因子可分解的;

\noindent(c)\ $K_{2n+1}$ 是\,2\,因子可分解的;

\noindent(d)\ 简单图\,$G$ 是\,2\,因子可分解的\,$\Leftrightarrow G$
是\, $2k\,(k\geqslant 1)$ 正则的;

\noindent(e)\ Petersen\,图是非\,1\,因子可分解的;

\noindent(f)\ 每个\,$2k\,(k\geqslant 1)$
正则图有\,2\,因子分解\,$\Leftrightarrow$ 每个 \,$k\,(\geqslant 1)$
正则\,$2$ 部图有\,1\,因子分解.
\end{description}

\newpage
\setcounter{page}{209}
\noindent 即得 $\alpha'+\beta'\leqslant v$.

另一方面, 设\,$L$ 是\,$G$ 的最小边覆盖. 令\,$H=G[L]$,
则\,$V(H)=V(G)$. 设\,$M$ 是\,$H$ 的最大匹配, $U$ 为\,$H$ 中\,$M$
非饱和点集. 则\,$H[U]$ 是空图, 从而,\vspace*{-1mm}
$$
|L|-|M|=|L\setminus M|\geqslant |U|=v-2|M|,
$$
即 $|L|+|M|\geqslant v$. 又因为\,$H$ 是\,$G$ 的支撑子图, 所以\,$M$
也是\,$G$ 的匹配. 故 \,$\alpha'+\beta'\geqslant |M|+|L|\geqslant v$.
\hfill\rule{1mm}{2mm}


下述结果在形式上与\,K\"onig\,定理极为相似.

{\bf 定理\,{$\boldsymbol {5.2.3}$}}\quad {\bf 设\,$G$ 是\,$2$ 部图. 若\,$\delta(G)>0$,
则\, $\alpha(G)=\beta'(G)$.}

{\bf 证明}\quad 设\,$G$ 是\,$2$ 部图, 并且\,$\delta(G)>0$.
由推论\,5.2.1.2\,和定理\,5.2.2\,有\, $\alpha+\beta=\alpha'+\beta'$.
再由定理\,5.1.3\,推知\,$\alpha'=\beta$.于是,
$\alpha=\beta'$.\hfill\rule{1mm}{2mm}

虽然独立集的概念类似于匹配的概念,
但却不存在与前节匹配理论相仿的独立集 理论,
特别是目前还不知道求图最大独立集的有效算法. 这两个概念可以通过线图
把它们联系起来, 并且不难证明\,(习题\,5.2.3):\vspace*{-2mm}
$$
\alpha'(G)=\alpha(L(G)),
$$
其中\,$L(G)$ 是\,$G$ 的线图.
下面的结果给出了独立集与连通度之间的关系.


{\bf 定理\,{$\boldsymbol {5.2.4}$}}\ (J. A. Bondy, 1978)\quad {\bf 设\,$G$
是\,$v\,(\geqslant 2)$ 阶简单无向图, 且对\,$G$ 中任何不相邻顶点\,$x$
和\,$y$, 均有\,$d_G(x)+d_G(y)\geqslant v$, 则\, $\alpha(G)\leqslant
\kappa(G)$.}

{\bf 证明~~}\ 由已知条件易证\,$G$ 是连通的. 若\,$G$
为完全图\,$K_{\upsilon}$,则\, $\alpha(K_{\upsilon})=1\leqslant
v-1=\kappa(K_{\upsilon})$, 结论成立. 下设\,$G$ 是非完全图. 用反证法.

设\,$\alpha(G)\geqslant \kappa(G)+1$, 并设\,$I$ 和\,$S$ 分别是\,$G$
中最大独立集和最小分离集. 则
 $
 |I|=\alpha(G)=\alpha\geqslant 2,\ |S|=\kappa(G)=k.
 $
设\,$G_1,G_2,\cdots,G_l$ 是\,$G-S$ 的连通分支, $l\geqslant 2$. 则\vspace*{-4mm}
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e5.2.1}                                            %e5.2.1
|N_G(x)\cup N_G(y)|\leqslant v-\alpha,\quad \forall\ x,y\in I.
\end{split}\tag{5.2.1}\end{equation*}
于是, 由假定和式\,(5.2.1), 对任何$x,y\in I$,有 \,
 $$
\begin{array}
{rl}
|N_G(x)\cap N_G(y)|&\!\!\!\!= |N_G(x)|+|N_G(y)|-|N_G(x)\cup N_G(y)|\\
&\!\!\!\!\geqslant  v-(v-\alpha)=\alpha\geqslant \kappa +1>|S|.
\end{array}
 $$
这表明在\,$G-S$ 中仅有一个连通分支含\,$I$ 中点. 不妨设\,$I\subseteq
V(G_1)\cup S$. 因为\,$\alpha\geqslant k+1$, 所以存在\,$x\in I\cap
V(G_1)$. 令\,$z\in V(G_2)$, 则
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e5.2.2}                                           %e5.2.2
\begin{array}{rl}
|N_G(x)\cup N_G(z)|&\!\!\!\!\leqslant  v-2-|I\cap V(G_1)|+1 \\
&\!\!\!\!=  v-\alpha +|I\cap S|-1.
\end{array}
\end{split}\tag{5.2.2}\end{equation*}


\newpage
\setcounter{page}{215}
\noindent 饱和点. 由\,$z\in S\setminus \{x\}$
的任意性知, $S\setminus \{x\}$ 中点全是\,$M$ 饱和点,
它们与\,$N_G(S)$ 中点由\,$M$ 配成对. 由于\,$N_G(S)=T$
且\,$|T|=|S|-1$, 所以\,$T$ 中点全是\,$M$ 饱和点, 即知\,$x$ 是$ Z$
中唯一的\,$M$ 非饱和点\,(ii)\,成立. \hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 定理\,{$\boldsymbol {5.3.3}$}}\quad {\bf 非空\,$2$
部图必有饱和所有最大度点的最大匹配.}

{\bf 证明}\quad 设\,$G$ 是\,$2$ 部划分为\,$\{X,Y\}$ 的\,$2$ 部图,
并设\,$M$ 是\,$G$ 中最大匹配 并尽可能多地饱和最大度点.

(反证法)\ 设存在最大度点\,$x$ 是\,$M$ 非饱和的. 令\,$Z$ 是\,$G$
中以\,$x$ 为起点的\,$M$  交错路所能连通的顶点集. 不妨设\,$x\in X$,
并令\,$S=Z\cap X,\ T=Z\cap Y$. 由于\,$M$ 是\,$G$ 中最大匹配,
所以由定理\,5.3.1\,知\,$G$ 中不存在以\,$x$ 为起点的\,$M$ 增广路.
再由定理\,5.3.2\ 知\,$|T|=|S|-1$, 且\,$N_G(S)=T$. 若\,$S$
中点全是最大度点, 则\,
$$
\Delta |S|=\sum \limits_{u\in S}d_G(u)=|[S,T]| \leqslant\sum \limits_{u\in
T}d_G(u)\leqslant \Delta |T|,
$$
即有\,$|S|\leqslant |T|=|S|-1$, 矛盾. 于是, $S$ 中存在非最大度点,
设为\,$z$, 则\,$z\ne x$. 令\, $P=x e_1 x_1 e_2 \cdots e_{m-1}
x_{m-1} e_m z$ 是\,$G$ 中\,$M$ 交错路, 其中,
$e_1,e_3,\cdots,e_{m-1}\notin M$, 而\,$e_2,e_4,\cdots,e_m\in M$,
则\,$z$ 是\,$M$ 饱和点. 由于\,$x,z\in X$, 所以\,$m$ 为偶数. 于是,
令\,
$$
M'=M\Delta E(P)=(M\setminus \{e_2,e_4,\cdots,e_m\})\cup
\{e_1,e_3,\cdots,e_{m-1}\}.
$$
则\,$|M'|=|M|$, 即\,$M'$ 是\,$G$ 中最大匹配. 但\,$M'$
饱和最大度点的数目比\,$M$ 饱和最 大度点的数目至少多\,1\,个
\,(即\,$x$ ), 矛盾于\,$M$ 的选取.\hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 推论\,{$\boldsymbol {5.3.3}$}}\ (K\"onig, 1916)~~\ {\bf 任何\,$2$ 部图\,$G$
的边集\,$E(G)$ 可以划分成\,$\Delta(G)$ 个边不交匹配.}
\hfill\rule{1mm}{2mm}

利用定理\,5.3.1\,和定理\,5.3.2,
可以给出\,Hall\,定理\,(5.1.1)\,中条件\,(5.1.1)\,充分性的证明.
设\,$M$ 是\,$G$ 的最大匹配. 若\,$M$ 不饱和\,$X$, 则存在\,$x\in X$
是\,$M$ 非饱和点. 令\ $Z$ 是根在\, $x$ 的\,$M$ 交错子图的顶点集.
由于\,$M$ 是最大匹配, 所以由定理\,5.3.1\,知\,$G$ 中不存在以\,$x$
为端点的\,$M$ 增广路. 令\,$S=Z\cap X,T=Z\cap Y$,
则由定理\,5.3.2\,有\,$|N_G(S)|$ $=|T|<|S|$, 与\,(5.1.1)\,式矛盾.
所以\,$M$ 饱和\,$X$. \hfill\rule{1mm}{2mm}

\vskip10pt 下面给出匈牙利算法.

{\ziju{-0.1}匈牙利算法的基本思想是简单的. 从\,$G$ 的任何匹配\,$M$ 开始. 若\,$M$
饱和\,$X$,\linebreak 则\ $M$ 是\,$G$ 的完备匹配. 若\,$M$ 不能饱和\,$X$,
则在\,$X$ 中选择一个\,$M$ 非饱和点\,$x$.  若\,$G$ 中存在以\,$x$ 为
起点的\,$M$ 增广路\,$P$, 则由定理\,5.3.1\,知\,$M$ 不是\,$G$
的最大匹配, 而\linebreak}


\newpage
\setcounter{page}{220}

~~\newline \vspace*{-11mm}
$$
\left\{\begin{array}{ll} {\boldsymbol l}(x)=\max\limits_{y\in
Y}\{{\boldsymbol
w}(xy)\}, \ & \mbox{若}\ x\in X;\\
{\boldsymbol l}(y)=0, \ & \mbox{若}\ y\in Y.
\end{array}
\right.
$$
这种可行顶点标号称为{\bf 平凡标号}\,(trivial labelling).
设\,$G=K_{n,n}$, 并设\,${\boldsymbol l}$ 是\,$(G,{\boldsymbol w})$\
的可行顶点标号, 令

$\text{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} E_l=\{xy\in E(G):\ {\boldsymbol
l}(x)+{\boldsymbol l}(y)={\boldsymbol w}(xy)\}. $

\noindent 并令\,$G_{\boldsymbol l}$ 为\,$G$ 中以\,$E_{\boldsymbol
l}$ 为边集的支撑子图, $G_{\boldsymbol l}$  称为\,${\boldsymbol l}$
{\bf 等子图}\, (equality subgraph).


 \index{biaohaotu@{标号图}!kexingdingdianbiaohao@{可行顶点标号}}
 \index{biaohaotu@{标号图}!pingfanbiaohao@{平凡标号}}
 \index{biaohaotu@{标号图}!dengzitu@{等子图}}
 \index{zitu@{子图}!dengzitu@{等子图}}

{\bf 例\,{$\boldsymbol {5.4.1}$}}\quad 考虑完全\,2\,部图\,$K_{5,5}$, 其中
$X=\{x_1,x_2,\cdots,x_5\},\ Y=\{y_1,y_2,\cdots,\linebreak y_5\}$, 边\, $x_iy_j$
上的权\,${\boldsymbol w}(x_iy_j)=w_{ij}$ 如图5.12\, (a)\,
中矩阵 \,${\boldsymbol W}=(w_{ij})$ 所示.
(b)\,中所示矩阵\,${\boldsymbol W}$ 的右旁和下边的数值分别表示:

$\text{~~~~~~~~~~~~~~~~~}{\boldsymbol l}(x_1)=5,\ {\boldsymbol
l}(x_2)=2,\ {\boldsymbol l}(x_3)=4,\ {\boldsymbol l}(x_4)=1,\
{\boldsymbol l}(x_5)=3$,

$\text{~~~~~~~~~~~~~~~~~}{\boldsymbol l}(y_1)={\boldsymbol
l}(y_2)={\boldsymbol l}(y_3)={\boldsymbol l}(y_4)={\boldsymbol
l}(y_5)=0$.

\noindent 这样定义的\,${\boldsymbol l}\in\mathscr V(K_{5,5})$
是\,$(K_{5,5},{\boldsymbol w})$  中可行顶点标号, 它是平凡标号.
而矩阵中的黑体元素表示\,$K_{5,5}$ 中对应的边属于\, $E_{\boldsymbol
l}$. 它的\,${\boldsymbol l}$ 等子图\,$G_{\boldsymbol l}$
如图5.12\,(c)\,所示.\hfill\rule{1mm}{2mm}

% Figure 5.11

\begin{figure}[h]
\begin{center}
\psset{unit=1pt}
\begin{pspicture}(0,-10)(300,240)

% a
\rput(150,210){{\scriptsize (a)\ \ \  $\boldsymbol{W} =
\left(\begin{array}{lllll}
 3 & 5 & 5 & 4 & 1 \\
 2 & 2 & 0 & 2 & 2 \\
 2 & 4 & 4 & 1 & 0 \\
 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
 1 & 2 & 1 & 3 & 3
\end{array}
 \right)$
 }}

% b
\rput(60,130){{\scriptsize (b)\ \ \  $\boldsymbol{W} =
\left(\begin{array}{lllll}
 3 & \mathbf{5} & \mathbf{5} & 4 & 1 \\
 \mathbf{2} & \mathbf{2} & 0 & \mathbf{2} & \mathbf{2} \\
 2 & \mathbf{4} & \mathbf{4} & 1 & 0 \\
 0 & \mathbf{1} & \mathbf{1} & 0 & 0 \\
 1 & 2 & 1 & \mathbf{3} & \mathbf{3}
\end{array}
 \right)
\begin{array}{l}
5 \\ 2 \\4 \\1 \\3
\end{array}$
 }}
\rput(72,100){{\scriptsize $
\begin{array}{lllll}
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}
$}}

% c
\cnode(180,110){3}{b1} \cnode(210,110){3}{b2} \cnode(240,110){3}{b3}
\cnode(270,110){3}{b4} \cnode(300,110){3}{b5}

\cnode(180,150){3}{a1} \cnode(210,150){3}{a2} \cnode(240,150){3}{a3}
\cnode(270,150){3}{a4} \cnode(300,150){3}{a5}

\ncline{a1}{b3} \ncline{a2}{b2}

\ncline{a1}{b2} \ncline{a2}{b1} \ncline{a3}{b3} \ncline{a5}{b5}

\ncline{a3}{b2} \ncline{a2}{b4} \ncline{a4}{b2} \ncline{a4}{b3}
\ncline{a5}{b4} \ncline{a2}{b5}

\rput(180,160){{\scriptsize $x_1$}} \rput(210,160){{\scriptsize
$x_2$}} \rput(240,160){{\scriptsize $x_3$}}
\rput(270,160){{\scriptsize $x_4$}} \rput(300,160){{\scriptsize
$x_5$}}


\rput(180,100){{\scriptsize $y_1$}} \rput(210,100){{\scriptsize
$y_2$}} \rput(240,100){{\scriptsize $y_3$}}
\rput(270,100){{\scriptsize $y_4$}} \rput(300,100){{\scriptsize
$y_5$}}

\rput(240,85){{\scriptsize $\boldsymbol{l}$
的等子图\,$G_{\boldsymbol{l}}$}}

\rput(160,130){{\scriptsize (c)}}

% d
\rput(60,30){{\scriptsize (d)\ \ \  $\boldsymbol{W} =
\left(\begin{array}{lllll}
 3 & \mathbf{5} & \mathbf{5} & \mathbf{4} & 1 \\
 \mathbf{2} & 2 & 0 & \mathbf{2} & \mathbf{2} \\
 2 & \mathbf{4} & \mathbf{4} & 1 & 0 \\
 \mathbf{0} & \mathbf{1} & \mathbf{1} & \mathbf{0} & \mathbf{0} \\
 1 & 2 & 1 & \mathbf{3} & \mathbf{3}
\end{array}
 \right)
\begin{array}{l}
4 \\ 2 \\3 \\0 \\3
\end{array}$
 }}
\rput(72,0){{\scriptsize $
\begin{array}{lllll}
0 & 1 & 1 & 0 & 0
\end{array}
$}}

% e

\cnode(180,10){3}{b1} \cnode(210,10){3}{b2} \cnode(240,10){3}{b3}
\cnode(270,10){3}{b4} \cnode(300,10){3}{b5}

\cnode(180,50){3}{a1} \cnode(210,50){3}{a2} \cnode(240,50){3}{a3}
\cnode(270,50){3}{a4} \cnode(300,50){3}{a5}

\ncline[linewidth=2pt]{a1}{b4} \ncline{a4}{b4} \ncline{a4}{b5}

\ncline{a1}{b2} \ncline[linewidth=2pt]{a2}{b1}
\ncline[linewidth=2pt]{a3}{b3} \ncline[linewidth=2pt]{a5}{b5}

\ncline{a1}{b3} \ncline{a3}{b2} \ncline{a2}{b4}
\ncline[linewidth=2pt]{a4}{b2} \ncline{a4}{b3} \ncline{a5}{b4}
\ncline{a2}{b5}

\ncline{a4}{b1}

\rput(180,60){{\scriptsize $x_1$}} \rput(210,60){{\scriptsize
$x_2$}} \rput(240,60){{\scriptsize $x_3$}}
\rput(270,60){{\scriptsize $x_4$}} \rput(300,60){{\scriptsize
$x_5$}}

\rput(180,0){{\scriptsize $y_1$}} \rput(210,0){{\scriptsize $y_2$}}
\rput(240,0){{\scriptsize $y_3$}} \rput(270,0){{\scriptsize $y_4$}}
\rput(300,0){{\scriptsize $y_5$}}

\rput(240,-15){{\scriptsize ${\hat{\boldsymbol l}}$
的等子图\,$G_{\hat{\boldsymbol l}}$}}

\rput(160,30){{\scriptsize (e)}}

\end{pspicture}
\end{center}
\vspace*{-5mm}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{5.12}$ \quad \bf \eufznine{Kuhn-Munkres}\  算法的应用}
\end{quote}\vspace*{-3mm}
\end{figure}

{\ziju{-0.1}{\bf 定理\,{$\boldsymbol {5.4.1}$}}\quad {\bf 设\,${\boldsymbol l}$ 是\,$G$ 的可行顶点标号. 若
\,${\boldsymbol l}$ 等子图\,$G_{\boldsymbol l}$ 有完备匹配\,$M^*$,
则\,$M^*$ 是\ $G$ 的最大权完备 匹配.}}

{\bf 证明}\quad 由于\,$G_{\boldsymbol l}$ 是\,$G$ 的支撑子图, $M^*$
是\,$G_{\boldsymbol l}$ 的完备匹配, 所以\,$M^*$ 也是\,$G$
的完备匹配. 又由于对每个\,$e\in M^*$ 都属于这个\,${\boldsymbol l}$
等子图\, $G_{\boldsymbol l}$, 而且\,$M^*$
中每条边覆盖每个顶点正好一次. 所以,
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e5.4.1}                                               %e5.4.1
{\boldsymbol w}(M^*)=\sum\limits_{e\in M^*}{\boldsymbol
w}(e)=\sum\limits_{x\in V}{\boldsymbol l}(x)
\end{split}\tag{5.4.1}\end{equation*}

另一方面, 对\,$G$ 的任何完备匹配\,$M$ 有
\begin{equation*}\begin{split}\label{e5.4.2}                              %e5.4.2
{\boldsymbol w}(M)=\sum\limits_{e\in M}{\boldsymbol
w}(e)\leqslant\sum\limits_{x\in V}{\boldsymbol l}(x)
\end{split}\tag{5.4.2}\end{equation*}
结合式\,(5.4.1)\,和式\,(5.4.2)有, ${\boldsymbol
w}(M^*)\geqslant {\boldsymbol w}(M)$, 即\,$M^*$ 是\,$G$
的最大权完备匹配. \hfill\rule{1mm}{2mm}

基于定理\,5.4.1, H. W. Kuhn \,(1955)\,和\,J. Munkres \,(1957)\,
提出一个在加权完全\,2\,部 分图\,$(K_{n,n},{\boldsymbol w})$
中求最大权完备匹配的有效算法. 算法的基本思想是:

{\ziju{-0.05}首先给出\,$K_{n,n}$ 任意的可行顶点标号\,${\boldsymbol l}$
(如平凡标号), 然后决定\, $G_{\boldsymbol l}$. 在\,$G_{\boldsymbol
l}$ 中执行匈牙利算法. 若在\,$G_{\boldsymbol l}$ 中找到完备匹配,
则由定理\,5.4.1\,知这个完备匹配就是\,$G$ 的最大权完备匹配. 否则,
匈牙利 算法终止于\,$S\subset X,\ T\subset Y$ 且\,$N_{G_{\boldsymbol
l}}(S)=T$. 令}
$$
\alpha_l=\min\{{\boldsymbol l}(x)+{\boldsymbol l}(y)-{\boldsymbol
w}(xy):\ x\in S,\,y\in Y\setminus T \}.
$$
则由 \,$$ \hat{{\boldsymbol l}}=\left\{\begin{array}{ll}
{\boldsymbol l}(u)-\alpha_l,\ & u\in S;\\
{\boldsymbol l}(u)+\alpha_l,\ & u\in T;\\
{\boldsymbol l}(u), & \mbox{其他}
\end{array}\right.
$$
确定了一个新的可行顶点标号\,${\hat{\boldsymbol l}}$.
此时\,$\alpha_{\boldsymbol l}>0$, 且\,$T\subset
N_{G_{\hat{\boldsymbol l}}}(S)$ (习题\,5.4.1).
以\,${\hat{\boldsymbol l}}$ 替代 \,${\boldsymbol l}$.
连续进行这种修改, 直到存在一个等子图含完备匹配时止. 由于最大权
完备匹配必存在, 所以这种修改必在有限步结束.


{\bf 例\,{$\boldsymbol {5.4.2}$}}\quad
考察图5.12\,(c)\,中所示的\,${\boldsymbol l}$
等子图\,$G_{\boldsymbol l}$. 例\,5.3.1\,指出它没有完备匹配,
而且匈牙利算法终止于 \,$S=\{x_1,x_3,x_4\},\ T=\{y_2,y_3\}=N(S)$ .
通过计算,
$$
\alpha_l=\min\{{\boldsymbol l}(x)+{\boldsymbol l}(y)-{\boldsymbol
w}(xy):\ x\in S,\,y\in Y\setminus T \}=1.
$$
{\ziju{-0.1}修改后的可行顶点标号\,${\hat{\boldsymbol l}}$
如图5.12\,(d)\! 中矩阵 的右旁 和下边 数值所示.\!
矩阵中黑体元素表示\,$K_{5,5}$\! 中对应的边属于\,$E_{\hat{\boldsymbol
l}}$.\! ${\hat{\boldsymbol l}}$ 等子图\,$G_{\hat{\boldsymbol l}}$
如图5.12\,(e)所示. 这就是例\,5.3.2\,中\linebreak}


\newpage
\setcounter{page}{225}
$D$ 含支撑竞赛图, 因而由定理\,1.5.1\,知\,$D$ 含\,Hamilton\,有向路.
显然, 任何好的加工排序一定是\,$D$ 中\,Hamilton\,有向路. 反之, $D$
中任何\,Hamilton\,有向路对应一个加工排序.
例如\,$(J_2,J_3,J_4,J_5,J_1,J_6)$ 是\,$D$
中\,Hamilton\,有向路\,(图中粗边所示).
按这条\,Hamilton\,有向路的顺序安 排加工的总耗时为\,5\,分钟. 于是,
要寻找最短耗时的加工排序, 首先找出所有\,Hamilton\,有向路,
然后比较它们的权. 权最小的\,Hamilton\,有向路对应的加工顺
序必是最好的. 但一般说来, 这是很难做到的. 下面,
利用\,Kuhn-Munkres\,算法求出它的近似解.

假设最好的加工顺序已安排好, 它对应\,$D$ 中具有最小权的
\,Hamilton\,有向路, 设为\,$P^*$. 考虑对应于\,$D$ 的伴随\,$2$
部图\,$G$ (其定义见\,1.2节), 如图5.15\,(a)\,所示,
其中权\,${\boldsymbol w}(J'_iJ''_j)=t_{ij}$. 注意, 由于\,$D$ 无环,
所以这样的\,$2$ 部 图\,$G$ 不含边\,$J'_iJ''_i,\ i=1,2,\cdots,6$.
于是, $D$ 中任何\,Hamilton\, \,$(J_i,J_j)$ 路\,$P$
就对应于\,$G-\{J'_j,J''_i\}$ 中一个完备匹配\,$M$, 并且与\,$P$
有相等的权. 例如, 设\,
 $$P=(J_2,J_3,J_4,J_5,J_1,J_6)$$
是\,$D$ 中\,Hamilton\, \,$(J_2,J_6)$
路\,(图5.14\,中粗边所示). 它对应于\,$G-\{J'_6,J''_2\}$
中完备匹配\,$M$, 如图5.15\,(a)\, 中粗边所示.
它们的权都是\,5. 这个事实的逆不成立. 例如,
图5.15\,(a)\,所示的 $G-\{J'_4,J''_1\}$ 中完备匹配,
 $$
 M'=\{J'_1J''_6,J'_2J''_5,J'_3J''_4,J'_5J''_2,J'_6J''_3\}
 $$
不对应于\,$D$ 中任何\,Hamilton\,有向路. 这个事实给问题的解决带来
了困难. 若能在\,$G$  中找到两顶点\,$J'_j$ 和\, $J''_i\,(i\ne j)$,
并能在\,$G-\{J'_j,J''_i\}$ 中找到最小权完备匹配\,$M$ 使它 对应\,$D$
中\,Hamilton\,$(J_i,J_j)$ 路\,$P$, 则\,$P$ 就可以作为\,$P^*$
的近似解, 而且权\,${\boldsymbol w}(P^*)\leqslant {\boldsymbol
w}(P)={\boldsymbol w}(M)$.


下面, 利用\,Kuhn-Munkres\,算法求出满足上述要求的匹配来. 考虑\,$2$
部加权图\ $(K_{6,6},{\boldsymbol w})$, 其中加权矩阵\,${\boldsymbol
W}$ 为 \,
 $$ {\boldsymbol W}={\boldsymbol T}+5{\boldsymbol I}=\left(\begin{array}{cccccc}
5&5&3&4&2&1\\
1&5&1&2&3&2\\
2&5&5&1&2&3\\
1&4&4&5&1&2\\
1&3&4&5&5&5\\
4&4&2&3&1&5\\
\end{array}\right).
$$


\newpage
\setcounter{page}{230}
\noindent 得\,${\boldsymbol w}(P)={\boldsymbol
w}'(xy)$. 于是, 令\,$P\subseteq R$.

(ii)\ $K_{\upsilon}$ 中\,Hamilton\,圈能被构造如下：从顶点\,$x$ 开始,
沿着\,$R$ 依次删去已经 访问过的顶点. 剩下的顶点按\,$R$
中原来的顺序就得到\,$(K_{\upsilon},{\boldsymbol w}')$
中\,Hamilton\,圈\,$C$ 满足\, ${\boldsymbol w}'(C)={\boldsymbol
w}(R)$. \hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 定理\,{$\boldsymbol {5.5.1}$}}\quad {\bf 连通加权图\,$(G,{\boldsymbol w})$
中最优链对应\,$(K_{\upsilon},{\boldsymbol w}')$ 中最优圈且权相等.
反之, $(K_{\upsilon},{\boldsymbol w}')$
中最优圈对应\,$(G,{\boldsymbol w})$ 中最优链且权相等.}

{\bf 证明}\quad 假定\,$R$ 是\,$(G,{\boldsymbol w})$ 中最优链.
由引理\,5.5.1\,(ii), $(K_{\upsilon},{\boldsymbol w}')$
中存在\,Hamilton\ 圈\,$C$ 使得\,${\boldsymbol w}'(C)={\boldsymbol
w}(R)$. 如果\,$C$ 不是最优的, 而\,$C^*$
是\,$(K_{\upsilon},{\boldsymbol w}')$ 中最优圈, 那么 ${\boldsymbol
w}'(C^*)< {\boldsymbol w}'(C)$. 由引理\,5.5.1\,(i), $(G,{\boldsymbol
w})$ 中存在货郎链\,$R'$ 使得\,${\boldsymbol w}(R')={\boldsymbol
w}'(C^*)$. 于是,
$$
{\boldsymbol w}(R)\leqslant {\boldsymbol w}(R')={\boldsymbol
w}'(C^*)<{\boldsymbol w}'(C)={\boldsymbol w}(R).
$$
这个矛盾意味着\,$C$ 是\,$(K_{\upsilon},{\boldsymbol w}')$ 中最优圈.

反之, 假定\,$C$ 是\,$(K_{\upsilon}, {\boldsymbol w}')$ 中最优圈.
那么由引理\,5.5.1\,(i), $(G,{\boldsymbol w})$ 中存在货郎链\ $R$
使得\,${\boldsymbol w}(R)={\boldsymbol w}'(C)$. 如果\,$R$
不是最优的, 而\,$R'$ 是\,$(G,{\boldsymbol w})$ 中最优链,
那么由引理\,5.5.1\ (ii), $(K_{\upsilon},{\boldsymbol w}')$
中存在\,Hamilton\,圈\,$C'$ 使得\,${\boldsymbol w}'(C')={\boldsymbol
w}(R')$. 于是,
$$
{\boldsymbol w}'(C')={\boldsymbol w}(R')<{\boldsymbol
w}(R)={\boldsymbol w}'(C)\leqslant {\boldsymbol w}'(C').
$$
这个矛盾说明\,$R$ 是\,$(G,{\boldsymbol w})$ 中最优链. \hfill
\rule{1mm}{2mm}

定理\,5.5.1\,告诉我们, 求一般加权图\,$(G,{\boldsymbol w})$
中最优链可以归
结为求满足三角不等式的加权图\,$(K_{\upsilon},{\boldsymbol w}')$
中最优圈. 若 \,$(G,{\boldsymbol w})$ 满足三角不等式, 则\,$G$ 是\,$
K_{\upsilon}$ 的支撑子图, ${\boldsymbol w}={\boldsymbol w}'|E(G)$.
因此, 若\,$(G,{\boldsymbol w})$ 满足三角不等式且有最优圈\,$C$,
则\,$C$ 必是\,$(K_{\upsilon},{\boldsymbol w}')$  中\ Hamilton\,圈,
且\,${\boldsymbol w} (C)\geqslant {\boldsymbol w}'(C)={\boldsymbol
w}(C'')$, 其中\,$C''$ 是\,$(G,{\boldsymbol w})$  中最优链. 反之,
设\,$C'$ 是\,$(K_{\upsilon},{\boldsymbol w}')$ 中最优圈.
若\,$C'\subseteq G$, 则\,$C'$ 也是\,$(G,{\boldsymbol w})$ 中最优圈;
若\,$C'\nsubseteq G$, 则与之对应的\,$C''$ 是\,$(G,{\boldsymbol w})$
中最优链, 而且\,${\boldsymbol w}(C'')={\boldsymbol w}'(C')$. 因此,
当\,$(G,{\boldsymbol w})$ 满足三角不 等式,
则与\,$(K_{\upsilon},{\boldsymbol w}')$ 中最优圈对应的可能是
\,$(G,{\boldsymbol w})$ 中最优链, 也可能是\,$(G,{\boldsymbol w})$
中最优圈. 但是, 当 \,$(G,{\boldsymbol w})$ 不满足三角不等式,
则与\,$(K_{\upsilon},{\boldsymbol w}')$ 中最优圈对应的是
\,$(G,{\boldsymbol w})$ 中最优链, 而不是最优圈.

由定理\,5.5.1, 只需讨论求满足三角不等式加权完全图
\,$(K_{\upsilon},{\boldsymbol w})$ 中最优圈.
一个很自然的方法是枚举\,$K_{\upsilon}$ 中所有 \,Hamilton\,圈,
然后比较它们的权, 权最小的圈即为所求. 但\,$K_{\upsilon}$
\,有\,$\frac 12\,(v-1)!$ 条不同的\,Hamilton\,圈. 当\,$\upsilon$
较大时, 它会带来使人 们难以接受的计算量.


\newpage
\setcounter{page}{233}
{\bf 证明}\quad 设\,$(K_{\upsilon},{\boldsymbol w})$ 满足三角不等式,
$C_0$ 和\,$C$ 是由\, Christofides \,算法求出的\,Euler\, 回和
\,Hamilton\,圈, 则
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e5.5.1} {\boldsymbol w}(C)\leqslant {\boldsymbol
w}(C_0)={\boldsymbol w}(T)+{\boldsymbol w}(M),
\end{split}\tag{5.5.1}\end{equation*}
其中, $T$ 是\,$(K_{\upsilon},{\boldsymbol w})$ 中最小树, $M$
是\,$G'=K_{\upsilon}[V']$ 中最小权完备匹配, $V'$ 是\,$T$ 中奇度点集.
设\,$C^*$ 是\,$(K_{\upsilon},{\boldsymbol w})$ 中最优圈, 则从\,$C^*$
中删去 任何一条边得到支撑树\,$T'$. 于是有
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e5.5.2} {\boldsymbol w}(T)\leqslant {\boldsymbol
w}(T')<{\boldsymbol w}(C^*).
\end{split}\tag{5.5.2}\end{equation*}
{\ziju{-0.05}令\,$C'$ 为\,$G'=K_{\upsilon}[V']$中按\,$C^*$
的顺序形成的\,Hamilton\,圈. 由于 \,$(K_{\upsilon},{\boldsymbol w})$
满足三角不等式, 所以\,${\boldsymbol w}(C')\leqslant {\boldsymbol
w}(C^*)$. 又由于\,$C'$ 是偶圈, 因而\,$C'$
可分解为两个边不交的完备匹配\,$M_1$ 和\,$M_2$ 之并.
不妨设\,${\boldsymbol w}(M_1)\leqslant {\boldsymbol w}(M_2)$. 于是,
$M_1$ 是\,$G'$ 的完备匹配, \linebreak 并且}
\begin{equation*}\begin{split}
\label{e5.5.3} {\boldsymbol w}(M)\leqslant {\boldsymbol
w}(M_1)\leqslant \frac 12\,{\boldsymbol w}(C') \leqslant
\frac 12{\boldsymbol w}(C^*).
\end{split}\tag{5.5.3}\end{equation*}
由式\,(5.5.1), 式\,(5.5.2)\,和式\,(5.5.3)\,有
 $$
 {\boldsymbol w}(C)<{\boldsymbol w}(C^*)+\frac 12\,{\boldsymbol w}(C^*) =\frac 32\,{\boldsymbol w}(C^*).
 $$
因此,
$$
\frac {L_0}{L}=\frac {{\boldsymbol w}(C)}{{\boldsymbol
w}(C^*)}<\frac 32.
$$
定理得证.\hfill\rule{1mm}{2mm}

{\ziju{-0.03}目前还没有发现比\,Christofides\,算法更接近于最优圈的有效近似算法.
事实上, S. Sahni \&\,T. Gonzalez\,(1976) 已证明: 除非\,NPC=P,
否则不可能存在性能比为 常数的有效近似算法来求解
不满足三角不等式的加权图\,$(K_{\upsilon},{\boldsymbol w})$
中最优圈问题.}

事实上, Christofides\,算法求出的近似解给出了满足三角不等式的加权
完全图 \ $(K_\upsilon,{\boldsymbol w})$ 中最优圈的上界.
现在考虑最优圈的下界. 设\,$C$ 是 \,$(K_\upsilon,{\boldsymbol w})$
中最优圈, $x$ 是\,$K_\upsilon$  中任意 顶点. 那么, $C-x$
是\,$K_\upsilon-x$ 中的支撑树. 如果\,$T$ 是\,$K_\upsilon-x$
中最小树, $e$ 和\,$f$ 是与\,$x$ 关联的两条边 且权和 \,${\boldsymbol
w}(e)+{\boldsymbol w}(f)$ 尽可能小. 那么, ${\boldsymbol
w}(T)+{\boldsymbol w}(e)+{\boldsymbol w}(f)\leqslant {\boldsymbol
w}(C)$.

例如, 考虑图5.17\,中所示的加权完全图 \,$(K_6,{\boldsymbol
w})$. 利用\,Prim\,算法求出\,$K_6-x_3$ 的支撑树, 权和为\,7, 与\,$x_3$
关联的两条边最小权和为\,3. 于是, $10\leqslant {\boldsymbol
w}(C)\leqslant 12$.

\newpage
\chapter{染\ 色\ 理\ 论}

\newpage
\setcounter{page}{236}

\chapter*{\centering 第6章\quad 染\ 色\ 理\ 论}


 \index{ranse@{染色}}

在第5章, 我们讨论了图的匹配和独立集. 在它们的应用中,
有许多实际问题可以 归结为求图中的匹配或者独立集.
%例如, 5.3\,节的人员安排问题和\,5.5\,节的收款台设置 问题.
出于其他诸因素上的考虑, 人们希望知道：一个给定的图, 它的边
集至少能划分成多少个边不交的匹配? 或者它的顶点集至少能划分成多少个点
不交的独立集? 这些“最小数目”是多少?

例如, 如果用\,$2$ 部图的\,$2$ 部划分\, $X=\{x_1,x_2,\cdots,x_m\}$
和\,$Y=\{y_1,y_2,\cdots,y_n\}$  分别表示某所学校的教师和班级, $x_i$
和\,$y_j$ 之间的\,$p_{ij}$ 条边表示教师\,$x_i$ 每周需要给班级\,$y_j$
上\,$p_{ij}$ 节课. 那么同一个课时的教学安排就对应该\,$2$ 部图中
一个匹配, 而边不交匹配的最小数目就是最小周节课数.

又例如, 如果用简单图的顶点\,$x_1,x_2,\cdots,x_n$
表示某所学校期末考试课程, $x_i$ 和\, $x_j$ 之间的边 表示\,$x_i$
和\,$x_j$ 被同一位学生选修. 那么同一场次考试就 对应该图的一个独立集,
而点不交独立集的最小数目就是该校期末 考试至少需要安排的\linebreak 场次.

由此看来求出图中最小匹配数目和最小独立集数目是十分重要的.
如果将图中同一个匹配中所有边染上同一种颜色, 不同匹配中
的边染上不同颜色, 那么染遍图中所有边所需要的颜色的最小数目
就是该图边不交匹配的最小数目. 同样的, 如果将图中同一个独立集中
所有顶点染上同一种颜色, 不同独立集中的顶点染上不同颜色,
那么染遍图中所有顶点所需要的颜色的最小数目就是该图点不交
独立集的最小数目. 由此导出图的染色概念.

本章介绍图染色的基本概念、基本结果和问题的困难性. 染色理论与匹配
和独立集有关, 与图中边的方向无关, 所以只需讨论无向图的染色问题.

在图论历史上, 对图的染色理论研究与著名的“四色猜想”有关. 这个猜想
是图论乃至整个数学领域中最为著名的猜想之一. 我们将介绍与 四色猜想
有关的若干等价命题,
还将介绍四色猜想的由来、研究进展和计算机证明方法.

\newpage
\setcounter{page}{239}
\noindent 则\,$V_i\,(i=1,2,\cdots,k-1)\,$都是\,$G$ 的独立集. 所以,\vspace*{-2mm}
 $$
 \pi=(V_1,V_2,\cdots,V_{k-1})\vspace*{-2mm}
 $$
是\,$G$ 中点的\,$k-1$ 染色, 矛盾于\,$\chi(G)=k$.
故有\,$\lambda(G)\geqslant k-1$.\hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 推论\,{$\boldsymbol {6.1.1.1}$}}\quad {\bf 设\,$G$ 是临界\,$k$ 色图, 则\,$\delta
(G)\geqslant k-1$.}

{\bf 证明}\quad 由\,Whitney\,不等式和定理\,6.1.1, 立即有
 $\delta (G)\geqslant \lambda(G)\geqslant k-1.$\hfill\rule{1mm}{2mm}

{\bf 推论\,{$\boldsymbol {6.1.1.2}$}~~~}{\bf 对任何简单图\,$G$,
均有\,$\chi(G)\le\Delta (G)+1$.}

{\bf 证明}\quad 设\,$\chi(G)=k$ 且\,$H$ 是\,$G$ 的临界\,$k$ 色子图.
由推论\,6.1.1.1\,有\,$\delta (H)\geqslant k-1$. 因此,
 $
 \Delta(G)\geqslant \Delta (H)\geqslant \delta (H)\geqslant k-1=\chi(G)-1.
 $
 \hfill\rule{1mm}{2mm}

R. L. Brooks\,(1941)\,指出, 满足\,$\chi(G)=\Delta +1$ 的简单图\,$G$
只有两类: 一类是奇圈, 另一类是完全图. 这就是著名的\,${\boldsymbol {\mathbf{Brooks}}\  \mbox{\bf 定理}}$. 下面的证明是\,Lov\'asz\,(1975)\,所给出的.

 \index{dingli@{定理}!brooksdingli@{Brooks\,定理}}

{\bf 定理\,{$\boldsymbol {6.1.2}$}}\ (Brooks\,定理, R. L. Brooks, 1941)~~\ {\bf
设\,$G$ 是连 通简单图, 并且\,$G$ 既不是奇圈又不是完全图,
则\,$\chi(G)\leqslant \Delta (G)$.}

{\bf 证明}\quad 设\,$\chi(G)=k$, 并设\,$H$ 是\,$G$ 的临界\,$k$ 色 子图.
若\,$H$ 是完全图, 则\,$\Delta (H)=\Delta (K_k)=k-1$, 并且\,$\Delta
(H)\leqslant \Delta (G)-1$. 所以,
 $
 \chi(G)=k=\Delta (H)+1\leqslant \Delta (G).
 $
 若\,$H$ 是奇圈, 则由于\,$G$ 不是奇圈, 所以\,$\Delta
(G)\geqslant 3$, 于是,
 $
 \chi(G)=\chi(H)=3\leqslant \Delta (G).
  $

下面假设\,$H$ 既不是完全图, 又不是奇圈. 在这种情形下,
我们将给出\,$H$ 中点的\,$\Delta (H)$ 染色来完成证明.

为了弄清以下证明中的染色方法,
我们首先以图6.2\,中的\,Gr\"otzsch\,图为例. 设\ $H$
是\,Gr\"otzsch\,图, $H$ 既不是完全图又不是奇圈. 任取 $z\in V(H)$,
对每个\,$x\in V(H)$, 计算\,$z$ 到\,$x$ 的距离 \,$d_H(z,x)$,
具体数值标在图6.2\,(a)\,中.


将\,$V(H)$ 中点用\,$x_1,x_2,\cdots,x_{11}$ 标号使得\,$x_1,x_2\in
N_H(z)$, $x_1x_2\notin E(H)$ (这样的两顶点是存在的,
因为\,$d_H(z)\geqslant 3$, 并且\,$H$ 中不含三角形),
而且对每个\,$i=3,4,\cdots,11$  满足\,$d_H(z,x_i)\geqslant
d_H(x_{i+1},z)$. 于是, $z=x_{11}$.
这样得到$H$的顶点标号如图6.2\,(a)\ 所示.
注意到\,(参见图6.2\,(c))\,这种标号具有这 样一个性质:
对每个\,$i=1,2,\cdots,10$, 存在\,$j>i$ 使\,$x_ix_j\in E(H)$.
用\,$5(=\Delta (H))$ 种颜色\,$1,2,3,4,5$ 对\,$V(H)$ 进行染色.
首先将\,$x_1$和$x_2$ 染上\,1, 然后按颜色\,$1,2,3,4,5$ 的顺序依
次给\,$x_3,x_4,\cdots,x_{11}$ 进行染色使相邻两顶点所染的颜色不同.
例如, 假设\,$x_1,x_2\cdots,x_7$ 已染好, 考虑\,$x_8$.
由于\,$x_5,x_6,x_7\in N_H(x_8)$, 并已分别染上颜色\,2,2\,和\,3.
所以将\,$x_8$ 染上\,1. 这样得到\,$H$ 中点的一个\,5\,(实际上只需
\,4\,种颜色)\,染色, 如图6.2\,(b)\,所示,
顶点旁的数值代表颜色.
\end{document}
\vskip10pt
% Figure 6.2
\begin{figure}[h]
\begin{center}
\psset{unit=1pt}
\begin{pspicture}(0,-10)(250,200)

\cnode(50,190.5){3}{a1} \cnode(97.5,156){3}{a2}
\cnode(79.5,100){3}{a3} \cnode(20.5,100){3}{a4}
\cnode(2.5,156){3}{a5} \cnode(50,165.5){3}{b1} \cnode(74,148){3}{b2}
\cnode(64.5,120.5){3}{b3} \cnode(35.5,120.5){3}{b4}
\cnode(26,148){3}{b5} \cnode(50,141){3}{c}

\rput(45,199){{\scriptsize 0}} \rput(15,98){{\scriptsize 2}}
\rput(86,98){{\scriptsize 2}} \rput(100,164){{\scriptsize 1}}
\rput(0,164){{\scriptsize 1}}

\rput(50,173){{\scriptsize 2}} \rput(75,156){{\scriptsize 1}}
\rput(25,156){{\scriptsize 1}} \rput(71,116){{\scriptsize 2}}
\rput(30,116){{\scriptsize 2}} \rput(57,149){{\scriptsize 2}}

\rput(67,199){{\scriptsize $z=x_{11}$}} \rput(25,92){{\scriptsize
$x_4$}} \rput(80,92){{\scriptsize $x_3$}}
\rput(102,147){{\scriptsize $x_1$}} \rput(0,147){{\scriptsize
$x_2$}}

\rput(57,158){{\scriptsize $x_5$}} \rput(81,153){{\scriptsize
$x_9$}} \rput(39,150){{\scriptsize $x_{10}$}}
\rput(66,131){{\scriptsize $x_6$}} \rput(35,131){{\scriptsize
$x_7$}} \rput(51,131){{\scriptsize $x_8$}}

\ncline{a1}{a2} \ncline{a2}{a3} \ncline{a3}{a4} \ncline{a4}{a5}
\ncline{a5}{a1}

\ncline{a1}{b2} \ncline{a1}{b5} \ncline{a2}{b1} \ncline{a2}{b3}
\ncline{a3}{b2} \ncline{a3}{b4} \ncline{a4}{b3} \ncline{a4}{b5}
\ncline{a5}{b1} \ncline{a5}{b4}

\ncline{b1}{c} \ncline{b2}{c} \ncline{b3}{c} \ncline{b4}{c}
\ncline{b5}{c}

\rput(50,85){{\scriptsize (a)}}

% b
\cnode(200,190.5){3}{a1} \cnode(247.5,156){3}{a2}
\cnode(229.5,100){3}{a3} \cnode(170.5,100){3}{a4}
\cnode(152.5,156){3}{a5} \cnode(200,165.5){3}{b1}
\cnode(224,148){3}{b2} \cnode(214.5,120.5){3}{b3}
\cnode(185.5,120.5){3}{b4} \cnode(176,148){3}{b5}
\cnode(200,141){3}{c}

\rput(200,199){{\scriptsize 4}} \rput(165,98){{\scriptsize 3}}
\rput(236,98){{\scriptsize 2}} \rput(250,164){{\scriptsize 1}}
\rput(150,164){{\scriptsize 1}}

\rput(200,173){{\scriptsize 2}} \rput(225,156){{\scriptsize 3}}
\rput(175,156){{\scriptsize 2}} \rput(221,116){{\scriptsize 2}}
\rput(180,116){{\scriptsize 3}} \rput(200,134){{\scriptsize 1}}

\ncline{a1}{a2} \ncline{a2}{a3} \ncline{a3}{a4} \ncline{a4}{a5}
\ncline{a5}{a1}

\ncline{a1}{b2} \ncline{a1}{b5} \ncline{a2}{b1} \ncline{a2}{b3}
\ncline{a3}{b2} \ncline{a3}{b4} \ncline{a4}{b3} \ncline{a4}{b5}
\ncline{a5}{b1} \ncline{a5}{b4}

\ncline{b1}{c} \ncline{b2}{c} \ncline{b3}{c} \ncline{b4}{c}
\ncline{b5}{c}

\rput(200,85){{\scriptsize (b)}}

% c
\cnode(0,35){3}{a1} \cnode(25,35){3}{a2} \cnode(50,35){3}{a3}
\cnode(75,35){3}{a4} \cnode(100,35){3}{a5} \cnode(125,35){3}{a6}
\cnode(150,35){3}{a7} \cnode(175,35){3}{a8} \cnode(200,35){3}{a9}
\cnode(225,35){3}{a10} \cnode(250,35){3}{a11}

\ncline{a3}{a4} \ncline{a7}{a8} \ncline{a8}{a9} \ncline{a10}{a11}

\pscurve(0,38)(25,47)(50,38) \pscurve(125,38)(150,47)(175,38)
\pscurve(175,38)(200,47)(225,38) \pscurve(25,32)(50,23)(75,32)
\pscurve(75,32)(100,23)(125,32) \pscurve(200,32)(225,23)(250,32)

\pscurve(0,38)(20,50)(80,50)(100,38)
\pscurve(50,38)(70,50)(130,50)(150,38)
\pscurve(0,38)(25,55)(100,55)(125,38)
\pscurve(50,38)(80,57)(170,57)(200,38)
\pscurve(25,38)(50,57)(225,57)(250,38)

\pscurve(25,32)(50,20)(75,20)(100,32)
\pscurve(100,32)(125,20)(150,20)(175,32)
\pscurve(25,32)(50,16)(125,16)(150,32)
\pscurve(75,32)(100,11)(200,11)(225,32)
\pscurve(0,32)(25,10)(125,-4)(225,10)(250,32)

\rput(10,35){{\scriptsize $x_1$}}

\rput(35,35){{\scriptsize $x_2$}} \rput(50,28){{\scriptsize $x_3$}}

%\rput(38,35){{\scriptsize $x_2 x_3$}}

\rput(85,35){{\scriptsize $x_4$}} \rput(110,35){{\scriptsize $x_5$}}
\rput(135,35){{\scriptsize $x_6$}} \rput(158,40){{\scriptsize
$x_7$}} \rput(182,28){{\scriptsize $x_8$}}
\rput(199,28){{\scriptsize $x_9$}} \rput(216,35){{\scriptsize
$x_{10}$}} \rput(270,35){{\scriptsize $x_{11}=z$}}

\rput(125,-15){{\scriptsize (c)}}

\end{pspicture}
\end{center}
\vspace*{-4mm}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{6.2}$ \quad \bf$\rm{Gr\ddot{o}tzsch}$\,图}
\end{quote}\vspace*{-7mm}
\end{figure}

%\begin{figure}[h]{\vskip5.5cm}\caption{\label{f6.2}             %f6.2
%\footnotesize  Gr\'otzsch图}
%\end{figure}

下面我们继续证明定理\ 6.1.2. 由于\ $H$\ 既不是完全图又不是奇圈, 则\
$k\geqslant 4$\ (习题\,6.1.2).

{\ziju{-0.05}令\,$H$ 的阶是\,$p$. 由于\,$\chi(H)=k\geqslant 4$ 且\,$H\neq K_p$,
所以\,$p\geqslant 5$. 由推论\,6.1.1.1\,知, $\delta (H)\geqslant 3$.
易知\,$H$\,中存在\,$x,y,z\in V(H)$ 使\,$xy\notin E(G)$ 而\,$xz,yz\in
E(G)$. 给\,$V(H)$ 中元素用\,$x_1,x_2,\cdots,x_p$
进行标号使\,$x_1=x,x_2=y$, 且对每个\,$i=3,4,\cdots,p$,\linebreak
$d_H(x_i,z)\geqslant d_H(x_{i+1},z)$. 因此, $x_p=z$,
并且对每个\,$i=1,2,\cdots,p-1$, 存在\,$j>i$ 使\,$x_ix_j\in E(H)$.
由\,$d_H(z)\geqslant 3$, 所以\,$x_{p-1}x_p\in E(H)$
(见图6.2\,(c)). 因此, 对每个 \,$i=1,2,\cdots,p-1,x_i$
与\,${x_1,x_2,\cdots,x_{i-1}}$ 中 最多\,$\Delta (H)-1$ 个顶点相邻.
用\,$\Delta (H)$ \,种颜色对\,$V(H)$ 进行染色, 将\,$x_1$ 和\,$x_2$
染上\,1, 然后按颜色号\,$1,2,\cdots,\Delta (H)$ \,的顺序依次给
\,$x_3,x_4,\cdots,x_p$ 进行染色, 使相邻两顶点所染的颜色不同.
设\,$x_1,x_2,\cdots,x_{i-1}$ 已染好. 考虑\,$x_i(3\leqslant
i\leqslant p-1)$. 由于\,$x_i$ 与\,$\{x_1,x_2,\cdots,x_{i-1}\}$
中最多只有\,$\Delta (H)-1$ 个顶点相邻, 所以\,$1,2,\cdots,\Delta (H)$
中至少有 一种颜色\,$\alpha$
在\,$N_H(x_i)\cap\{x_1,x_2,\cdots,x_{i-1}\}$ 中未用过, 故将\,$x_i$
染以颜色\,$\alpha$. 由于\,$x_p=z$ 与\,$x_1$ 和\,$x_2$ 相邻,
而且\,$x_1$ 和\,$x_2$ 染的颜色相同. 所以同样地也存在一种颜色
\,$\beta$ 在\,$N_H(x_p)$ 中未用过. 故将\,$x_p$ 染以颜色\,$\beta$.
这样得到\,$H$ 中点的一个\,$\Delta (H)$ 染色, 即有}\vspace*{-1mm}

 $
 \text{~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}\chi(G)=\chi(H)\leqslant \Delta (H)\leqslant \Delta (G).
 $

\noindent 定理得证.\hfill\rule{1mm}{2mm}


\newpage
\setcounter{page}{248}
(i)\ $C'_{\pi'}(x)\cap C'_{\pi'}(y_i)=\emptyset$,\
$i=0,1,2,\cdots,n$.

若不然, 存在\,$i_0,0\leqslant i_0\leqslant n$
使得\,$C'_{\pi'}(x)\cap C'_{\pi'}(y_{i_0})\ne\emptyset$.
取\,$\alpha\in {C'_{\pi'}(x)}\cap C'_{\pi'}(y_{i_0})$,
重新染色\,$F_x(i_0,{\pi'})$, 并且将 边\,$e_{i_0}$
染上颜色\,$\alpha$. 这样得到\,$G$ 中边的\,$k-1$ 染色,
矛盾于\,$\chi'(G)=k$.

(ii)\ $C'_{\pi'}(y_i)\cap C'_{\pi'}(y_j)=\emptyset$, $0\leqslant
i<j\leqslant n$.

若不然, 存在\,$i$ 和\,$j,i<j$ 使得\,$C'_{\pi'}(y_i)\cap
C'_{\pi'}(y_j)\ne\emptyset$. 取\,$\beta\in {C'_{\pi'}(y_i)}\cap
C'_{\pi'}(y_j)$ 使得\,$i$ 和\,$j-i$ 尽可能地小. 于 是,
对任何\,$\ell\,(0\leqslant \ell\ne i\leqslant j-1)$, $\beta\in
C_{\pi'}(y_\ell)$. 设\,$\alpha\in {C'_{\pi'}(x)}$. 由\,(i)\,知,
$\alpha\ne \beta$, $\beta\in C_{\pi'}(x)$, $\alpha\in
C_{\pi'}(y_k)$, $0\leqslant k\leqslant n$.

令\,$H=G[E_\alpha\cup E_\beta]$, 则\,$d_H(x)=d_H(y_j)=d_H(y_i)=1$.
令\,$H'$ 是\,$H$ 中含\,$x$ 的连通分支. 则由引理\,5.3.1\,知, $H'$
是一条起点在\,$x$ 的\,($E_\beta, E_\alpha$)\,交错路. 因此, $y_i$
和\,$y_j$ 至少有一个不在\,$H'$ 中. 不妨设\,$y_i$ 不在\,$H'$ 中.
对换\,$H$ 中含\,$y_i$ 的连 通分支\,$H''$ 中边上的颜色\,$\alpha$
和\,$\beta$, 便得到\,$G-{e_0}$ 中边的另一个\,$k-1$ 染色\,${\pi''}$.

重新染色$F_x(i,{\pi''})$, 并将$e_i$ 染成$\alpha$, 便得到$G$
中边的$k-1$ 染色, 矛盾于$\chi'(G)\!=\!k$.

选取\,$e_0\in E(G)$ 和\,$G-e_0$中边的\,$k-1$\,染色\,${\pi'}$
及\,$F_x(n,{\pi'})$\,使得\,$n$\,尽可能地大.

考虑\,$y_n$. 由于\,$d_G(y_n)\leqslant \Delta (G)<k-1$,
所以存在\,$\alpha\in C'_{\pi'}(y_n)$. 由\,(i)\,和\,$n$ 的最大性,
$\alpha\in C_{\pi'}(x)$ 并且存在边\,$e_i\in F_x(n,{\pi'})$ 使得
\,${\pi'}(e_i)=\alpha \,(1\leqslant i\leqslant n)$. 由\,$
F_x(n,{\pi'})$ 的选取知, $\alpha\in C'_{\pi'}(y_{i-1})$. 于是,
$\alpha\in C'_{\pi'}(y_{i-1})\cap C'_{\pi'}(y_n)$. 这矛盾于\,(ii).
所以, 式\,(6.2.4)得证.\hfill\rule{1mm}{2mm}

式\,(6.2.4)\,提出了一个所谓{\bf 分类问题}.
使\,$\chi'(G)=\Delta (G)$ 的简单图\,$G$ 称为{\bf 第一类图};
使\,$\chi'(G)=\Delta (G)+1$ 的简单图\,$G$ 称为{\bf 第二类图}.

$2$ 部图和\,$K_{2n}$ 都是第一类图, 而\,$C_{2n+1}$ 和\,$K_{2n+1}$
都是第二类图.

一般说来, 什么样的简单图属于第一类图,
什么样的简单图属于第二类图的问题目前尚未解决. 事实上, I.
Holyer\,(1981)\,已经证明了这是个\,NPC\,问题. 第二类图
好像是相当地少. 例如: 在\,$v\leqslant 6$  的\,$143$
个连通简单图中仅有\,$8$ 个图属于第二类图\,(如图6.5\, 所示).
Erd\"os\,和\,Wilson\,(1977)\,已证明: 几乎所有非空简单图 都是第一
类图, 即
 \index{tudefenlei@{图的分类}}
 \index{tudefenlei@{图的分类}!diyileitu@{第一类图}}
 \index{tudefenlei@{图的分类}!dierleitu@{第二类图}}
 $$
 \lim_{v\to\infty}\,\frac{C^1(v)}{C^1(v)\cup C^2(v)}=1,
 $$
其中\,$C^i(v)$ 表示\,$\upsilon$ 阶第\,$i$ 类图的集合.

对于任何\,$n\geqslant 2$, 存在最大度为\,$n$ 的第一类平面图. 例如,
星\,$K_{1,n,}$, $\chi'(K_{1,n})=n=\Delta (K_{1,n})$. 当\,$n=2,3,4,5$
时, 存在最大度为\,$n$ 的 第二类平面图. 例如, $\chi'(K_3)=$\linebreak


\newpage
\setcounter{page}{257}
{\ziju{-0.05}\noindent 样无法证明. 起初,
这个问题没有引起数学家们的注意, 认为这是不证即明的事实.
但经过一些尝试之后, 发现并不是那么回事. 1878\,年,
伦敦数学会负责人A. Cayley\, 向伦敦数学会成员正式宣布了这一问题.
于是形成了当今著名的{\bf 四色问题}.}

\index{sisewenti@{四色问题}}

注意到, 地图可以看成一个平图, 行政区域就是这个平图的面.
给地图上的每个行政区域染色, 就是给这个平图的每个面染色. 于是,
四色问题就形成下面的四色猜想.


{\bf 四色猜想}\quad {\bf 对任何平图\,$G$ 均有}\,$\chi^*(G)\leqslant
4$.

\index{sisewenti@{四色问题}!sisecaixiang@{四色猜想}}


四色猜想曾一度被列为与数论中的\,Fermat\,猜想、
函数论中的\,Riemann\,假设相提并论的三大数学难题之一.
理所当然地受到世界上一些最有才华的数学家的冲击,
至今还没有一个成功的数学证明. 但得到许多等价命题, 如定理\,6.3.1,
推论\,6.3.2\,和定理\,6.3.3. 历史上曾有许多人宣布证明了它,
但都被后人一一否定.

第一个冲击四色猜想的是\,A. B. Kempe. 他是位律师,
热心的数学业余爱好者, 曾任伦敦数学会出纳员和会长. 1879\,年, Kempe\,
给出四色猜想的第一个\,``证明''. 尽管后人指出他证明中的漏洞,
但他在证明中提出的思想仍是后人冲击四色猜想的基础.

为介绍他的证明思想, 先引 进若干定义.

显然, 对于四色猜想, 只需考虑平面三角剖分图.
每个有界面的度都为\,3\,的平图称为{\bf 构形}\,(configuration).
如图6.8\,中所示的四个平图都是构形, 分别记为\,$O,P,Q,R$.
设\,$\mathscr{F}$ 是由有限个构形组成的集.
若任何三角剖分图至少含\,\,$\mathscr{F}$ 中一个构形,
则称\,\,$\mathscr{F}$ 是{\bf 不可免完备集}\,(unavoidable complete
set). 由于任何平图的最小度不超 过\,5\,(推论\,3.1.4.3),
所以\,\,$\mathscr{F}=\{O,P,Q,R\}$ 是不可免完备集.

 \index{gouxing@{构形}}
 \index{gouxing@{构形}!bukemianwanbeiji@{不可免完备集}}

若四色猜想不成立, 则由式\,(6.3.1), 必存在一些\,5\,色平图,
其中阶数最小的称为{\bf 最小图}\,(minimal graph). 换句话说, 如果\,$G$
是最小图, 那么\,$\chi(G)=5$, 但对任何阶数小于\,$\upsilon(G)$
的平图\,$H$ 均有\,$\chi(H)\leqslant 4$.
Kempe\,企图通过“证明”最小图不存在来证明四色猜想.


\vskip5pt
% Figure 6.7

\begin{figure}[H]
\begin{center}\vspace*{-4mm}
\psset{unit=1pt}
\begin{pspicture}(0,-10)(300,70)

\cnode(0,30){3}{a1} \cnode(30,30){3}{a2} \cnode(60,30){3}{a3}

\ncline{a1}{a2} \ncline{a3}{a2}

\pscurve(0,27)(30,18)(60,27) \pscurve(0,33)(30,42)(60,33)

\rput(32,37){{\scriptsize $u$}}

\rput(30,-15){{\scriptsize $O$}}

% P
\cnode(80,0){3}{a1} \cnode(140,0){3}{a2} \cnode(110,52){3}{a3}
 \cnode(110,20){3}{a5}

\ncline{a1}{a2} \ncline{a2}{a3} \ncline{a3}{a1} \ncline{a3}{a5}
\ncline{a5}{a1} \ncline{a5}{a2}

\rput(112,13){{\scriptsize $u$}}

\rput(110,-15){{\scriptsize $P$}}

% Q
\cnode(160,0){3}{a1} \cnode(220,0){3}{a2} \cnode(220,60){3}{a3}
\cnode(160,60){3}{a4} \cnode(190,30){3}{a5}

\ncline{a1}{a2} \ncline{a2}{a3} \ncline{a3}{a4} \ncline{a4}{a1}
\ncline{a1}{a5} \ncline{a2}{a5} \ncline{a3}{a5} \ncline{a4}{a5}

\rput(192,39){{\scriptsize $u$}}

\rput(190,-15){{\scriptsize $Q$}}

% R应\qquad 用
\cnode(255,0){3}{a1} \cnode(300,0){3}{a2} \cnode(313.5,42){3}{a3}
\cnode(277.5,69){3}{a4} \cnode(241.5,42){3}{a5}
\cnode(277.5,30){3}{a6}

\ncline{a1}{a2} \ncline{a2}{a3} \ncline{a4}{a3} \ncline{a4}{a5}
\ncline{a1}{a5} \ncline{a1}{a6} \ncline{a2}{a6} \ncline{a6}{a3}
\ncline{a4}{a6} \ncline{a6}{a5}

\rput(277,20){{\scriptsize $u$}}

\rput(275,-15){{\scriptsize $R$}}

\end{pspicture}
\end{center}
\vspace*{-4mm}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{6.8}$ \quad \bf 不可免完备集\,$\mathscr{F}$}
\end{quote}\vspace*{-6mm}
\end{figure}


\newpage
\setcounter{page}{259}
\noindent Heawood\,利用这种方法证明了五色定理\,(定理\,6.1.3).


\vskip10pt
% Figure 6.9
\begin{figure}[h]
\begin{center}\vspace*{-6mm}
\psset{unit=1pt}
\begin{pspicture}(0,0)(290,250)

\cnode(0,0){3}{a1} \cnode(280,0){3}{a2} \cnode(140,242){3}{a3}

\ncline{a1}{a2} \ncline{a2}{a3} \ncline{a3}{a1}

\cnode(140,170){3}{b1} \cnode(110,150){3}{b2} \cnode(130,150){3}{b3}
\cnode(150,150){3}{b4} \cnode(170,150){3}{b5} \cnode(120,130){3}{b6}
\cnode(140,130){3}{b7} \cnode(160,130){3}{b8} \cnode(140,115){3}{b9}

\rput(147,177){{\scriptsize 1}} \rput(100,150){{\scriptsize 2(4)}}
\rput(122,155){{\scriptsize 4(2)}} \rput(158,155){{\scriptsize
2(4)}} \rput(177,150){{\scriptsize 3}} \rput(110,130){{\scriptsize
1}} \rput(140,137){{\scriptsize 3}} \rput(171,130){{\scriptsize
4(2)}} \rput(152,116){{\scriptsize 2(4)}}
\rput(132,110){{\scriptsize $u_1$}}

\ncline{b1}{b2} \ncline{b1}{b3} \ncline{b1}{b4} \ncline{b1}{b5}
\ncline{b2}{b3} \ncline{b3}{b4} \ncline{b4}{b5} \ncline{b6}{b7}
\ncline{b7}{b8} \ncline{b9}{b6} \ncline{b9}{b7} \ncline{b9}{b8}
\ncline{b6}{b2} \ncline{b6}{b3} \ncline{b7}{b3} \ncline{b7}{b4}
\ncline{b8}{b4} \ncline{b8}{b5} \ncline{a3}{b2} \ncline{a3}{b1}
\ncline{a3}{b5}

\cnode(80,110){3}{c1} \cnode(90,80){3}{c2} \cnode(190,80){3}{c3}
\cnode(200,110){3}{c4} \cnode(140,95){3}{c5}

\rput(74,117){{\scriptsize $u_5$}} \rput(87,103){{\scriptsize 3}}
\rput(206,117){{\scriptsize $u_2$}} \rput(193,103){{\scriptsize 1}}
\rput(140,89){{\scriptsize $u$}} \rput(84,80){{\scriptsize 4}}
\rput(97,88){{\scriptsize $u_4$}} \rput(203,81){{\scriptsize 2(3)}}
\rput(183,88){{\scriptsize $u_3$}}

\ncline{c5}{c1} \ncline{c5}{c2} \ncline{c5}{c3} \ncline{c5}{c4}
\ncline{c1}{c2} \ncline{c2}{c3} \ncline{c3}{c4} \ncline{b9}{c1}
\ncline{b9}{c4} \ncline{b9}{c5} \ncline{a1}{c1} \ncline{a1}{c2}
\ncline{a2}{c3} \ncline{a2}{c4} \ncline{b2}{c1} \ncline{b6}{c1}
\ncline{b5}{c4} \ncline{b8}{c4} \ncline{a3}{c1} \ncline{a3}{c4}

\cnode(90,50){3}{d1} \cnode(100,25){3}{d2} \cnode(180,25){3}{d3}
\cnode(190,50){3}{d4}

\rput(81,53){{\scriptsize 3(2)}} \rput(100,18){{\scriptsize 2(3)}}
\rput(180,18){{\scriptsize 1}} \rput(196,52){{\scriptsize 4}}

\ncline{d1}{d2} \ncline{d2}{d3} \ncline{d3}{d4} \ncline{a1}{d1}
\ncline{a1}{d2} \ncline{a2}{d3} \ncline{a2}{d4} \ncline{a2}{d2}
\ncline{c2}{d1} \ncline{c3}{d4}

\cnode(120,60){3}{e1} \cnode(130,45){3}{e2} \cnode(150,45){3}{e3}
\cnode(150,65){3}{e4}

\rput(120,67){{\scriptsize 2(3)}} \rput(130,38){{\scriptsize 4}}
\rput(160,52){{\scriptsize 3(2)}} \rput(150,72){{\scriptsize 1}}

\ncline{e1}{e2} \ncline{e2}{e3} \ncline{e3}{e4} \ncline{e4}{e1}
\ncline{e1}{e3} \ncline{c2}{e1} \ncline{c2}{e4} \ncline{c3}{e4}
\ncline{d1}{e1} \ncline{d1}{e2} \ncline{d2}{e2} \ncline{d3}{e2}
\ncline{d3}{e3} \ncline{d4}{e3} \ncline{d4}{e4}

%
\rput(-7,0){{\scriptsize 1}} \rput(287,0){{\scriptsize $x$}}
\rput(280,-10){{\scriptsize 3(2)}} \rput(130,242){{\scriptsize $y$}}
\rput(154,242){{\scriptsize 4(2)}}

\end{pspicture}
\end{center}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{6.10}$ \quad \bf \eufznine{Kempe}\,证明的反例}
\end{quote}\vspace*{-6mm}


\end{figure}


起初人们对\,Kempe\,证明中的漏洞的严重性认识不足.\! 但多少年过去了,
人们还是没有找到满意的办法来弥补这个漏洞时,\! 才认识到四色猜想
比原来想象的要困难得多.\!\! 从此以后,\! 有许多数学家企图证明这个猜想,\!
但都以失败而告终. Kempe\,的证明虽然失败了,\! 但他的思想
方法仍然是后来许多数学家冲击四色猜想的基础.

 \index{gouxing@{构形}!keyuegouxing@{可约构形}}

{\ziju{-0.05}一个构形称为{\bf 可约的} (reducible), 如果
它不含在任何一个最小图中. Kempe实际上证明了构形\,$O,P,Q$ 是可约的,
但他没有证明\,$R$ 也是可约的. 然而, 他的这种思想提示人们:
欲证四色猜想, 只需寻找一个由可约构形组成的不可免完备集.
既然人们不能证明不可免完备集\,$\mathscr{F}$ 中的\,$R$ 是可约的,
那么是否还有另外的不可免完备集呢? 1904\,年, P.
Wernicke\,找出了一个新的不可免完备集, 如图6.11\,(a)\,所示.
1913\,年, G. D. Birkhoff\,又找出不可免完备集,
如图6.11(b)\,所示.
这\,3\,个不可免完备集中前\,3\,个元素都是一样的;
而两个新的不可免完备集中前\,4\,个元素都是一样的. }\linebreak 但遗憾的是,\!
他们都不可能证明这两个不可免完备集中最后两个构形是可约的.\! 于

\newpage
\chapter{图\quad 与\quad 群}

\newpage
\setcounter{page}{284}
\begin{description}
{\zihao{-5}
\item[$7.3.4$]
证明: Cayley\,图\,$C_{\Gamma}(S)$ 的\,Frucht\,图\,$F_{\Gamma}(S)$
有\,$n(2s^2+s+1)$ 个顶点和\,$2ns(s+1)$ 条边, 其中\,$s=|S|$.

\item[$7.3.5$]
证明: Abel\,群的\,Cayley\,图必含正\,$\kappa$ 原子和负\,$\kappa$
原子. \hfill (Y.\ O.\ Hamidoune,\,1985)

\item[$7.3.6$] 设\,$\Gamma={\bf Z}_4\times {\bf Z}_2$, $S=\{10,11,20,30,31\}$.
证明: Cayley 图\,$C_{\Gamma}(S)$
同构于循环无向图\linebreak $G(8;\pm\{1,3,4\})$.

\item[$7.3.7$] 设\,$\Gamma$ 是\,$X=\{1,2,3,4\}$ 上的对称群,
$a=(12)$, $b=(134)$ 是\,$\Gamma$ 中两元素. 画出\,Cayley
图\,$G=C_{\Gamma}(S)$, 其中\, $S=\{a,b,ab\}$.


\item[$\boldsymbol{7.3.8}$]
证明: Petersen\,图是点可迁的, 但不是\,Cayley\,图.

\item[$\boldsymbol{7.3.9}$]
设\,$G=C_{\Gamma}(S)$ 是\,Cayley\,图, $A$ 是\,$G$ 的\,$\kappa$ 原子,
但不含\,$\Gamma$ 的单位元. 证明: $A$ 是\,$\Gamma$  的子群. 而且, $A$
由\,$S\cap A$ 生成\,$\Leftrightarrow\,|A|\geqslant 2$.

\item[$\boldsymbol{7.3.10}$]
证明: 如果\,$S$ 是群\,$\Gamma$ 的极小生成集, 且不含单位元,
那么连通度\,$\kappa (C_{\Gamma}(S))=|S|$.\linebreak
\hfill(C.\ D.\ Godsil,\,1981;\, Y.\ O.\ Hamidoune\,1984)
\end{description}\vspace*{-4mm}

\vskip40pt \begin{center}{\zihao{2}应\qquad 用}\end{center}
\addcontentsline{toc}{section}{应用} \vspace*{-6mm}

\section*{\centering 7.4\quad 超级计算机系统互连网络的设计}

随着现代科学和工程技术的飞速发展, 需要利用计算机处理的数据越来越大,
随着商业、电信、军事等行业竞争的日益加剧,建造大规模的超级 计算机处理
系统共同平行交换和处理巨大的数据是势在必行的． 超级计算机是 由成千
上万的处理器形成超大规模并行处理系统. 一个既实际而又迫切需要
解决的问题是：成千上万的处理器需要通过什么样的互连网络来连接使得系统具有最好
的性能和最小的费用? 用什么方法来设计这样的互连网络? 又用什么度量参数
对互连网络的性能进行定量分析和评估? 这是一个涉及数学和计算机科学
交叉且有挑战性的研究课题. 互连网络可以用图来表示, 其中图的顶点表示
处理器, 图的边表示处理器之间的物理连线. 于是, 网络可靠性和有效性就
可以用图的连通度和直径来度量. 因此, 图论为研究互连网络提供强有力的
数学工具. 网络设计就归结为构造满足要求的图. 这一节介绍网络
设计的一种方法------笛卡尔乘积方法.

笛卡尔乘积是重要的图论运算. 设\,$G_1=(V_1, E_1)$ 和\,$G_2=(V_2,
E_2)$ 是两个\,(有向或无向)\,图. $G_1$ 和\,$G_2$ 的{\bf
笛卡尔乘积}\,(Cartesian product), 记为\,$G_1\times G_2$, 其中
\,$V(G_1\times G_2)=V_1\times V_2$. 存在从顶点\,$x_1x_2$
到顶点\,$y_1y_2$ 的有向边\,(其中\,$x_1, y_1\in V(G_1)$, $x_2, y_2\in
V(G_2)$)\,$\Leftrightarrow$ 或者$x_1=y_1$\!  且$(x_2, y_2)\in
E(G_2)$, 或者$x_2=y_2$ 且$(x_1, y_1)$ $\in E(G_1)$.

 \index{tu@{图}!dikaerchjitu@{笛卡尔乘积图}}
 \index{dikaerchjitu@{笛卡尔乘积图}}
 \index{tudeyunsuan@{图的运算}!dikaerchji@{笛卡尔乘积}}


容易验证, 作为图的运算, 在同构的意义下, 图的笛卡尔
乘积满足交换律和结合律\,(习题\,7.4.3). 即 $G_1\times G_2=G_2\times
G_1$, $(G_1\times G_2)\times G_3=G_1\times (G_2\times G_3)$.
正是这个简单性质, 可以定义\,$n$ 个有向图\,$G_i=(V_i, E_i)$ \,$(i=1,
2, \cdots, n)$ 的笛卡尔乘积为\,$G_1\times G_2\times \cdots \times
G_n$. 从顶点\,$x_1x_2\cdots x_n$ 到顶点 \,$y_1y_2\cdots y_n$
有有向边\,$\Leftrightarrow$ 两向量 \,$(x_1, x_2, \cdots, x_n)$
和\,$(y_1, y_2, \cdots, y_n)$ 有且仅有一个坐标不同, 比如, $x_i\ne
y_i$, 且\,$(x_i, y_i)\in E(G_i)$.


% Figure 1.8
\begin{figure}[ht]\vspace*{-2mm}
\psset{unit=0.8}
\begin{pspicture}(-3,-.5)(1,4)
\cnode(1,1){.1}{0}\rput(.75,1){\scriptsize0}
\cnode(1,3){.1}{1}\rput(.75,3){\scriptsize1}
\ncline{0}{1}\rput(1,.3){\scriptsize$Q_1=K_2$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(3,4)
\cnode(1,1){.1}{00}\rput(.7,1){\scriptsize00}
\cnode(1,3){.1}{10}\rput(.7,3){\scriptsize10}
\cnode(3,1){.1}{01}\rput(3.3,1){\scriptsize01}
\cnode(3,3){.1}{11}\rput(3.3,3){\scriptsize11}
\ncline{00}{01}\ncline{01}{11}\ncline{11}{10}\ncline{10}{00}
\rput(2,.3){\scriptsize$Q_2=K_2\times K_2$}
\end{pspicture}
\begin{pspicture}(-.5,-.5)(3,3)
\cnode(1,1){.1}{000}\rput(.64,1){\scriptsize000}
\cnode(1,3){.1}{001}\rput(.64,3){\scriptsize001}
\cnode(3,1){.1}{100}\rput(3.4,1){\scriptsize100}
\cnode(3,3){.1}{101}\rput(3.4,3){\scriptsize101}
\cnode(1.7,1.7){.1}{010}\rput(1.35,1.7){\scriptsize010}
\cnode(1.7,3.7){.1}{011}\rput(1.30,3.7){\scriptsize011}
\cnode(3.7,1.7){.1}{110}\rput(4.05,1.7){\scriptsize110}
\cnode(3.7,3.7){.1}{111}\rput(4.05,3.7){\scriptsize111}
\ncline{000}{001}\ncline{001}{101}\ncline{101}{100}\ncline{100}{000}
\ncline{010}{011}\ncline{011}{111}\ncline{111}{110}\ncline{110}{010}
\ncline{000}{010}\ncline{001}{011}\ncline{101}{111}\ncline{100}{110}
\rput(2,.3){\scriptsize$Q_3=K_2\times K_2\times K_2$}
\end{pspicture}
\vskip2pt
\begin{pspicture}(-3.8,0)(8,4)
\cnode(1,1){.1}{0000}\rput(.6,1){\scriptsize0000}
\cnode(1,3){.1}{0100}\rput(.6,3){\scriptsize0100}
\cnode(3,1){.1}{0001}\rput(2.66,1.2){\scriptsize0001}
\cnode(3,3){.1}{0101}\rput(2.66,3.2){\scriptsize0101}
\cnode(1.9,1.8){.1}{0010}\rput(1.5,1.85){\scriptsize0010}
\cnode(1.9,3.8){.1}{0110}\rput(1.5,3.85){\scriptsize0110}
\cnode(3.9,1.8){.1}{0011}\rput(3.55,2){\scriptsize0011}
\cnode(3.9,3.8){.1}{0111}\rput(3.55,4){\scriptsize0111}
\cnode(5,1){.1}{1001}\rput(5.4,.8){\scriptsize1001}
\cnode(5,3){.1}{1101}\rput(5.4,2.8){\scriptsize1101}
\cnode(7,1){.1}{1000}\rput(7.4,.85){\scriptsize1000}
\cnode(7,3){.1}{1100}\rput(7.4,2.85){\scriptsize1100}
\cnode(5.9,1.8){.1}{1011}\rput(6.3,2){\scriptsize1011}
\cnode(5.9,3.8){.1}{1111}\rput(6.3,4){\scriptsize1111}
\cnode(7.9,1.8){.1}{1010}\rput(8.34,1.8){\scriptsize1010}
\cnode(7.9,3.8){.1}{1110}\rput(8.34,3.8){\scriptsize1110}
\ncline{0000}{0001}\ncline{0001}{0101}\ncline{0101}{0100}\ncline{0100}{0000}
\ncline{0010}{0011}\ncline{0011}{0111}\ncline{0111}{0110}\ncline{0110}{0010}
\ncline{0000}{0010}\ncline{0001}{0011}\ncline{0101}{0111}\ncline{0100}{0110}
\ncline{1001}{1000}\ncline{1000}{1010}\ncline{1010}{1011}\ncline{1011}{1001}
\ncline{1101}{1100}\ncline{1100}{1110}\ncline{1110}{1111}\ncline{1111}{1101}
\ncline{1001}{1101}\ncline{1000}{1100}\ncline{1010}{1110}\ncline{1011}{1111}
\nccurve[angleA=-20,angleB=-160]{0000}{1000}
\nccurve[angleA=-20,angleB=-160]{0010}{1010}
\nccurve[angleA=-20,angleB=-160]{0001}{1001}
\nccurve[angleA=-20,angleB=-160]{0011}{1011}
\nccurve[angleA=20,angleB=160]{0100}{1100}
\nccurve[angleA=20,angleB=160]{0110}{1110}
\nccurve[angleA=20,angleB=160]{0101}{1101}
\nccurve[angleA=20,angleB=160]{0111}{1111}
\rput(4,.1){\scriptsize$Q_4=K_2\times K_2\times K_2\times K_2$}
\end{pspicture}
\begin{quote}
\centering{\small \bf 图 $\boldsymbol{7.8}$ \quad \bf 笛卡尔乘积的例子}
\end{quote}\vspace*{-5mm}
\end{figure}

{\bf 例\,{$\boldsymbol {7.4.1}$}~~}\ 图7.8 中所示的是\,$Q_1=K_2$,
$Q_2=K_2\times K_2$, $Q_3=K_2\times Q_2=K_2\times K_2\times K_2$
和\,$Q_4=K_2\times Q_3=K_2\times K_2\times K_2\times K_2$. 一般地,
 $$
 Q_n=\underbrace{K_2\times K_2\times\cdots\times K_2}_n.
 $$

\newpage
\setcounter{page}{295}

\noindent 的知识. 有兴趣的读者 可参阅\,N. L.
Biggs\, \&\, A. T. White\, 的专著《置换群与组合结构》(1979).

不同构图的计数问题是图论研究中的重要问题之一. 著名的\,P\'olya\, 计数
定理是 不同构图计数的有力工具, 也是群对于图论的重要应用. 有兴趣的
读者可参阅 \,G. Chartrand \& L. Lesniak\,著作《图与有向图》(1986)\,
第\,12\,章. 关于图的计数可参阅 \,F. Harary \& E. M. Palmer\,
的专著《图的计数》(1973).

Cayley\, 图的最大优点是它的构造简单性和点可迁性. 正是因为这些 优点,
Cayley\, 图已被广泛应用于互连网络拓扑结构的设计中, 文献中报道,
许多著名的互连网络的拓扑结构都是\,Cayley\, 图\,(见\,F. Annexstein\,
等\,(1990)). 另一方面, 许多作者正是通过各种各样的群已获得
许多具有良好性质的大规模\,Cayley 图. 有兴趣 的读者可参见\,G. E.
Carlsson\, 等\,(1985).
%\, 和\,J. M. Brunat\,等\,(1999).

在应用一节, 还介绍了一类重要的图论 运算------\ 笛卡尔乘积和它的性质.
%它是从小图构造大图的有效方法, 保持小图的许多 性质 \,(如,
%Hamilton\,性, 点可迁性和 \,Cayley\, 图性质), 并使许多
%图论参数\,(如直径和连通度)\,比较容易的计算. 正
正是由于笛卡尔乘积具有 这些优越性质, 它成为互连网络设计的重要方法之一.
利用这个方法, 我们 介绍了超立方体和它的一些优越性质. 事实上,
超立方体 是现今最通用 最优越的大规模超级计算机互连网络的拓扑结构,
文献上称为超立方体\linebreak 网络.

在通讯和计算机互连网络设计和理论分析中, 图论被公认为重要的数学工具,
利用图和图论参数对互连网络拓扑结构进行设计、分析和评估. 同时互连网络
中提出的大量问题又形成图论概念和参数, 丰富了图论研究内容, 其中的
许多问题正在挑战图论现有的理论和方法. 这就形成了一个新的研究领域
------组合网络理论. 有兴趣的读者可参阅徐俊明《组合网络理论》(2007).

\newpage
\addcontentsline{toc}{chapter}{参\ 考\ 文\ 献\dotfill}
\markboth{参\ 考\ 文\ 献}{参\ 考\ 文\ 献}
\newpage
\setcounter{page}{303}
\setlength{\itemsep}{2pt}

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