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无理数引论(“十二五”国家重点图书出版规划项目)

无理数引论
无理数引论(“十二五”国家重点图书出版规划项目)
作者:朱尧辰(著)

图书详细信息:
ISBN:978-7-312-02803-8
定价:58.00元
版本:1
装帧:软精装
出版年月:201201
丛书名称:当代科学技术基础理论与前沿问题研究丛书:中国科学技术大学校友文库

图书简介:

  自从1978年R.Apéry证明了ζ(3)的无理性以来,ζ函数在奇数上的值的无理性研究一直是引人注目的数论课题.本书给出与此有关的一些基本结果(如ζ(3)的无理性的Apéry原证和Beukers的证明等)以及近些年来T. Rivoal和V. V. Zudilin等人的新进展(如ζ(2k+1)(k≥1)中有无穷多个无理数;ζ(5),ζ(7),ζ(9),ζ(11)中至少有一个无理数;等等);此外,还给出无理数理论的一些经典结果和方法,如无理数的意义和分类、无理性的刻画及度量、无理数的有理逼近和连分数展开、数的无理性证明的初等方法、无理数的构造、无理数的正规性等;特别着重于数的无理性的判别法则和一些特殊类型的无理数(如Erdös的无理性级数、Mahler小数、Champernowne数、Fibonacii数、Lucas数及Fermat数的倒数的级数等).
  本书可供大学数学系高年级本科生和研究生以及专业研究人员使用或参考.

前言:

  1978年R. Apéry证明了ζ(3)是无理数,在当年赫尔辛基国际数学家大会上引起轰动.其后,ζ函数在奇数上的值的无理性研究一直是一个引人注目的数论课题.历经三十多年,人们在这个研究领域虽然取得了许多成果,但除了ζ(3)的无理性外,ζ(5),ζ(7),…是否为无理数,仍然是“悬案”.近年来人们才证明了ζ(2k+1)(k≥1)中有无穷多个无理数(T. Rivoal,K. M. Ball和V. V. Zudilin,2000~2002),迄今最佳结果是ζ(5),ζ(7),ζ(9),ζ(11)中至少有一个无理数(V. V. Zudilin,2001~2004).实际上,人们还进一步猜测ζ(2k+1)(k≥1)都是超越数.我们知道,全体无理数被划分为代数数和超越数两个互不相交的类,因此,虽然超越数一定是无理数,但反之未必正确.一般来说,数的超越性的证明要比数的无理性的证明复杂得多.一些经典的数如e和π的无理性证明远远早于它们的超越性证明.对于ζ(2k+1)(k≥1)的超越性研究(包括肯定或否定关于它们的超越性猜想),看来也是如此.因此,由Apéry的工作推动的有关研究将会保持其对人们的吸引力,而且即使是ζ(2k+1)(k≥1)的无理性研究甚至也是无理数理论的一个长期任务.
  无理数理论的古典结果通常在初等数论、丢番图逼近或超越数论的书中有所论及.通常,多数关于无理数的课题是作为超越数论的重要组成部分而被研究的,著名的Hilbert第7问题就包含某些数的无理性的判定.但关于无理数的近代和现代结果(包括上述ζ(2k+1)的无理性研究),在有关数论专著中虽有所论述,但相当一部分则散见于各种刊物中.本书是无理数理论的导引,除了给出关于ζ(3)的无理性的基本结果外,还包括上述各类书籍不涉及或较少论及,但具有一定数学价值的数的无理性结果.它们基本上不与现有的超越数论专著重复.就这种意义而言,本书可以看做超越数论的补充.希望以此引起有关专业大学生和研究生对无理数理论的兴趣和关注.当然,它也可供有关专业研究人员参考.
  各章内容如下:
  第1章具有基础性质,给出无理数的三种定性刻画,较细致地讨论了无理数的定量刻画,即无理性指数.第2章给出证明一个实数是无理数的常见的初等方法,包含了数量较多的各种类型的例子.这两章在取材上考虑到面向一般读者.其后三章是互相独立的.其中第3章、第4章是本书的核心,取材上具有一定专业性.第3章的主题是ζ(3)的无理性及其新进展.我们完整地给出R. Apéry关于ζ(3)的无理性的原始证明,以及F. Beukers的一个简洁证明,还介绍了现有的其他几个证明.对于T. Rivoal和V. V. Zudilin等人近些年来取得的新进展,我们着重证明ζ函数在奇数上的值中有无穷多个无理数这个重要结果,并给出ζ(5),ζ(7),ζ(9),ζ(11)中至少有一个无理数的证明概要.我们还详细地证明了Yu. V. Nesterenko的线性无关性判别法则,这个法则不仅是T. Rivoal及V. V. Zudilin的证明的关键性工具,而且它也可用于其他一些问题的研究.第4章主要论述P. Erds型的无理性判别法则,研究了几种类型的无穷级数的和以及K. Mahler的无穷小数的无理性.最后一章是关于正规数的简明引论,重点讨论了正规数的某些构造方法;本章的讨论尽量采用初等方法.每章最后一节是对正文的引申或补充,有的也包含若干研究问题.书末还有一个介绍超越数论的附录,供不了解超越数论的读者参考.
  阅读本书所需的数学预备知识主要限于大学理工科的数学分析和线性代数.当然,初等数论的基本知识(如算术基本定理、同余概念等)也是必需的.个别定理的证明用到复分析和测度论的初步知识,“补充与评注”则涉及更多的较专门的数学知识.虽然本书主要结果取自原始论文,但为了便于初学者阅读,这里注意补出有关细节,或者尽量化解某些论文中的艰涩甚至错误之处,个别定理(引理)的证明实际上是按照原文思路重写的.因此,本书可作为大学有关专业高年级及研究生低年级学生的讨论班材料,也可供具有必要数学预备知识的一般读者自学.作为阅读建议,大体上,本书前两章可以根据实际情况有选择地阅读;读完后三章(不计最后一节)后,可以考虑参照“补充与评注”的提示并结合个人的兴趣进而钻研某些原始论文.
  本书基于笔者过去的讲稿和笔记以及一些新的结果写成,初稿断断续续历时两年,并于2009年底大体上敲定,并且一些专家和同事审读了(全部或部分)初稿,提出了一些改进意见;在此基础上,笔者对初稿又作了多次修改、补充和调整.在此,谨对上述各位专家和同事表示衷心的感谢.另外,本书的出版还得到本人母校出版社——中国科学技术大学出版社——的大力支持.限于笔者的水平和兴趣,本书在论述和取材等方面难免存在不妥甚至谬误,欢迎读者和同行批评指正.

 

朱尧辰
2011年3月于北京

目录:

总序

符号说明

第1章 无理数的一些数论性质

第2章 无理性证明的初等方法

第3章 ζ(3)的无理性

第4章 某些级数的无理性

第5章 正规数

附录 超越数论简介

参考文献

索引

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