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初等数论

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初等数论
作者:王慧兴(编著)

图书详细信息:
ISBN:978-7-312-03337-7
估价:20.00元
版本:1
装帧:平装
预计出版年月:201405
丛书名称:数学奥赛辅导丛书.第二辑

图书简介:
  初等数论是研究正整数性质的一个重要数学分支,本书作为初等数论解题指导性读物,选材重在正整数的整除理论、同余理论、不定方程、指数与原根、二次剩余与二次互反律、整数的平方和表示以及组合数论等内容,其中组合数论内容是本书最具特色的一章.
  本书条理清晰,层次分明,深入浅出,例题丰富.其显著特点是在写法上详略得当,言简意赅;行文上尽可能照顾初等数论理论的严谨性,但基于读者情况对内容进行恰当取舍,凡是读者能自己推证的结论或命题都留给读者自己完成.因此,本书富有启发性、探究性与教育性.
  本书面向全国高中数学联赛备考的数学竞赛选手,也可供对初等数论兴趣浓厚的高中生、大学生以及中学教师进修参考之用.
 
 
前言:
  本书是基于笔者多年的数学竞赛讲义整理而成的,它面向对数学竞赛有浓厚兴趣的高中生,注重渗透初等数论的基本方法,因而不同于大学普通初等数论教科书.
  本书共分五章,每一章按照知识提要和例题与习题分为若干大节,知识提要所分大节的多少完全基于数学竞赛训练相关内容的需要设置.本书不同于市面上流行的面向数学竞赛的初等数论辅导书.其一,普通辅导书通常只讲解初等数论中的整除、同余与不定方程这些基础知识,而本书内容丰富,除这三方面基础知识外,还以与时俱进的思想,深入讲解二次剩余、平方和以及组合数论,这些都体现出现代数学竞赛不断涉猎和突破的方向;其二,本书对基础知识的讲解系梳理性的,不同于普通辅导书只做简单的罗列,本书该证明的都提出作者的证明,相对浅显的基础知识就不再证明,安排读者独立思考;其三,本书所选例题、习题都系数学竞赛原题或改编题,充分体现数学竞赛试题的时代特色;其四,本书有别于其他辅导用书的一点就是把组合数论单列一章,这当然不同于研究数论的学者所言之组合数论,学术上将组合数论理解为“对垒数论”,研究整数环或抽象群子集的组合性质,本书所言组合数论完全基于初等数论研究对象的离散性,无论是其经典理论还是训练题,其推证与求解都或多或少地基于组合数学的思路、方法,因此,笔者就把那些有浓厚组合思维特色的初等数论试题界定为组合数论.
  笔者从1998年调入河南省实验中学开始,从事高中数学竞赛教学、辅导、培训工作,至今长达十多年,其间培养出许多优秀选手,譬如早期的张川波、王子龙、任明明、刘彬彬、王长长、刘建新、张牧、张灿、刘昱成、尹航等,近期的姚博文、李程、李佳航等.其中姚博文入选2011年国际数学奥林匹克(IMO)中国代表队,并获得第52届国际数学竞赛金牌.2013年3月底,第54届IMO中国国家代表队产生,其中河南选手廖宇轩和浙江选手刘潇也都是我的学生,笔者预祝他们与其他选手一道在IMO赛场上发挥出水平,为祖国争光!
  笔者于2012年调入北京市朝阳区,执教于清华附中朝阳学校,恰逢中国科学技术大学出版社之邀,利用工作之余,历时两年整理出自己的讲稿.在形成教学讲义期间,笔者参阅了大量的初等数论书籍(最典型的就是华罗庚著《数论导引》和闵嗣鹤、严世健著《初等数论》)、文献(历届、各级数学竞赛试题),时间跨度比较长,没有办法在此一一列举;尤其值得提出的是,萧振纲教授把自己撰写、打算出版的高等学校教学参考书《初等数论》电子稿发给我供参考,我出于对萧教授知识产权的尊重,也考虑到面向不同,不敢妄加引用,借此机会对萧教授的无私帮助深表感谢!
   由于时间仓促,书中疏漏之处在所难免,望读者把发现的问题发给我(hnwhx3@sohu.com),对此,谨致以诚挚感谢!
 
 
王慧兴
2014年2月于北京
 
目录:

前言

1 整除

1.1整除的概念与性质

1.2带余除法与辗转相除法

1.3算术基本定理与数论函数

1.4特殊整数的概念与性质简介

1.5高斯取整函数及其应用

1.6本章例题与习题

2 同余

2.1同余的概念与性质

2.2完系与缩系

2.3著名的数论定理

2.4指数、原根及其应用

2.5进位制及其应用

2.6本章的例题与习题

3 不定方程

3.1同余方程的基本概念

3.2一次不定方程

3.3孙子定理及其应用

3.4高次同余方程的解法

3.5商高方程与Fermat大定理特例

3.6Pell方程与递推数列

3.7不定方程的初等解法

3.8本章的例题与习题

4 二次剩余与平方和

4.1平方剩余

4.2二次互反律

4.3平方和

4.4再证平方和定理

4.5本章的例题与习题

5 组合数论

5.1组合论证

5.2组合计数

5.3组合构造

5.4算法分析

5.5组合数论训练题

参考文献



Copyright 2011 中国科学技术大学出版社
合肥市金寨路96号