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微分几何学习指导

微分几何学习指导.jpg
微分几何学习指导
作者:徐森林 金亚东 胡自胜 薛春华(编著)

图书详细信息:
ISBN:978-7-312-03358-2
估价:39.00元
版本:2014-04-01
装帧:平装
预计出版年月:201404
丛书名称:高校核心课程学习指导丛书

图书简介:
  本书是中国科学技术大学出版社出版的《微分几何》的配套书,它可帮助读者熟练地掌握微分几何的内容和方法.本书对《微分几何》一书的全部习题做了详细的解答,并增加了一些有趣的习题以及联系古典微分几何与近代微分几何的典型题目.
  本书可用作综合性大学、理工科大学、师范大学数学系高年级学生、教师和研究人员的参考书.
前言:
  微分几何是一门历史悠久的学科.近一个世纪以来,许多著名数学家如陈省身、丘成桐等都在这一研究方向上作出了极其重要的贡献.这一学科的生命至今仍很旺盛,并渗透到各个科学研究领域.
  古典微分几何以数学分析为主要工具,研究空间中光滑曲线与光滑曲面的各种性质.徐森林等编写的《微分几何》共分3章.第1章讨论了曲线的曲率、挠率、Frenet公式、Bouquet公式等局部性质;证明了曲线论的基本定理,也讨论了曲线的整体性质:4顶点定理、Minkowski定理与Fenchel定理以及FaryMilnor关于纽结的全曲率不等式.第2章引进了第1基本形式、第2基本形式、Gauss(总)曲率、平面曲率、Weingarten映射、主曲率、曲率线、测地线等重要概念,给出了曲面的基本公式和基本方程、曲面论的基本定理,以及著名的Gauss绝妙定理等曲面的局部性质,还应用正交活动标架与外微分运算研究了第1、第2、第3基本形式,Weingarten映射以及第1、第2结构方程.第3章详细论述了曲面的整体性质,得到了全脐超曲面定理、球面的刚性定理、极小曲面的Bernstein定理、著名的GaussBonnet公式及Poincaré指标定理.
  《微分几何》[21]尽可能对Rn中n-1维超曲面采用gij,Lij,…表示,是为了克服R3中E,F,G,L,M,N不能推广到高维的困境和障碍,也是为了能顺利地将古典微分几何从R3推广到Rn,再搬到Riemann流形上.2.10节介绍Riemann流形上的LeviCivita联络、向量场的平移及测地线,是为了使读者逐渐摆脱古典方法(坐标观点)而进入近代方法(映射观点或不变观点).因此,它为读者从古典微分几何到近代微分几何之间架设了一座桥梁.当n=3时,作为特例,我们得到R3中的1维曲线、2维曲面的一些古典结果,它们是读者研究微分几何不可缺少的几何直观背景.熟读该书后,读者一定会感到离进入近代微分几何的学习与研究只差一步之遥.
  本书是《微分几何》的配套书,它可帮助读者熟练地掌握微分几何的基本内容和基本方法.我们对《微分几何》中全部习题作了详细的解答,并增加了一些有趣的习题以及联系古典与近代微分几何的典型题目(以星号*标出).它可增加读者的几何背景,有助于古典微分几何的实际应用,也有助于读者能力的提高;它也可开阔读者的视野,有助于近代微分几何的学习和研究.
  早在20世纪60年代,作者徐森林、薛春华跟随著名数学家吴文俊教授攻读微分几何,得到恩师的栽培.在几十年中,作者在中国科学技术大学数学系、少年班及统计系讲授古典微分几何,使得一大批大学生顺利进入研究生阶段,并使他们对近代微分几何产生了浓厚兴趣,其中有七八人次在全国研究生暑期班中获了奖,还培养了许多几何拓扑专业的年轻数学家.
  感谢中国科学技术大学数学系领导和老师对我们的大力支持,感谢著名数学家吴文俊教授的鼓励和教导.
 
 
徐森林
2014年2月于北京
 
目录:

前言(ⅰ)

 

第1章曲线论

1.1Cr正则曲线、切向量、弧长参数

1.2曲率、挠率

1.3Frenet标架、Frenet公式

1.4Bouquet公式、平面曲线的相对曲率

1.5曲线论的基本定理

1.6曲率圆、渐缩线、渐伸线

1.7曲线的整体性质(4顶点定理、Minkowski定理、Fenchel定理)

 

第2章Rn中k维Cr曲面的局部性质

2.1曲面的参数表示、切向量、法向量、切空间、法空间

2.2旋转面(悬链面、正圆柱面、正圆锥面)、直纹面、

可展曲面(柱面、锥面、切线面)

2.3曲面的第1基本形式、第2基本形式

2.4曲面的基本公式、Weingarten映射、共轭曲线网、渐近曲线网

2.5法曲率向量、测地曲率向量、Euler公式、主曲率、曲率线

2.6Gauss曲率(总曲率)KG、平均曲率H

2.7常Gauss曲率的曲面、极小曲面(H=0)

2.8测地曲率、测地线、测地曲率的Liouville公式

2.9曲面的基本方程、曲面论的基本定理、Gauss绝妙定理

2.10Riemann流形、LeviCivita联络、向量场的平行移动、测地线

2.11正交活动标架

 

第3章曲面的整体性质

 

3.1紧致全脐超曲面、球面的刚性定理

3.2极小曲面的Bernstein定理

3.3GaussBonnet公式

3.42维紧致定向流形M的Poincaré切向量场指标定理

 

参考文献



Copyright 2011 中国科学技术大学出版社
合肥市金寨路96号