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向量、复数与质点

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向量、复数与质点
作者:彭翕成(著)

图书详细信息:
ISBN:978-7-312-03368-1
估价:25.00元
版本:1
装帧:平装
预计出版年月:201405
丛书名称:数林外传系列:跟大学名师学中学数学

图书简介:
  本书主要论述用向量解决常见几何问题的方法,特别是基于向量相加的首尾衔接规则的回路法.全书共7章,从被人忽视的向量回路入手,介绍向量形式的定比分点公式和四边形中位线公式及其应用,对垂直问题、圆问题、三角形五心问题等作了专题研究;同时探讨了与向量法密切相关的复数法和质点法;对于不同解法之间的优劣,列举大量实例进行比较研究.
  本书是在《绕来绕去的向量法》基础上进一步研究的成果,可供中学和大学的数学教师及理工科教师、中学生和大学生、数学爱好者以及数学教育研究者参考.
前言:
  几何问题千变万化,不同的方法各有自己的长处.有不少题目用向量法做起来比较简明快捷,也有不少题目用面积法或质点法更为直观方便;还有一些题目,用综合法能够巧妙地做出来,用向量法反而显得笨拙.这些都显示了几何的丰富和优美.
  点是几何的基本元素.向量、质点和复数都可以表示点,而且都有代数运算,所以它们是相通的.
  向量方法是解几何问题的通法,翻来覆去只用那几条规则.此外,面积法、质点法和复数法也是通法,并且已经有了适用于相当广泛的命题类的机械化算法.面积可以用向量、质点或复数的运算表示,所以面积法给出的题解原则上都可以改写成这些方法.质点法的基本公式都可以写成向量形式或复数形式,所以质点法给出的题解容易改写成向量或复数的形式.在这个意义上,用向量法和复数法解几何题实质上也应有适用于相当广泛的命题类的机械化算法.
  用向量解几何题,并非数学家引入向量的主要目的.向量理论的大用场,是在更多、更高深、更重要的数学或物理学的分支里.向量的基本思想是把事物简化.本来用两个数、三个数甚至一万个数表示的东西,在一定条件下可以用一个字母表示.这样表示之后照样能运算,必要时又可以分解成两个数、三个数甚至一万个数.其神通好比孙悟空的毫毛,分开来可以变出成百个东西,合起来又是一点点.在中学里,学生熟悉的是几何,用向量解几何问题,是让他们初步体会一下向量的威力,体验一下分分合合的数学思想的高明之处.
  表达面积要用三个点,表达向量要用两个点,表达质点只要一个点.比较这三种不同的通法,质点法处理问题时所考虑的对象可以具有最小的“粒度”,所以质点比向量更基本.既然有的省市在初中教学就讲了向量,能不能让学生思路再开阔一些,讲点质点几何呢?
  质点法的发现基于两点如何相加.从加法想到减法,两点相减就成了向量.如果先讲向量,把向量说成是两点相减的结果,再从减法说到加法,就引出了质点几何.这样,不但向量加法的首尾衔接法更加显然,而且把有向线段、定比分点公式、向量坐标的计算以及力学中的重心和力矩等知识都联系起来了.笔者曾经在一次中学生夏令营报告会上用半小时讲质点几何,引起了学生的很大兴趣.不少同学当时就学会了用质点几何方法计算一些通常认为比较困难的线段比例计算问题.在中学讲讲质点几何基本知识,可以帮助学生提高解题能力,更快更好地学习向量和解析几何,值得一试.
  著名数学家华罗庚和吴文俊都特别强调几何要与代数结合.只讲几何不讲代数,是飞不高、飞不远的.几何与代数的结合,有坐标方法和非坐标方法两种.用坐标方法研究几何,发展成了“代数几何”;用代数方法且尽量不用坐标研究几何,发展成了“几何代数”.向量是代数几何的基础,也是几何代数的基础,同时更是大学里要学的数学分析、解析几何和高等代数这些主要数学课程的基础之一.
  目前,中学数学教学还没有引入质点的概念,复数的篇幅也比之前减少很多,向量法这几年倒是有点“小热”.考虑到向量、复数与质点三者之间是相通的,结合起来一同研究也有其意义.希望本书对读者有所启发.
 
 
张景中
2013年10月1日
目录:
序(ⅰ)
 
1被忽视的向量回路(1)
 
1.1向量回路初步(2)
 
1.2向量形式的定比分点公式(13)
 
1.3向量形式的四边形中位线公式(27)
 
 
2垂直与圆问题(38)
 
2.1垂直问题(38)
 
2.2圆问题(53)
 
 
3质点(75)
 
3.1实系数质点解题(79)
 
3.2复系数质点解题(99)
 
4复数(113)
 
4.1复数与旋转(114)
 
4.2复数与坐标(134)
 
5三角形的五心(150)
 
5.1重心(155)
 
5.2垂心(164)
 
5.3外心(167)
 
5.4内心(169)
 
5.5旁心(178)
 
5.6多心结合(179)
 
6解法比较与转换(198)
 
6.1解题方法比较(199)
 
6.2解题方法转换(230)
 
7杂题(245)
 
后记(265)
 


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