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高观点下的经典微分几何

高观点下的经典微分几何3679
高观点下的经典微分几何
作者:黄保军(编著)

图书详细信息:
ISBN:978-7-312-03679-8
定价:32.00元
版本:1
装帧:平装
出版年月:201502

图书简介:

  本书是作者根据多年的微分几何课程的教学经验,并参考国内外的微分几何著作,为本科生编写的微分几何教材.该教材已被列为安徽省省级规划教材.本书主要讲述经典微分几何的曲线论和曲面论,全书共7章,内容包括:预备知识、标架场、空间曲线的Euclid几何、曲面上的微积分、形状算子、瘙綆3中的曲面几何、曲面的内蕴几何学.
  本书力图用近代微分几何的研究方法去处理经典微分几何问题,目的是让读者能够实现从学习经典微分几何到学习近代微分几何的自然过渡.本书阐述具体,条理清晰,突出几何理念,便于读者理解和掌握.
  本书可作为综合性大学和师范院校数学与应用数学和理论物理等专业本科生的微分几何教材,也可作为其他相关专业的教学参考书.

前言:

  从广义相对论的深入研究,到几何大师陈省身给出的GaussBonnet定理的内蕴证明,再到YangMills场论与联络论的奇妙对应,直到佩雷尔曼(Perelman)对Poincaré猜想正确性的论证,近代微分几何无不在向人们展示着其巨大的威力.而作为近代微分几何入门的本科“微分几何”课程,尽管其研究对象是经典微分几何的曲线论和曲面论,但其内容却集几何、分析、代数于一体,完美地体现了“数”与“形”的奇妙结合和分析与几何的合理交融.通过本课程的学习,学生不但能掌握继续深造所必需的近代几何的基础理论,同时该门课程的研究方法也对学生创新素质的培养和思维品质的提高起到其他课程无法替代的作用.但从十余年来国内出版的微分几何教材的使用情况来看,有些教材通俗易懂,但内容干瘪;有些教材虽用到一点近代几何的新方法,但也是蜻蜓点水,使初学者只知其然,而不知其所以然.随着新的人才培养方案的修订,对培养人才创新素质和实践能力的要求愈来愈高.就“微分几何”课程而言,当下急需编写一套用现代数学的新思想、新观点和新方法去打造经典微分几何内容的新教材.新教材的使用,不但应使学习者完全掌握经典微分几何的基本理论,还应使学习者学到研究近代几何的新方法和新技巧.
  这本教材正是在上述背景下产生的.整本教材由7章内容组成:作为利用近代观点研究经典微分几何的准备,我们以简述Euclid空间上微积分的有关基本概念开篇.紧接着在第2章,我们用E. Cartan创立的“活动标架法”,对经典微分几何中的曲线论作了简洁而完备的处理.与用其他方法(如向量分析法等)去研究曲线论相比,这种处理方法的优势和利好或许不太明显,但重要的是这种方法的基本思想将深深影响后面对曲面论的研究.第3章将通过对曲线的曲率和挠率的等距不变性的研究,去揭示空间曲线的Euclid几何特征.作为经典微分几何曲面论的开始,我们在第4章简要叙述了曲面上微积分的基本知识,本章有关概念的高观点表述,不但对后面各章结论的严格论证是必需的,还会使读者受到现代数学思想的熏陶.第5章和第6章是3维Euclid空间中经典微分几何曲面论的全面展示,其中包括通过计算曲面的几何不变量,并挖掘这些不变量的几何意义,去探讨曲面的形状;还包括曲面的其他性质对曲面形状影响的研究,尤其是曲面的与其形状不直接相关的性质(内蕴性质),是我们在第6章感兴趣的主要内容.3维Euclid空间中的曲面既直观,也更接近我们的生活体验,但并非所有曲面都能置于3维Euclid空间中,我们将在第7章去挖掘这些曲面的内蕴性质.该章内容的学习,除意在拓宽学习者的几何知识视野外,还将帮助他们迈入近代几何(Riemann几何与大范围分析)学习的门槛,实现由学习经典几何到学习近代几何的自然过渡.
  与国内同类教材相比,本教材具有如下特点:① E. Cartan的“活动标架法”作为研究经典微分几何的基本方法,外微分形式作为理论论证的基本工具.② 广泛涉及学生的前期基础,为已学知识提供充足的用武之地.学习微分几何,需用到“解析几何”和“数学分析”是自不待言的.本教材还将代数知识用于处理有关问题,充分挖掘代数工具在微分几何中的应用,使学习微分几何的过程成为学生运用“三基”工具的训练场.③ 描述直观,几何特色浓厚.本教材在给出抽象概念的同时,还举出一些具体例子;在简练的公式背后,也能让人看出一些直观的图形,使学习过程变成逻辑理解与形象认识有机结合的过程.④ 习题编排思路独到,有启发和启迪作用.按新的人才培养方案关于培养创新素质、提高实践能力的要求,本教材在编制习题时,将某些有拓广空间和发挥潜力的问题,先以浅显的特殊形式呈现出来,然后步步引申,启发做题者充分开拓思路,深入钻研,这无疑有利于学习者创新素质的培养.
  在选材方面,本教材除包含经典微分几何的曲线论和曲面论外,还涉及一部分曲面的拓扑性质及抽象曲面上的Riemann几何学等,这些内容均用*号标出,供读者选学.在表述方式和结构安排方面,作者一方面大量借鉴了B. ONeill的《Elementary Differential Geometry》一书,某些章节可以说是该书内容的意译,另一方面,也融入了作者多年来在讲授“微分几何”课程时的教学心得.限于作者的水平,书中不足之处肯定是存在的,诚恳希望读者能不吝指正.
  最后需要提及的是,在淮北师范大学有关职能部门的大力支持下,这部教材已被安徽省教育厅列为省级规划教材,同时,中国科学技术大学出版社对本教材的编写与出版也给予了大力的支持.作者在此谨表示诚挚的谢意.

黄保军
2014年12月

目录:

前言(ⅰ)

第1章预备知识(1)
1.1Euclid空间(1)
1.2切向量(3)
1.3方向导数(6)
1.4瘙綆3中的曲线(9)
1.51形式(14)
1.6微分形式(18)
1.7映射(22)

第2章标架场(28)
2.1基本概念(28)
2.2Frenet公式(32)
2.3一般曲线(39)
2.4协变导数(48)
2.5标架场(51)
2.6联络形式(53)
2.7结构方程(57)

第3章空间曲线的Euclid几何(61)
3.1瘙綆3上的等距变换(61)
3.2等距的切映射(64)
3.3定向保持等距(66)
3.4空间曲线的Euclid几何特征(69)
3.5曲线的叠合(72)

第4章曲面上的微积分(79)
4.1瘙綆3中的曲面(79)
4.2卡的性质(86)
4.3可微函数与切向量(94)
4.4曲面上的微分形式(102)
4.5曲面映射(108)
4.6形式的积分*(114)
4.7曲面的拓扑性质*(121)
4.8流形*(128)

第5章形状算子(134)
5.1M瘙綆3的形状算子(134)
5.2法曲率(139)
5.3Gauss曲率(144)
5.4计算技巧(150)
5.5隐式情形(157)
5.6曲面上的特殊曲线(161)
5.7旋转曲面*(168)

第6章瘙綆3中的曲面几何学(177)
6.1基本方程(177)
6.2形式运算(181)
6.3某些整体定理*(185)
6.4等距与局部等距(190)
6.5瘙綆3中曲面的内在几何(196)
6.6正交坐标(200)
6.7积分和定向*(203)
6.8全曲率*(208)
6.9曲面的叠合(216)

第7章曲面的内蕴几何学*(221)
7.1几何曲面(221)
7.2Gauss曲率(226)
7.3协变导数(234)
7.4测地线(240)
7.5Clairaut参数化(246)
7.6GaussBonnet定理(254)
7.7GaussBonnet定理的应用(263)

参考文献(273)



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